Количество слов заданной длины на обычном языке

Существует ли алгебраическая характеристика числа слов заданной длины в обычном языке?

Википедия приводит результат несколько неточно:

Для любого регулярного языка существуют константы и многочлены таким образом, что для каждого п числа s_L (п) из слова длины n в L удовлетворяют уравнению s_L (n) = p_1 (n) \ lambda_1 ^ n + \ dotsb + p_k (n) \ lambda_k ^ n .$L$$\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$$p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$$n$$s_L(n)$$n$$L$$s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

Не указано, в каком пространстве живут $\lambda$ ( я полагаю, $\mathbb{C}$ ) и требуется, чтобы функция имела неотрицательные целочисленные значения по всем $\mathbb{N}$ . Я хотел бы точное утверждение, и эскиз или ссылку для доказательства.

Дополнительный вопрос: верно ли обратное, то есть задана ли функция этой формы, всегда ли существует регулярный язык, число слов которого в длину равно этой функции?

_{Этот вопрос обобщает количество слов на обычном языке $(00)^*$}

Для регулярного языка рассмотрим некоторый DFA, принимающий , пусть будет его матрицей переноса ( - это число ребер, ведущих из состояния в состояние ), пусть будет характеристическим вектором начального состояния, и пусть будет характерным вектором принимающих состояний. Тогда L A A i j i j x y s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Теорема Джордана утверждает, что по комплексным числам подобна матрице с блоками одной из форм Если , то Силы этих блоков ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 $A$λ≠0n( λ n ),( λ n n λ n -

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$ $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ Вот как мы получили по этим формулам: записать блок как . Последовательные степени являются последовательными вторичными диагоналями матрицы.N λ N B n = ( λ + n ) N = λ n + n λ n - 1 N + ($B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$ $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ Когда , блок является нильпотентным, и мы получаем следующие матрицы (запись равна если и противном случае): [ n = k ] 1 n = k 0 ( [ n = 0 ] ) , ] [ n = 1 ] 0 0 [ n = 0 ] ) , ( [ n $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

Подводя итог, можно сказать, что каждая запись в имеет вид или форму , и мы что для некоторых комплексных и комплексных полиномов . В частности, при достаточно больших , Это точное утверждение результата.$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$

Мы можем продолжить и получить асимптотическую информацию о , но это удивительно нетривиально. Если существует уникальный наибольшей величины, скажем, , то Все становится сложнее, когда есть несколько с наибольшей величиной. Так получилось, что их угол должен быть рациональным (т.е. с точностью до величины они являются корнями единства). Если LCM знаменателей равен , то асимптотика будет очень соответствовать остатку от по модулю . Для некоторых из этих остатков все$s_L(n)$$\lambda_i$$\lambda_1$

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ $\lambda$$d$$s_L$$n$$d$$\lambda$s наибольшей величины отменяются, и затем асимптотика «падает», и мы должны повторить эту процедуру. Заинтересованный читатель может проверить подробности в « Аналитической комбинаторике Флайолета и Седжвика» , теорема V.3. Они доказывают, что для некоторых целые числа и действительные числа , $d$$p_0,\ldots,p_{d-1}$$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$ $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Пусть обычный язык и$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

его производящая функция , где и т. д. .$L_n = L \cap \Sigma^n$$|L_n|=s_L(n)$

Известно , что является рациональным , т.е.$L(z)$

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

с полиномами; это легче всего увидеть, переведя линейно-правую грамматику для в (линейную!) систему уравнений, решением которой является .$P,Q$$L$$L(z)$

Корни по существу ответственны за, что приводит к форме, указанной в Википедии. Это непосредственно связано с методом характеристических полиномов для решения повторений (через повторение, которое описывает ).$Q$$|L_n|$$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$