Почему P и P / poly тривиально не одинаковы?

Определение P - это язык, который может быть определен алгоритмом полиномиального времени. Определение P / poly может означать язык, который может быть определен схемой полиномиального размера (см. Http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/02-810notes/lecture09.pdf ). Теперь, почему нельзя за полиномиальное время смоделировать схему полиномиального размера?

Дело в том, что в схеме есть фиксированное количество входов. Это означает, что для определения языка нам нужно семейство цепей $C_0, C_1, C_2, \dots$ такое, что схема  $C_i$ сообщает вам, какие строки длины  $i$ есть в языке для каждого  $i$ . Для этого не требуется каких-либо отношений между цепями $C_i$ и  $C_{i+1}$ : они могут быть совершенно разными. В частности, для любого набора  $S\subseteq\mathbb{N}$ вы могли бы установить объявление $C_i=\mathrm{true}$ , если$i\in S$ и$C_i=\mathrm{false}$ для$i\notin S$ . Даже если$S$  неразрешима!

Напротив, язык находится в  $\mathrm{P}$ если существует одна машина Тьюринга, которая сообщает вам, есть ли каждый возможный ввод любой возможной длины в языке. Теперь вы не можете играть в забавные игры о входах разной длины.

Вы правы , что мы можем оценить любую фиксированную цепь в  $\mathrm{P}$ . Но этого не обязательно достаточно, чтобы выбрать язык в $\mathrm{P/poly}$ . Чтобы сделать это, нам сначала нужно вычислить длину входа, затем использовать ее, чтобы определить, какую схему  $C_i$ нам нужно оценить, а затем оценить схему. Как показывает пример выше, часть «определить, какая схема» может даже не быть вычисляемой, не говоря уже о вычислимой за полиномиальное время.