Pyth, 92 байта
I!%vzhK%2u?sm,ed-hd*ed/F<G2cG2@G1G+~Q,hQ_eQj9 2)J*L/vzhKtKeoSNm-VJ/RhK_*LdQsm+LdtM3/V*LhK_JQ
Это довольно монстр.
Попробуйте онлайн: Демонстрация . Формат ввода c\n[a,b]и выходной формат [x,y].
В случае, если целочисленного решения не существует, я ничего не буду печатать, а в случае, если естественного целочисленного решения не существует, я просто выведу случайное целочисленное решение.
Пояснение (приблизительный обзор)
Сначала я найду целочисленное решение уравнения ax + by = gcd(a,b)с помощью расширенного евклидова алгоритма.
Затем я изменю решение (мое умножение aи bс c/gcd(a,b)), чтобы получить целочисленное решение ax + by = c. Это работает, если c/gcd(a,b)является целым числом. В противном случае не существует решения.
Все остальные целочисленные решения имеют вид a(x+n*b/d) + b(y-n*a/d) = c с d = gcd(a,b)целым числом n. Используя два неравенства x+n*b/d >= 0и y-n*a/d >= 0я могу определить , 6 возможных значений n. Я попробую все 6 из них и распечатаю решение с самым высоким наименьшим коэффициентом.
Пояснение (подробно)
Первый шаг - найти целочисленное решение уравнения ax' + by' = gcd(a,b). Это можно сделать с помощью расширенного евклидова алгоритма. Вы можете получить представление о том, как это работает в Википедии . Разница лишь в том, что вместо использования 3 columns ( r_i s_i t_i) я буду использовать 6 columns ( r_i-1 r_i s_i-1 s_i t_i-1 t_i). Таким образом, мне не нужно хранить последние две строки в памяти, только последнюю.
K%2u?sm,ed-hd*ed/F<G2cG2@G1G+~Q,hQ_eQj9 2) implicit: Q = [a,b] (from input)
j9 2 convert 9 to base 2: [1,0,0,1]
+ Q add to Q => [a,b,1,0,0,1]
this is the initial row
u ) start with G = ^ and update G repeatedly
by the following expression, until
the value of G doesn't change anymore
? @G1 if G[1] != 0:
cG2 split G into parts of 2
m map the parts d to:
, the pair
ed d[1]
-hd*ed/F<G2 d[0]-d[1]*G[0]/G[1]
s unfold
else:
G G (don't change it, stop criterion for u)
%2 take every second element
we get the list [gcd(a,b),x',y']
K store this list in K
~Q,hQ_eQ afterwards change Q to [Q[0],-Q[1]] = [a,-b]
This will be important for the other parts.
Теперь я хочу найти решение ax + by = c. Это возможно только тогда, когда c mod gcd(a,b) == 0. Если это уравнение выполнено, я просто умножаюсь x',y'на c/gcd(a,b).
I!%vzhK...J*L/vzhKtK implicit: z = c in string format (from input)
%vzhK evaluated(z) mod K[0] (=gcd(a,b))
I! if not ^ than:
/vzhK c/K[0]
*L tK multipy ^ to each element in K[1:] (=[x',y'])
J and store the result in J, this is now [x,y]
У нас есть целочисленное решение для ax + by = c. Обратите внимание, что x, yили оба могут быть отрицательными. Поэтому наша цель - преобразовать их в неотрицательные.
Хорошая вещь о диофантовых уравнениях состоит в том, что мы можем описать все решения, используя только одно начальное решение. Если (x,y)есть решение, что все другие решения имеют вид (x-n*b/gcd(a,b),y+n*a/gcd(a,b))на nцелое число.
Поэтому мы хотим найти n, где x-n*b/gcd(a,b) >= 0и y+n*a/gcd(a,b >= 0. После некоторого преобразования мы получаем два неравенства n >= -x*gcd(a,b)/bи n >= y*gcd(a,b)/a. Обратите внимание, что символ неравенства может выглядеть в другом направлении из-за деления с потенциальным отрицательным aили b. Меня это не сильно волнует, я просто говорю, что одно число -x*gcd(a,b)/b - 1, -x*gcd(a,b)/b, -x*gcd(a,b)/b + 1определенно удовлетворяет неравенству 1, а одно число y*gcd(a,b)/a - 1, y*gcd(a,b)/a, y*gcd(a,b)/a + 1удовлетворяет неравенству 2. Если есть a n, которое удовлетворяет обоим неравенствам, одно из 6 чисел также делает.
Затем я рассчитываю новые решения (x-n*b/gcd(a,b),y+n*a/gcd(a,b))для всех 6 возможных значений n. И я печатаю решение с самым высоким наименьшим значением.
eoSNm-VJ/RhK_*LdQsm+LdtM3/V*LhK_JQ
_J reverse J => [y,x]
*LhK multiply each value with K[0] => [y*gcd,x*gcd]
/V Q vectorized division => [y*gcd/a,-x*gcd/b]
m map each d of ^ to:
tM3 [-1,0,1]
+Ld add d to each ^
s unfold
these are the possible values for n
m map each d (actually n) of ^ to:
*LdQ multiply d to Q => [a*n,-b*n]
_ reverse => [-b*n,a*n]
/RhK divide by K[0] => [-b*n/gcd,a*n/gcd]
-VJ vectorized subtraction with J
=> [x+b*n/gcd,y-a*n/gcd]
oSN order the solutions by their sorted order
e print the last one
Сортировка по порядку сортировки работает следующим образом. Я использую пример2x + 3y = 11
Я сортирую каждое из 6 решений (это называется ключами) и сортирую исходные решения по ключам:
solutions: [1, 3], [4, 1], [7, -1], [-5, 7], [-2, 5], [1, 3]
keys: [1, 3], [1, 4], [-1, 7], [-5, 7], [-2, 5], [1, 3]
sort by key:
solutions: [-5, 7], [-2, 5], [7, -1], [1, 3], [1, 3], [4, 1]
keys: [-5, 7], [-2, 5], [-1, 7], [1, 3], [1, 3], [1, 4]
Это сортирует полное неотрицательное решение до конца (если есть).