Если

Скажем, $L \subseteq \{0\}^*$ . Тогда как мы можем доказать, что $L^*$ регулярно?

Если $L$ регулярно, то, конечно, $L^*$ также регулярно. Если $L$ конечно, то оно регулярно и снова $L^*$ регулярно. Также я заметил, что для $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ не является регулярным, $L \subseteq \{0\}^*$ и $L^*$ регулярным.

Но как показать это для любого подмножества $L$ в $\{0\}^*$ ?

Предположим, что $L$ содержит два слова $w_1$ и $w_2$ такие, что длины этих слов $|w_1|$и $|w_2|$, не имеют общих факторов. Тогда мы имеем, что самое длинное слово, которое не может быть образовано путем объединения этих слов, имеет длину $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( число Фробениуса). То есть, если в языке есть слова, длина которых не имеет общего множителя, то все слова определенной минимальной длины находятся в языке $L^*$ . Легко видеть, что это регулярно, так как по необходимости существует конечное число классов эквивалентности в отношении неразличимости Майхилла-Нерода.

Что если длины всех слов в имеют общий фактор? Что ж, нетрудно видеть, что в таких случаях L ∗ также является регулярным. Просто отметьте, что вместо всех слов, длина которых больше некоторой минимальной длины, находящихся в L ∗ , вместо этого будет верно, что все слова, длина которых кратна GCD длины слов, будут в L ∗ , и нет слов, длина которых не кратны этой GCD, и, поскольку ( L k ) ∗ является регулярной для любого целого числа k , L ∗ также является регулярной.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Это довольно неформально, но все, что вам нужно формализовать, должно быть здесь.

$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Пусть подмножество и слова в . можно выразить как конкатенацию слов в еслиможет быть выражено в виде суммы элементов , где представляет собой набор длин слов в . Таким образом, проблема сводится к выражению целого числа в виде суммы целых чисел в определенном наборе (с разрешенными повторениями): canбыть выражено как с и ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Это хорошо известная проблема арифметики, и ответ если коэффициенты могут быть отрицательными ( ),представима тогда и только тогда оно кратно наибольший общий делитель элементов : . С требованием неотрицательных коэффициентов это все еще справедливо для достаточно больших,$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Рассмотрим бесконечную последовательность определенную как . Это убывающая последовательность целых чисел (начиная с , поэтому она постоянна после определенного индекса ; и По китайской теореме об остатках любой элемент из может быть выражается как с и . Если и тогда вы можете выбрать все неотрицательные коэффициенты.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Достаточно арифметики. Пусть . Каждое слово в может быть выражено как объединение слов в , длина которых не , то есть . Так как у нас также есть , у нас есть , который является регулярным, поскольку конечен, следовательно, регулярен.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

В качестве альтернативы используйте характеристику обычных языков в однобуквенных алфавитах .