Число гамильтоновых циклов на графе Серпинского

Я новичок в этом форуме и просто физик, который делает это, чтобы поддерживать свой мозг в форме, поэтому, пожалуйста, проявите изящество, если я не использую самый элегантный язык. Также, пожалуйста, оставьте комментарий, если вы считаете, что другие теги будут более подходящими.

Я пытаюсь решить эту проблему, для которой мне нужно вычислить число гамильтоновых циклов в графе Серпинского го порядка . (Пожалуйста, также см. Ссылку выше для определения и изображений графов Серпинского)n S $C(n)$$n$$S_n$

Я нашел , но, должно быть, что-то , потому что мое решение не соответствует заданному значению . Моя аргументация состоит из очень простых мыслей, и я не могу найти ошибку. Любая помощь очень ценится. Даже если это кажется длинным, мысли становятся тривиальными, если вы смотрите на графики во время следования.C ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(а) В данном графе называют внешние углы . Затем я определяю следующие величины: A , B , $S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$ количество гамильтоновых путей от до .$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$ число путей от до , которые посещают каждый узел один раз , за исключением .C $A$$C$$B$

Я также назову такие пути путями или -типа в следующем.ˉ $N$$\bar{N}$

(б) Легко видеть, что .$N(n)=\bar{N}(n)$

Причина в следующем: рассмотрим путь типа. Начиная с этот путь имеет форму . Заменив сегмент на мы получим путь -типа. Эта операция однозначно отображает все пути типа в пути -типа.( , . . . , Х 1 , В , Х 2 , . . . , С ) ( Х 1 , В , Х 2 ) ( Х 1 , Х 2 ) ˉ Н Н ˉ $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

(в) Выведем рекурсию .$N(n+1)=2N(n)^3$

Рассмотрим путь типа от до и обозначим подтреугольники во внешних углах как соответственно. Ясно, что путь типа будет посещать каждый подтреугольник ровно один раз, начиная с по до . Теперь рассмотрим узел в котором подтреугольники и . Есть две возможности, когда эта точка посещается путем, либо (i) перед выходом из либо (ii) после входа вA B A , B , C T A , T B , T C N T A T B T C Z T A T C T A T C T A T T , T B , T C N , N , ˉ N ˉ N , N , $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$$T_A$$T_C$, В этих случаях три подпути внутри имеют типы (i) или (ii) соответственно. Имея это в виду, мы можем рассчитывать$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ и с (b) мы приходим к верхнему рекурсии.

(d) Мы решаем рекурсию (c) с и получаем .N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . , , + 3 н - $N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Рассмотрим гамильтонов цикл в графе . Поскольку каждый из трех подтреугольников связан с остальными только через два узла, ясно, что цикл будет входить в каждый подтреугольник ровно один раз через один соединительный узел, затем «заполнять» его, и, наконец, покинуть его через другой соединительный узел. Следовательно, гамильтонов цикл в состоит из трех подпутей типа в подтреугольниках, которые имеют структуру . Можно сделать вывод о количестве гамильтоновых цикловS n N S S n - $S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$ .

Однако это следует для$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

где последний должен быть получен в соответствии со страницей проблемы (ссылка выше).

Еще раз спасибо за любую помощь или комментарии.

Хорошая идея! Кажется, проблема в шаге . Замена в на дает , но не каждый путь будет содержать . Так что это не биекция. Это говорит только .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Или вы можете фактически показать, что , в результате чего .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$