Математика позади преобразования из любой базы в любую базу без прохождения базы 10?

Я искал математику за преобразование из любой базы в любую базу. Это больше о подтверждении моих результатов, чем о чем-либо. Я нашел то, что кажется моим ответом на mathforum.org, но я все еще не уверен, правильно ли я это понял. У меня есть преобразование из большей базы в меньшую базу, хорошо, потому что это просто взять первую цифру умножить на базу, вы хотите добавить следующую цифру повтора. Моя проблема возникает при преобразовании из меньшей базы в большую базу. При этом они говорят о том, как вам нужно преобразовать большую базу, которую вы хотите, в меньшую базу, которая у вас есть. Примером может быть переход от базы 4 к базе 6, вам нужно преобразовать число 6 в базу 4, получая 12. Затем вы просто делаете то же самое, что и при преобразовании из большого в маленькое. Трудность, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, что вам нужно знать, какое число находится в другой базе. Так что мне нужно было бы знать, что 6 находится в базе 4. Это создает большую проблему в моей голове, потому что тогда мне понадобится стол. Кто-нибудь знает способ сделать это лучше.

Я думал, что базовое преобразование поможет, но я не могу найти такую ​​работу. И с сайта, который я нашел, кажется, что он позволяет вам конвертировать из базы в базу, не проходя через базу 10, но сначала вам нужно знать, как конвертировать первое число из базы в базу. Это делает это бессмысленно.

Комментаторы говорят, что я должен быть в состоянии преобразовать письмо в число. Если так, то я это уже знаю. Это не моя проблема, однако. Моя проблема в том, чтобы преобразовать большую базу в маленькую, мне нужно сначала преобразовать имеющееся у меня базовое число в желаемое. При этом я побеждаю цель, потому что, если у меня есть возможность конвертировать эти базы в другие базы, я уже решил свою проблему.

Изменить: я выяснил, как преобразовать из баз меньше или равно 10 в другие базы меньше или равно 10. Я также могу перейти от базы больше 10 на любую базу, которая меньше или равна 10. Проблема начинается при преобразовании из базы больше 10 в другую базу больше 10. Или из базы меньше 10 в базу больше 10. Мне не нужен код, мне просто нужна базовая математика, которая может быть применяется к коду.

Мне кажется, это очень простой вопрос, так что извините, если я вас немного читаю. Самый важный момент, который вы должны изучить, состоит в том, что число не является его цифровым представлением . Число - это абстрактный математический объект, в то время как его цифровое представление - это конкретная вещь, а именно последовательность символов на бумаге (или последовательность битов в вычислительной памяти, или последовательность звуков, которые вы издаете при передаче числа). Что вас смущает, так это то, что вы никогда не видите число, а всегда его цифровое представление. Таким образом, вы в конечном итоге думаете, что число является представлением.

Следовательно, правильный вопрос, который нужно задать, - это не «как преобразовать из одной базы в другую», а «как узнать, какое число представлено данной строкой цифр» и «как найти цифровое представление данный номер ".

Итак, давайте создадим две функции в Python: одну для преобразования числового представления в число, а другую для обратного. Примечание: когда мы запускаем функцию, Python, конечно, выводит на экран число, которое он получил в базе 10. Но это не означает, что компьютер хранит цифры в базе 10 (это не так). Это не имеет значения , как компьютер представляет собой число.

def toDigits(n, b):
    """Convert a positive number n to its digit representation in base b."""
    digits = []
    while n > 0:
        digits.insert(0, n % b)
        n  = n // b
    return digits

def fromDigits(digits, b):
    """Compute the number given by digits in base b."""
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + d
    return n

Давайте проверим это:

>>> toDigits(42, 2)
[1, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> toDigits(42, 3)
[1, 1, 2, 0]
>>> fromDigits([1,1,2,0],3)
42

Вооружившись функциями преобразования, ваша проблема решается легко:

def convertBase(digits, b, c):
    """Convert the digits representation of a number from base b to base c."""
    return toDigits(fromDigits(digits, b), c)

Тест:

>>> convertBase([1,1,2,0], 3, 2) 
[1, 0, 1, 0, 1, 0]

Примечание: мы не прошли через представление базы 10! Мы преобразовали представление базы в число, а затем число в базу c . Номер был не в каком представлении. (На самом деле, компьютер должен был каким-то образом представлять его, и он представлял его с помощью электрических сигналов и прикольных вещей, которые происходят в микросхемах, но, конечно, это были не нули, а 1).$b$$c$

Я думаю, что лучший способ понять это - это обсуждение с инопланетянином (по крайней мере, в качестве аналогии).

Определение является числом в базе $x$$b$ означает, что является строкой цифр < b .$x$$<b$

Примеры Строка цифр 10010011011 - это число в базе 2, строка 68416841531 - это число в базе 10, BADCAFE - это число в базе 16.

Теперь предположим, что я вырос на планете QUUX, где всех учат работать в всю свою жизнь, и я встречаю вас, который привык основывать b . Так ты показываешь мне номер, и что мне делать? Мне нужен способ интерпретировать это:$q$$b$

Определение Я могу интерпретировать число в базе (Примечание: $b$$b$ - это число в базе ) по следующей формуле$q$

$$\begin{array}{rcl} [\![\epsilon]\!] &=& 0 \\ [\![\bar s d]\!] &=& [\![\bar s]\!] \times b + d \end{array}$$

где обозначает пустую строку, а ˉ с d обозначает строку , оканчивающиеся на цифру$\epsilon$$\bar s d$ . Посмотритемое доказательство того, что дополнение добавляетвведение в эту запись.$d$

Так что здесь произошло? Вы дали мне число в базе и я интерпретировал его в базу q без какой-либо странной философии о том, что на самом деле представляют собой числа.$b$$q$

Ключ Ключ к этому - то, что у и + есть функции, которые работают с основанием числа q . Это простые алгоритмы, определенные рекурсивно на основе чисел q (строки цифр).$\times$$+$$q$$q$

---

Это может показаться немного абстрактным, поскольку я использовал переменные, а не фактические числа. Итак, давайте предположим, что вы - существо из базы 13 (используя символы ), а я привык к базе 7 (что гораздо более разумно), используя символы α β γ δ $0123456789XYZ$ .$\alpha \beta \gamma \delta \rho \zeta \xi$

Итак, я увидел ваш алфавит и составил таблицу следующим образом:

$$\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|} \hline 0 & \alpha & 1 & \beta & 2 & \gamma \\ 3 & \delta & 4 & \rho & 5 & \zeta \\ 6 & \xi & 7 & \beta\alpha & 8 & \beta\beta \\ 9 & \beta\gamma & X & \beta\delta & Y & \beta\rho \\ & & Z & \beta\zeta & & \\ \hline \end{array}$$

Итак, я знаю, что вы работаете в базе , и я знаю, какому числу 7 соответствует любая цифра, которую вы пишете.$\beta\xi$

Теперь, если мы обсуждали физику, а вы говорили мне о фундаментальных константах (скажем) $60Z8$ поэтому мне нужно интерпретировать это:

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ \end{array}$$

Итак, я начинаю с умножения но для меня этошкола, я вспоминаю:$\beta \zeta \times \beta\xi$

Таблица умножения Quux

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline \\ \times & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \hline \beta & \beta & \gamma & \delta & \rho & \zeta & \xi \\ \gamma & \gamma & \rho & \xi & \beta\beta & \beta\delta & \beta\zeta \\ \delta & \delta & \xi & \beta\gamma & \beta\zeta & \gamma\beta & \gamma\rho \\ \rho & \rho & \beta\beta & \beta\zeta & \gamma\gamma & \gamma\xi & \delta\delta \\ \zeta & \zeta & \beta\delta & \gamma\beta & \gamma\xi & \delta\rho & \rho\gamma \\ \xi & \xi & \beta\zeta & \gamma\rho & \delta\delta & \rho\gamma & \zeta\beta \\ \beta\alpha & \beta\alpha & \gamma\alpha & \delta\alpha & \rho\alpha & \zeta\alpha & \xi\alpha \\ \hline \end{array}$$

$\beta \zeta \times \beta\xi$

$$\begin{array}{ccc} & \beta & \zeta \\ \times & \beta & \xi \\ \hline & \xi & \gamma \\ & \rho & \\ \beta & \zeta & \\ \hline \delta & \beta & \gamma \\ \gamma & & \\ \end{array}$$

так что у меня так далеко

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ \end{array}$$

Теперь мне нужно выполнить сложение, используя алгоритм, который был упомянут ранее:

$$\begin{array}{ccc} \delta & \beta & \gamma \\ & \beta & \beta \\ \hline \delta & \gamma & \delta \\ \end{array}$$

так

$$\begin{array}{rcl} [\![60Z8]\!] &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \beta \zeta (\beta\xi) + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \beta \gamma + \beta\beta \\ &=& \xi (\beta\xi)^3 + \alpha (\beta\xi)^2 + \delta \gamma \delta \\ \end{array}$$

$$[\![60Z8]\!] = \zeta\delta\xi\gamma\rho.$$

---

$q$$b$$q$

Это просто рефакторинг (Python 3) кода Андрея . В кодовых номерах Андрея они представлены в виде списка цифр (скаляров), а в следующих кодовых номерах представлены в виде списка символов, взятых из пользовательской строки :

def v2r(n, base): # value to representation
    """Convert a positive number to its digit representation in a custom base."""
    b = len(base)
    digits = ''
    while n > 0:
        digits = base[n % b] + digits
        n  = n // b
    return digits

def r2v(digits, base): # representation to value
    """Compute the number represented by string 'digits' in a custom base."""
    b = len(base)
    n = 0
    for d in digits:
        n = b * n + base[:b].index(d)
    return n

def b2b(digits, base1, base2):
    """Convert the digits representation of a number from base1 to base2."""
    return v2r(r2v(digits, base1), base2)

Чтобы выполнить преобразование из значения в представление в пользовательской базе:

>>> v2r(64,'01')
'1000000'
>>> v2r(64,'XY')
'YXXXXXX'
>>> v2r(12340,'ZABCDEFGHI') # decimal base with custom symbols
'ABCDZ'

Чтобы выполнить преобразование из представления (в пользовательской базе) в значение:

>>> r2v('100','01')
4
>>> r2v('100','0123456789') # standard decimal base
100
>>> r2v('100','01_whatevr') # decimal base with custom symbols
100
>>> r2v('100','0123456789ABCDEF') # standard hexadecimal base
256
>>> r2v('100','01_whatevr-jklmn') # hexadecimal base with custom symbols
256

Для преобразования базы из одной базы в другую:

>>> b2b('1120','012','01')
'101010'
>>> b2b('100','01','0123456789')
'4'
>>> b2b('100','0123456789ABCDEF','01')
'100000000'

Фундаментальной операцией базового преобразования является toDigits()операция ответа @AndrejBauer. Однако, чтобы сделать это, нет необходимости создавать число во внутреннем представлении чисел, которое в основном представляет собой преобразование из представления в базу 2 и обратно. Вы можете сделать необходимые операции в исходном базовом представлении.

Таким образом, первым шагом является выполнение повторяющейся операции деления по модулю.

def convertBase(n,original_base,destination_base):
    digits = []    
    while not is_zero(n):
        digits.insert(0,modulo_div(n,original_base,destination_base))
    return digits

Поскольку внутренним представлением являются цифры, нужно сделать специальную функцию для проверки нуля

def is_zero(n):
    for d in n:
        if d != 0:
            return False
    return True

В конце концов, нужно выполнить операцию modulo_div, которая на самом деле является стандартным делением на базу назначения, как мы учились в школе.

def modulo_div(n,original_base,destination_base):
    carry = 0
    for i in range(len(n)):
        d = n[i]
        d+=original_base*carry 
        carry = d%destination_base 
        d=(d//destination_base)
        n[i] = d
        #print(i,d,carry)
    return carry

просто проверка, чтобы убедиться, что код правильный:

print(convertBase([1,1,2,0], 3, 2))
#[1, 0, 1, 0, 1, 0]

print(convertBase([1, 0, 1, 0, 1, 0], 2, 3))
#[1, 1, 2, 0]

Я знаю простой способ сделать базовое преобразование, которое не требует компьютерной программы. Это путем определения способа преобразования из любой базы в базу 2 и наоборот, а затем покрытия из одной базы в другую базу путем первого преобразования из первой базы в базу 2, а затем преобразования из базы 2 в другую базу. 2 так легко умножить или разделить на любую базу.

Чтобы преобразовать из любой базы в базу 2, все, что вам нужно сделать, это распознать, что для любого числа, если вы возьмете его запись из базы 2 и начнете с 0, а затем для каждой цифры в порядке слева направо, удвойте, если эта цифра равна нулю и вдвое больше, чем 1, если эта цифра равна 1, вы получите сам этот номер. Теперь, учитывая это число в любой базе, вы можете разделить на 2 в этой базе, чтобы получить частное и остаток. Если остаток равен 1, последняя двоичная цифра равна 1, а если остаток равен 0, последняя двоичная цифра равна 0. Разделите снова на 2. Если остаток равен 1, вторая последняя цифра равна 1, а если остаток равен 0, вторая последняя цифра равна 0 и т. Д., Пока вы не получите коэффициент 0.

Чтобы преобразовать из базы 2 в любую базу, все, что вам нужно сделать, это в этой базе, начать с 0, затем для каждой двоичной цифры, идущей слева направо, удвоить в этой базе, если эта цифра равна 0, и удвоить, затем добавить 1 в эту база, если эта цифра 1.

Вы можете конвертировать из базы n в базу 10 без какого-либо преобразования в некоторую промежуточную базу.

Например, для преобразования из базы n в базу 9 вы берете алгоритм преобразования в базу 10 и заменяете «10» на «9». То же самое для любой другой базы.