Учитывая два непустых списка целых чисел, ваше представление должно вычислить и вернуть дискретную свертку двух. Интересно, что если вы рассматриваете элементы списка как коэффициенты многочленов, свертка двух списков представляет коэффициенты произведения двух многочленов.

Определение

Учитывая списки A=[a(0),a(1),a(2),...,a(n)]и B=[b(0),b(1),b(2),...,b(m)](установка a(k)=0 for k<0 and k>nи b(k)=0 for k<0 and k>m), тогда свертка двух определяется как A*B=[c(0),c(1),...,c(m+n)]гдеc(k) = sum [ a(x)*b(y) for all integers x y such that x+y=k]

правила

• Допускается любое удобное форматирование ввода и вывода для вашего языка.
• Встроенные модули для свертки, создания матриц свертки, корреляции и полиномиального умножения не допускаются.

Примеры

[1,1]*[1] = [1,1]
[1,1]*[1,1] = [1,2,1]
[1,1]*[1,2,1] = [1,3,3,1]
[1,1]*[1,3,3,1] = [1,4,6,4,1]
[1,1]*[1,4,6,4,1] = [1,5,10,10,5,1]

[1,-1]*[1,1,1,1,1] = [1,0,0,0,0,-1]
[80085,1337]*[-24319,406] = [-1947587115,7,542822]

J 10 8 байт

[:+//.*/

Использование:

ppc =: [:+//.*/    NB. polynomial product coefficients 
80085 1337 ppc _24319 406
_1947587115 7 542822

Описание: Программа берет два списка, составляет таблицу умножения, затем добавляет числа на положительных диагоналях.

MATL , 19 байт

PiYdt"TF2&YStpsw]xx

Попробуйте онлайн!

объяснение

Это создает блочно-диагональную матрицу с двумя входами, обращая первый. Например, с входами [1 4 3 5], [1 3 2]матрица

[ 5 3 4 1 0 0 0
  0 0 0 0 1 3 2 ]

Каждая запись свертки получается путем смещения первой строки на одну позицию вправо, вычисления произведения каждого столбца и суммирования всех результатов.

В принципе, сдвиг должен выполняться с нулями слева. Эквивалентно, круговое смещение может использоваться, потому что матрица содержит нули в соответствующих записях.

Например, первый результат получается из смещенной матрицы

[ 0 5 3 4 1 0 0
  0 0 0 0 1 3 2 ]

и таким образом 1*1 == 1. Второй получается из

[ 0 0 5 3 4 1 0
  0 0 0 0 1 3 2 ]

и, таким образом 4*1+1*3 == 7, и т. д. Это должно быть сделано m+n-1раз, где mи nдлина ввода. Код использует цикл с m+nитерациями (который сохраняет несколько байтов) и отбрасывает последний результат.

P          % Take first input (numeric vactor) implicitly and reverse it
i          % Take second input (numeric vactor) 
Yd         % Build diagonal matrix with the two vectors
t          % Duplicate
"          % For each column of the matrix
  TF2&YS   %   Circularly shift first row 1 step to the right
  t        %   Duplicate
  p        %   Product of each column
  s        %   Sum all those products
  w        %   Swap top two elements in stack. The shifted matrix is left on top
]          % End for
xx         % Delete matrix and last result. Implicitly display

Haskell, 55 49 байтов

(a:b)#c=zipWith(+)(0:b#c)$map(a*)c++[]#b
_#c=0<$c

Определяет оператора #.

Matlab / Octave, 41 байт

@(p,q)poly([roots(p);roots(q)])*p(1)*q(1)

Это определяет анонимную функцию. Чтобы вызвать его, присвойте его переменной или используйте ans.

Попробуй это здесь .

объяснение

Это использует факты, которые

• Корни (возможно, повторяющиеся) характеризуют многочлен с точностью до его ведущего коэффициента.
• Произведение двух полиномов имеет корни обоих.

Код вычисляет корни двух полиномов (функции roots) и объединяет их в массив столбцов. Отсюда получаются коэффициенты многочлена произведения с лидирующей 1(функцией poly). Наконец, результат умножается на старшие коэффициенты двух полиномов.

Октава , 48 байт

@(p,q)ifft(fft([p q*0]).*fft([q p*0]))(1:end-1)

Попробуй это здесь .

объяснение

Дискретная свертка соответствует умножению (дискретного времени) преобразований Фурье. Таким образом, одним из способов умножения многочленов будет преобразование их, умножение преобразованных последовательностей и обратное преобразование.

Если вместо преобразования Фурье используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ) , результатом является циклическая свертка исходных последовательностей полиномиальных коэффициентов. Код следует этому маршруту. Чтобы сделать круговую свертку равной стандартной свертке, последовательности дополняются нулями, а результат обрезается.

05AB1E , 18 17 байт

Код

0Ev²¹g<Å0«y*NFÁ}+

объяснение

Теория позади:

Чтобы найти свертку, давайте рассмотрим пример [1, 2, 3], [3, 4, 5]. Мы позиционируем значения первого массива вверх ногами и вертикально, вот так:

3
2
1

Теперь мы помещаем второй массив как лестницу и умножаем его на:

3 ×       [3  4  5]
2 ×    [3  4  5]
1 × [3  4  5]

В результате чего:

        9   12   15
    6   8   10
3   4   5

Затем мы складываем их, получая в результате:

        9   12   15
    6   8   10
3   4   5       

3   10  22  22   15

Итак, свертка есть [3, 10, 22, 22, 15].

Сам код:

Мы будем делать это шаг за шагом , используя [1, 2, 3], в [3, 4, 5]качестве тестового примера.

0Ev²¹g<Å0«y*NFÁ}+

Сначала мы нажимаем, 0а затем Eоцениваем первый входной массив. Мы наносим на карту каждый элемент, используя v.

Таким образом, для каждого элемента мы добавляем второй массив, ²а затем используем длину первого массива ¹gи уменьшаем его на 1 (с <). Мы конвертируем это в список нулей с (длина 1-го массива - 1) нулей, используя Å0и добавляем это в наш список. Теперь наш стек выглядит следующим образом для первого элемента в списке ввода:

[3, 4, 5, 0, 0]

Мы умножаем этот массив на текущий элемент, сделанный с y*. После этого мы нажимаем N, что указывает на индекс текущего элемента (с нулевым индексом) и поворачиваем массив, который много раз вправо, используя FÁ}. Наконец, мы добавляем это к нашему начальному значению ( 0). Итак, в основном делается следующее:

[0, 0, 9, 12, 15] +
[0, 6, 8, 10, 0] +
[3, 4, 5, 0, 0] =

[3, 10, 22, 22, 15]

Который затем неявно печатается. Использует кодировку CP-1252 . Попробуйте онлайн! ,

Желе , 9 байт

0;+
×'Ṛç/

Попробуйте онлайн! или проверьте все контрольные примеры .

Как это устроено

×'Ṛç/  Main link. Arguments: p, q (lists)

×'     Spawned multiplication; multiply each item of p with each item of q.
  Ṛ    Reverse the rows of the result.
   ç/  Reduce the rows by the helper link.


0;+    Helper link. Arguments: p, q (lists)

0;     Prepend a 0 to p.
  +    Perform vectorized addition of the result and q.

Шелуха , 5 байт

mΣ∂Ṫ*

Попробуйте онлайн!

Примечание: при предоставлении нулевого полиномиального / пустого списка вам необходимо указать его тип (т.е. []:LN)!

объяснение

mΣ∂Ṫ*  -- implicit inputs xs ys, for example: [1,-1] [1,1]
   Ṫ*  -- compute the outer product xsᵀ·ys: [[1,1],[-1,-1]]
  ∂    -- diagonals: [[1],[1,-1],[-1]]
mΣ     -- map sum: [1,0,1]

Matlab, 33 байта

@(x,y)sum(spdiags(flip(x').*y),1)

Попробуйте онлайн!

Создает матрицу всех поэлементных произведений входных данных, затем суммирует по диагонали. В ,1конце вынуждает matlab суммировать вдоль правильного направления, когда один из входных векторов имеет длину 1.

В Octave spdiagsне работает для векторов, что приводит к ошибке, когда один из входов имеет длину 1. Matlab 2016b или новее требуется для явного расширения поэлементного произведения.

Рубин, 83 байта

Почти прямо вытащил ответ, который я сделал ранее относительно расширения корней в полином .

->a,b{q=a.map{|c|r=b.map{|e|e*c};b=[0]+b;r}
q.pop.zip(*q).map{|e|(e-[p]).reduce:+}}

Python, 90 байт

lambda p,q:[sum((p+k*[0])[i]*(q+k*[0])[k-i]for i in range(k+1))for k in range(len(p+q)-1)]

JavaScript (ES6), 64 байта

(a,b)=>a.map((n,i)=>b.map((m,j)=>r[j+=i]=m*n+(r[j]||0)),r=[])&&r

Возвращает пустой массив, если любой из входных данных пуст. На основании моего ответа на полиномиал .

Юлия, 62 55 байт

~=endof
p%q=[sum(diag(p*rot180(q'),-k))for k=1-~q:~p-1]

Попробуйте онлайн!

Clojure, 104 байта

#(vals(apply merge-with +(sorted-map)(for[i(range(count %))j(range(count %2))]{(+ i j)(*(% i)(%2 j))})))

Объединение sorted-mapгарантирует, что значения возвращаются в правильном порядке. Хотелось бы, чтобы было еще несколько тестов.