Если дано гауссово целое число $a+bi$ где $a$ , $b$ - целые числа, а $i = \exp\left(\pi i/2\right)$ - мнимая единица, вернуть самое близкое (относительно евклидова расстояния) целое Эйзенштейна $k+l\omega$ где $k$ , $l$ - целые числа и $\omega = \exp(2\pi i/3) = (-1+i\sqrt{3})/2$.

Фон

Вероятно, совершенно очевидно, что каждое гауссово целое число может быть однозначно записано как $a+bi$ с целыми числами $a$ , $b$ . Это не так очевидно , но тем не менее верно: любое целое Эйзенштейна можно однозначно записать в виде $k+l\omega$ с $k$ , $l$ целых чисел. Оба они образуют $\mathbb{Z}$ модуль внутри комплексных чисел и оба являются p-тыми циклотомическими целыми числами для $p=2$ или $3$ соответственно. Обратите внимание, что $3+2i \neq 3+2\omega$

_{^{Источник: commons.wikimedia.org}}

Детали

• Если у данного комплексного числа есть две или три ближайших точки, любая из них может быть возвращена.

• Комплексное число дается в прямоугольных координатах (основание $(1,i)$ ), но кроме этого в любом удобном формате, таком как (A,B)или A+Biили A+B*1jи т. Д.

• Целое число Эйзенштейна должно быть возвращено в качестве координат базиса $(1,\omega)$ но в любом удобном формате, например, (K,L)или, K+Lωи K+L*1ωт. Д.

Примеры

Все действительные целые числа, очевидно, должны быть снова сопоставлены с действительными целыми числами.

  6,14 -> 14,16
  7,16 -> 16,18
-18,-2 ->-19,-2
 -2, 2 -> -1, 2
 -1, 3 -> 1, 4

APL (Dyalog Extended) , 16 байтов ^SBCS

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3

Попробуйте онлайн!

Полная программа , которая принимает yзатем xиз стандартного ввода и выводит 2-элементный вектор целых чисел а.

Как это работает: математика

Прежде всего, обратите внимание, что любое гауссово целое число будет помещено на вертикальную диагональ ромба, а точка $Z$ расположена в $(x,\sqrt3y)$для некоторого целого числа$x,y$.

      + W
     /|\
    / | \
   /  |  \
  /   + X \
 /    |    \
+-----|-----+V
 \    |    /
  \   + Y /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      + Z

На рисунке, $\overline{WZ}=\sqrt3$ и$\overline{WX}=\overline{XY}=\overline{YZ}=\overline{XV}=\overline{YV}=\frac{1}{\sqrt3}$ . Итак, учитывая вертикальное положение точки, мы можем определить ближайшую точку Эйзенштейна следующим образом:

$$\text{Given a point }P \in \overline{WZ}, \\ \left\{ \begin{array}{c} P \in \overline{WX} \implies \text{the nearest point is } W \\ P \in \overline{XY} \implies \text{the nearest point is } V \\ P \in \overline{YZ} \implies \text{the nearest point is } Z \end{array} \right.$$

Учитывая гауссову точку $P$ , мы сначала определяем, к какому алмазупринадлежит$P$ , и измеряем, сколько алмазов (обозначено$h$ )$Z$ находится внеоси$x$ .

$$h = \lfloor P.y \div \sqrt3 \rfloor$$

Тогда координаты Эйзенштейна $Z$ являются

$$Z.x_E = P.x+h, \quad Z.y_E = 2h$$

Теперь мы определяем из сегментов $\overline{WX},\overline{XY},\overline{YZ}$ $P$принадлежит. Для этого мы можем рассчитать показатель$w$следующим образом:

$$w = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor \% 3$$

$w = 0, 1, 2$$\overline{YZ},\overline{XY},\overline{WX}$$P$$Z$$V$$X$

$$P_E.x_E = P.x+h+\lceil \frac{w}2 \rceil, \quad P_E.y_E = 2h+w$$

$h$$w$

$$y' = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor, \quad P_E.x_E = P.x+\lceil y' \div 3 \rceil, \quad P_E.y_E = \lceil 2y' \div 3 \rceil$$

How it works: the code

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3
           ⌊⎕×√3  ⍝ Take the first input (P.y) and calculate y'
   ⌈3÷⍨1 2×       ⍝ Calculate [ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]
⎕0+  ⍝ Take the second input(P.x) and calculate [P.x+ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]

JavaScript (ES6), 112 bytes

(a,b,l=b/Math.pow(.75,.5),k=a+l/2,f=Math.floor,x=k-(k=f(k)),y=l-(l=f(l)),z=x+y>1)=>[k+(y+y+z>x+1),l+(x+x+z>y+1)]

ES7 can obviously trim 9 bytes. Explanation: k and l initially represent the floating-point solution to k+ωl=a+ib. However, the coordinates needed to be rounded to the nearest integer by Euclidean distance. I therefore take the floor of k and l, then perform some tests on the fractional parts to determine whether incrementing them would result in a nearer point to a+ib.

MATL, 39 38 35 bytes

t|Ekt_w&:2Z^tl2jYP3/*Zeh*!sbw6#YkY)

Input format is 6 + 14*1j (space is optional). Output format is 14 16.

Try it online!

Explanation

Сначала код принимает входные данные как комплексное число. Затем он генерирует достаточно большую гексагональную сетку в комплексной плоскости, находит точку, ближайшую к входу, и возвращает его «координаты» Эйзенштейна.

t         % Take input implicitly. This is the Gauss number, say A. Duplicate
|Ek       % Absolute value times two, rounded down
t_        % Duplicate and negate
w&:       % Range. This is one axis of Eisenstein coordinates. This will generate
          % the hexagonal grid big enough
2Z^       % Cartesian power with exponent 2. This gives 2-col 2D array, say B
t         % Duplicate
l         % Push 1
2jYP3/*   % Push 2*j*pi/3
Ze        % Exponential
h         % Concatenate. Gives [1, exp(2*j*pi/3)]
*         % Multiply by B, with broadcast.
!s        % Sum of each row. This is the hexagonal grid as a flattened array, say C
bw        % Bubble up, swap. Stack contains now, bottom to top: B, A, C
6#Yk      % Index of number in C that is closest to A
Y)        % Use as row index into B. Implicitly display

Haskell , 128 байт

i=fromIntegral;r=[floor,ceiling];a!k=(i a-k)**2;c(a,b)|l<-2*i b/sqrt 3,k<-i a+l/2=snd$minimum[(x k!k+y l!l,(x k,y l))|x<-r,y<-r]

Попробуйте онлайн!

Для ввода гауссовского целого числа (a, b), конвертируйте его в координаты Эйзенштейна, задайте для пола и потолка оба компонента, чтобы получить четыре кандидата на ближайшее целое число Эйзенштейна, найдите тот с минимальным расстоянием и верните его.

Tcl , 124 116 106 байт

{{a b f\ int(floor(2*$b/3**.5)) {l "[expr $f+(1-$f%2<($b-$f)*3**.5)]"}} {subst [expr $l+$a-($f+1)/2]\ $l}}

Попробуйте онлайн!

Это несколько вдохновлено трехлетней записью от @Neil

Функция floor возвращает угол ромба, ребрами которого являются векторы 1 и $\omega$, Относительно этого ромба гауссово целое число лежит на перпендикулярном би-секторе либо вершины (если l четное), либо основания (если l нечетное). Это важно, потому что это означает, что либо нижний левый угол, либо верхний правый угол будет приемлемым решением. Я вычисляю k для левого нижнего угла и делаю один тест, чтобы увидеть, находится ли гауссово целое число выше или ниже диагонали, разделяющей два угла; Я добавляю 1 к k, когда выше диагонали, и я делаю то же самое для л.

Сохранение 10 байтов с использованием «знака перекрестного произведения vxd диагонали d с вектором v, соединяющим нижний правый угол и (a, b)», в качестве теста, для которого лежит сторона диагонали.

Бурлеск , 24 байта

pe@3r@2././J2./x/.+CL)R_

Попробуйте онлайн!

Уверен, это может быть короче. Ввод читать какa b

pe      # Parse input to two ints
@3r@2./ # sqrt(3)/2
./      # Divide b by sqrt(3)/2
J2./    # Duplicate and divide by 2
x/.+    # swap stack around and add to a
CL      # Collect the stack to a list
)R_     # Round to ints

05AB1E , 13 байтов

Ответ APL порта Bubbler

3t*ïx‚3/îR΂+

Попробуйте онлайн!

Вход и выход - у первого, х второго.