Сегодня моя невеста пригласила меня на ужин, чтобы отпраздновать мой день рождения. Пока мы отсутствовали, я слышал, как Happy Birthday пели 5 разных гостей (включая меня) в ресторане, в котором было 50 человек. Это заставило меня задуматься - оригинальная проблема дня рождения (определение вероятности того, что 2 человека в комнате Nлюдей имеют одинаковый день рождения) очень проста и понятна. Но как насчет расчета вероятности того, что по крайней мере kлюди из Nлюдей будут иметь одинаковый день рождения?

Если вам интересно, вероятность того, что по крайней мере 5 человек из 50 всех людей, имеющих общий день рождения, составляет около 1/10000.

Соревнование

Учитывая два целых числа Nи k, где N >= k > 0, выведите вероятность того, что по крайней мере kлюди в группе Nлюдей будут иметь одинаковый день рождения. Для простоты предположим, что всегда есть 365 возможных дней рождения и что все дни одинаково вероятны.

Для k = 2, это сводится к исходной задаче по случаю дня рождения, а вероятность 1 - P(365, N)/(365)**N(где P(n,k)это число к-длине перестановок , образованных из п элементов ). Для больших значений k, эта статья Wolfram MathWorld может оказаться полезной.

правила

• Вывод должен быть детерминированным и максимально точным для выбранного вами языка. Это означает отсутствие оценки Монте-Карло или приближения Пуассона.
• Nи kбудет не больше наибольшего представимого целого числа на выбранном вами языке. Если выбранный вами язык не имеет жесткого максимума целых чисел (кроме ограничений памяти), то Nи kможет быть сколь угодно большим.
• Ошибки точности, возникающие из-за неточностей с плавающей запятой, могут быть проигнорированы - ваше решение должно предполагать идеально точные, бесконечно точные поплавки.

Тестовые случаи

Формат: k, N -> exact fraction (float approximation)

2, 4 -> 795341/48627125 (0.016355912466550306)
2, 10 -> 2689423743942044098153/22996713557917153515625 (0.11694817771107766)
2, 23 -> 38093904702297390785243708291056390518886454060947061/75091883268515350125426207425223147563269805908203125 (0.5072972343239854)
3, 3 -> 1/133225 (7.5060987051979735e-06)
3, 15 -> 99202120236895898424238531990273/29796146005797507000413918212890625 (0.0033293607910766013)
3, 23 -> 4770369978858741874704938828021312421544898229270601/375459416342576750627131037126115737816349029541015625 (0.01270542106874784)
3, 88 -> 121972658600365952270507870814168157581992420315979376776734831989281511796047744560525362056937843069780281314799508374037334481686749665057776557164805212647907376598926392555810192414444095707428833039241/238663638085694198987526661236008945231785263891283516149752738222327030518604865144748956653519802030443538582564040039437134064787503711547079611163210009542953054552383296282869196147657930850982666015625 (0.5110651106247305)
4, 5 -> 1821/17748900625 (1.0259790386313012e-07)
4, 25 -> 2485259613640935164402771922618780423376797142403469821/10004116148447957520459906484225353834116619892120361328125 (0.0002484237064787077)
5, 50 -> 786993779912104445948839077141385547220875807924661029087862889286553262259306606691973696493529913926889614561937/7306010813549515310358093277059651246342214174497508156711617142094873581852472030624097938198246993124485015869140625 (0.00010771867165219201)
10, 11 -> 801/8393800448639761033203125 (9.542757239717371e-23)
10, 20 -> 7563066516919731020375145315161/4825745614492126958810682272575693836212158203125 (1.5672327389589693e-18)
10, 100 -> 122483733913713880468912433840827432571103991156207938550769934255186675421169322116627610793923974214844245486313555179552213623490113886544747626665059355613885669915058701717890707367972476863138223808168550175885417452745887418265215709/1018100624231385241853189999481940942382873878399046008966742039665259133127558338726075853312698838815389196105495212915667272376736512436519973194623721779480597820765897548554160854805712082157001360774761962446621765820964355953037738800048828125 (1.2030611807765361e-10)
10, 200 -> 46037609834855282194444796809612644889409465037669687935667461523743071657580101605348193810323944369492022110911489191609021322290505098856358912879677731966113966723477854912238177976801306968267513131490721538703324306724303400725590188016199359187262098021797557231190080930654308244474302621083905460764730976861073112110503993354926967673128790398832479866320227003479651999296010679699346931041199162583292649095888379961533947862695990956213767291953359129132526574405705744727693754517/378333041587022747413582050553902956219347236460887942751654696440740074897712544982385679244606727641966213694207954095750881417642309033313110718881314425431789802709136766451022222829015561216923212248085160525409958950556460005591372098706995468877542448525403291516015085653857006548005361106043070914396018461580475651719152455730181412523297836008507156692430467118523245584181582255037664477857149762078637248959905010608686740872875726844702607085395469621591502118462813086807727813720703125 (1.21685406174776e-07)

Желе , 17 16 байтов

ĠZL
365ṗÇ€<¬µS÷L

Крайне неэффективно. Попробуйте онлайн! (но держите N ниже 3 )

Как это устроено

365ṗÇ€<¬µS÷L  Main link. Left argument: N. Right argument: K

365ṗ          Cartesian product; generate all lists of length N that consist of
              elements of [1, ..., 365].
    ǀ        Map the helper link over all generated lists. It returns the highest
              amount of people that share a single birthday.
      <       Compare each result with K.
       ¬      Negate.
        µS÷L  Take the mean by dividing the sum by the length.


ĠZL           Helper link. Argument: A (list of integers)

Ġ             Group the indices have identical values in A.
 Z            Zip; transpose rows with columns.
  L           Take the length of the result, thus counting columns.

MATL , 16 байт

365:Z^!tXM=s>~Ym

Первый вход есть N, второй есть k.

Попробуйте онлайн!

Это основанный на перечислении подход, подобный ответу Дженни Денниса , поэтому входные числа должны быть небольшими из-за ограничений памяти.

365:   % Vector [1 2 ... 365]
Z^     % Take N implicitly. Cartesian power. Gives a 2D array with each
       % "combination" on a row
!      % Transpose
t      % Duplicate
XM     % Mode (most frequent element) of each column
=      % Test for equality, element-wise with broadcast. For each column, gives
       % true for elements equal to that column's mode, false for the rest
s      % Sum of each column. Gives a row vector
>~     % Take k implicitly. True for elements equal or greater than k
Ym     % Mean of each column. Implicitly display

J 41 36 байт

(+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^))

Прямой подход, похожий на другие. Встречается с проблемами памяти при n> 3 .

использование

Принимает значение kна LHS и nRHS.

   f =: (+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^))
   0 f 0
0
   0 f 1
1
   1 f 1
1
   0 f 2
1
   1 f 2
1
   2 f 2
0.00273973
   0 f 3
1
   1 f 3
1
   2 f 3
0.00820417
   3 f 3
7.5061e_6

На моем компьютере, используя i7-4770k и таймер чужой 6!:2, вычисление для n = 3 требует около 25 секунд.

   timer =: 6!:2
   timer '2 f 3'
24.7893
   timer '3 f 3'
24.896

объяснение

(+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^)) Input: k on LHS, n on RHS
          365&                       The number 365
               #~                    Create n copies of 365
                                 ^   Calculate 365^n
                              i.@    The range [0, 1, ..., 365^n-1]
                            #:       Convert each value in the range to base-n and pad
                                     with zeroes to the right so that each has n digits
                     (#/.~)@         Find the size of each set of identical values
                 >./@                Find the max size of each
        <:                           Test each if greater than or equal to k
(+/%#)@                              Apply to the previous result
 +/                                  Find the sum of the values
    #                                Count the number of values
   %                                 Divide the sum by the count and return