Поддержка структур данных для локального поиска SAT

WalkSAT и GSAT являются хорошо известными и простыми алгоритмами локального поиска для решения проблемы булевой выполнимости. Псевдокод для алгоритма GSAT скопирован с вопроса Реализация алгоритма GSAT - Как выбрать, какой литерал переворачивать? и представлены ниже.

procedure GSAT(A,Max_Tries,Max_Flips)
  A: is a CNF formula
  for i:=1 to Max_Tries do
    S <- instantiation of variables
    for j:=1 to Max_Iter do
      if A satisfiable by S then
        return S
      endif
      V <- the variable whose flip yield the most important raise in the number of satisfied clauses;
      S <- S with V flipped;
    endfor
  endfor
  return the best instantiation found
end GSAT

Здесь мы перевернем переменную, которая максимизирует количество удовлетворенных предложений. Как это сделать эффективно? Наивный метод состоит в том, чтобы перевернуть каждую переменную, и для каждого шага через все пункты и вычислить, сколько из них будет удовлетворено. Даже если предложение может быть запрошено на соответствие в постоянное время, простой метод все равно будет выполняться за время , где - количество переменных, а - количество предложений. Я уверен, что мы можем сделать лучше, поэтому вопрос: $O(VC)$ $V$ $C$

Многие алгоритмы локального поиска переворачивают присвоение переменной, которое максимизирует количество удовлетворенных предложений. На практике, с какими структурами данных эта операция поддерживается эффективно?

Это то, что я чувствую, что учебники часто опускаются. Одним из примеров является даже знаменитая книга Рассела и Норвиг .

algorithms data-structures satisfiability

— Юхо
источник

Ну, эти ребята встроили это в железо. По-видимому , вероятностный и эвристический подходы более популярны; это говорит о том, что вы действительно не можете быстро выбрать «лучшую» (в конце концов, только жадную) переменную или что этот выбор вообще не годится.

— Рафаэль

@Raphael Может быть, вы правы, что нельзя выбрать его очень быстро, но я бы не осмелился сказать, что «выбор вообще не годится». Может быть, я неправильно понял вашу точку зрения, но я уверен, что выбор «правильной» переменной имеет огромное значение. Спасибо, я покопаюсь немного глубже. Я думаю, что у одного из авторов связанных с вами слайдов (Hoos) есть книга на эту тему.

— Юхо

«Правильный» был бы оптимальным, но есть ли основания полагать, что тот, который максимизирует сейчас, является правильным? В конце концов, проблема не решаема (канонической) жадностью.

— Рафаэль

Необходимая структура данных - это список событий , список для каждой переменной, содержащий предложения, в которых эта переменная встречается. Эти списки создаются один раз, когда CNF впервые читается. Они используются в шагах 3 и 5 ниже, чтобы избежать сканирования всей формулы CNF для подсчета удовлетворенных предложений.

Лучший алгоритм, чем переключение каждой переменной:

Составьте список только тех переменных, которые встречаются в неудовлетворенных предложениях.
$x$
$x$
$x$
$x$
$x$
Вычтите результат шага 3 из шага 5 и запишите его для $x$
Повторите шаги 2-7 для остальных переменных, найденных в шаге 1.
Переверните переменную с наибольшим числом, записанным в шаге 7.

Ссылкой на структуру данных (часто также называемой списком смежности) являются, например, Lynce и Marques-Silva, Efficient Data Structures for Backtracking SAT solvers, 2004.

— Кайл Джонс
источник