Введение в числовую математику
Это "Привет, мир!" уравнений в частных производных (уравнения с частными производными). Уравнение Лапласа или диффузии часто встречается в физике, например, в уравнении теплопроводности, деформировании, динамике жидкости и т. Д. Поскольку реальная жизнь - это 3D, но мы хотим сказать: «Привет, мир!» а не петь "99 бутылок пива, ..." это задание дано в 1D. Вы можете интерпретировать это как резиновый халат, привязанный к стене на обоих концах с некоторой силой, приложенной к нему.
В [0,1]домене найдите функцию uдля заданной функции источника fи граничных значений u_Lи u_Rтакую, что:
-u'' = fu(0) = u_Lu(1) = u_R
u'' обозначает вторую производную u
Это можно решить чисто теоретически, но ваша задача состоит в том, чтобы решить ее численно в дискретизированной области x для Nточек:
- х =
{i/(N-1) | i=0..N-1}или на основе 1:{(i-1)/(N-1) | i=1..N} h = 1/(N-1)это расстояние
вход
fкак функция или выражение или строкаu_L,u_Rкак значения с плавающей запятойNкак целое число> = 2
Выход
- Array, List, какая-то отдельная строка,
uтакая, чтоu_i == u(x_i)
Примеры
Пример 1
Входные данные : f = -2, u_L = u_R = 0, N = 10(не принимать f=-2неправильно, это не значение , а функция константа , которая возвращается -2для всех xЭто как постоянная сила тяжести на нашей веревке.) .
Выход: [-0.0, -0.09876543209876543, -0.1728395061728395, -0.22222222222222224, -0.24691358024691357, -0.24691358024691357, -0.22222222222222224, -0.1728395061728395, -0.09876543209876547, -0.0]
Существует простое точное решение: u = -x*(1-x)
Пример 2
Входные данные : f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15(здесь есть много наветренной на правой стороне)
Выход: [ 0., 0.1898688, 0.37609329, 0.55502915, 0.72303207, 0.87645773, 1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758, 1.2361516, 1.14176385, 1.]
Точное решение для этого заявляет: u = 1/3*(8*x-5*x^3)
Пример 3
Входной сигнал: f = sin(2*pi*x), u_L = u_R = 1, N = 20(кто - то сломал тяжести или есть своего рода вверх по направлению ветра)
Выход: [ 1., 1.0083001, 1.01570075, 1.02139999, 1.0247802, 1.0254751, 1.02340937, 1.01880687, 1.01216636, 1.00420743, 0.99579257, 0.98783364, 0.98119313, 0.97659063, 0.9745249, 0.9752198, 0.97860001, 0.98429925, 0.9916999, 1.]
Здесь точное решение u = (sin(2*π*x))/(4*π^2)+1
Пример 4
Вход: f = exp(x^2), u_L = u_R = 0,N=30
Выход:
[ 0. 0.02021032 0.03923016 0.05705528 0.07367854 0.0890899
0.10327633 0.11622169 0.12790665 0.13830853 0.14740113 0.15515453
0.16153488 0.1665041 0.17001962 0.172034 0.17249459 0.17134303
0.16851482 0.1639387 0.15753606 0.1492202 0.13889553 0.12645668
0.11178744 0.09475961 0.07523169 0.05304738 0.02803389 0. ]
Обратите внимание на небольшую асимметрию
FDM
Одним из возможных способов решения этой проблемы является метод конечных разностей :
- переписать
-u_i'' = f_iкак (-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1})/h² = f_iчто равно-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1} = h²f_i- Настройте уравнения:
- Которые равны матрично-векторному уравнению:
- Решите это уравнение и выведите
u_i
Одна реализация этого для демонстрации в Python:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace(f, uL, uR, N):
h = 1./(N-1)
x = [i*h for i in range(N)]
A = np.zeros((N,N))
b = np.zeros((N,))
A[0,0] = 1
b[0] = uL
for i in range(1,N-1):
A[i,i-1] = -1
A[i,i] = 2
A[i,i+1] = -1
b[i] = h**2*f(x[i])
A[N-1,N-1] = 1
b[N-1] = uR
u = np.linalg.solve(A,b)
plt.plot(x,u,'*-')
plt.show()
return u
print laplace(lambda x:-2, 0, 0, 10)
print laplace(lambda x:10*x, 0, 1, 15)
print laplace(lambda x:np.sin(2*np.pi*x), 1, 1, 20)
Альтернативная реализация без матричной алгебры (с использованием метода Якоби )
def laplace(f, uL, uR, N):
h=1./(N-1)
b=[f(i*h)*h*h for i in range(N)]
b[0],b[-1]=uL,uR
u = [0]*N
def residual():
return np.sqrt(sum(r*r for r in[b[i] + u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1] for i in range(1,N-1)]))
def jacobi():
return [uL] + [0.5*(b[i] + u[i-1] + u[i+1]) for i in range(1,N-1)] + [uR]
while residual() > 1e-6:
u = jacobi()
return u
Однако вы можете использовать любой другой метод для решения уравнения Лапласа. Если вы используете итерационный метод, вы должны выполнять итерацию до|b-Au|<1e-6 , bпричем вектор справаu_L,f_1h²,f_2h²,...
Примечания
В зависимости от вашего метода решения вы можете не решить примеры точно для данных решений. По крайней мере дляN->infinity ошибки должно приближаться к нулю.
Стандартные лазейки запрещены , встроенные модули для PDE разрешены.
бонус
Бонус -30% за отображение решения в графическом или ASCII-стиле.
выигрыш
Это Codegolf, поэтому выигрывает самый короткий код в байтах!
log(log(x))или sqrt(1-x^4)которые имеют интеграл, который, однако, не выражается в элементарных функциях.
u(x) = 1/2 (-sqrt(π) x erfi(x)+sqrt(π) erfi(1) x+e^(x^2)-e x+x-1)он не является точно вычисляемым.
f(x) = exp(x^2).