Соревнование

Рассмотрим следующую диаграмму Пятнадцатой головоломки в ее решенном состоянии:

_____________________
|    |    |    |    |
| 1  | 2  | 3  | 4  |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 5  | 6  | 7  | 8  |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 9  | 10 | 11 | 12 |
|____|____|____|____|
|    |    |    |    |
| 13 | 14 | 15 |    |
|____|____|____|____|

При каждом движении возбужденная головоломка имеет возможность переместить один кусок, прилегающий к пустому пространству, в пустое пространство. Например, после 1перемещения у нас есть 2возможные сценарии (пусть 0будет пустое место):

1   2   3   4          1   2   3   4
5   6   7   8          5   6   7   8
9   10  11  12   and   9   10  11  0
13  14  0   15         13  14  15  12

После 2ходов головоломка имеет 5разные результаты (обратите внимание, что два вышеупомянутых случая исключены, поскольку они не могут быть достигнуты за 2 хода). Одна из этих ситуаций является исходным разрешенным состоянием, и ее можно достичь двумя различными способами.

Ваша задача в этой задаче состоит в том, чтобы получить количество различных результатов, к которым может привести определенное количество ходов. В качестве входных данных возьмите число N >= 0и выведите количество уникальных ситуаций, которые могут появиться после Nходов.

правила

• Это код-гольф. Самый короткий код выигрывает!
• Стандартные лазейки запрещены.
• Ваш код должен быть в состоянии вычислить случай в N = 10течение нескольких минут. Я, скорее всего, не проверю это правило, если в ответе не будет очевидного злоупотребления временем.

Тестовые случаи

(Результаты, полученные в результате суммирования OEIS A089484 (как описано в Geobits в чате ), автоматизировано по сценарию Мартина Бюттнера . Спасибо за помощь!)

0 moves: 1
1 moves: 2
2 moves: 5
3 moves: 12
4 moves: 29
5 moves: 66
6 moves: 136
7 moves: 278
8 moves: 582
9 moves: 1224
10 moves: 2530
11 moves: 5162
12 moves: 10338
13 moves: 20706
14 moves: 41159
15 moves: 81548
16 moves: 160159
17 moves: 313392
18 moves: 607501
19 moves: 1173136
20 moves: 2244884
21 moves: 4271406
22 moves: 8047295
23 moves: 15055186
24 moves: 27873613
25 moves: 51197332
26 moves: 93009236
27 moves: 167435388
28 moves: 297909255
29 moves: 524507316
30 moves: 911835416
31 moves: 1566529356

Pyth, 36 байт

lu{smmXd,0@dk)fq1.a.DR4,Txd0UdGQ]U16

Демонстрация . Тестовый жгут.

lu{smmXd,0@dk)fq1.a.DR4,Txd0UdGQ]U16

                 .a.DR4,Txd0            Find the Euclidean distance between the
                                        present location of 0 and a given location.
              fq1           Ud          Filter over all locations on that distance
                                        equaling 1.
     mXd,0@dk)                          Map each such location to the grid with 0
                                        and the value at that location swapped.
  {sm                         G         Map all unique grids possible after n-1
                                        steps to all unique grids after n steps.
 u                             Q]U16    Repeat <input> times, starting with the
                                        initial grid.
l                                       Print the length of the resulting set.

CJam, 54 52 51 50 49 47 45 байт

G,ari{{:S0#S{4md2$4md@-@@-mh1=},f{Se\}}%:|}*,

Попробуйте онлайн в интерпретаторе CJam (это займет не более 10 секунд).

Как это устроено

G,a       e# Push R := [[0 1 ... 15]].
ri{       e# Do int(input()) times:
  {:S     e#   For each S in R:
    0#    e#     Push the index of 0 in S (I).
    S{    e#     Filter S; for each J in in S:
      4md e#       Push J/4 and J%4.
      2$  e#       Copy I.
      4md e#       Push I/4 and I%4.
      @-  e#       Compute (I%4)-(J%4).
      @@- e#       Compute (J%4)-(I%4).
      mh  e#       2-norm distance: a b -> sqrt(aa + bb)
      1=  e#       Check if the distance is 1.
    },    e#     Keep all values of J with distance 1 from I.
    f{    e#     For each J:
      S   e#       Push S. 
      e\  e#       Swap S at indexes I and J.
    }     e#     This pushes an array of all valid modifications of S.
  }%      e#   Collect the results for all S in R in an array.
  :|      e#   Reduce the outmost array using set union (removes duplicates).
}*        e#

Сетчатка , 289 276 байт

^
,abcd%efgh%ijkl%mnox,
(`(,[^,]*)x([^,%])([^,y]*),
$0$1$2x$3y,
(,[^,]*)([^,%])x([^,y]*),
$0$1x$2$3y,
(,[^,]*)x([^,]{4})([^,])([^,y]*),
$0$1$3$2x$4y,
(,[^,]*)([^,])([^,]{4})x([^,y]*),
$0$1x$3$2$4y,
,.{19},(?=.*1)|,[^,]{20},(?=[^1]*$)|y|1$

+)`([^,]{19})(.*),\1,
$1$2
[^a]

a
1

Принимает ввод и печатает вывод в одинарном формате.

Вы можете поместить каждую строку в один файл или запустить код как есть с -sфлагом. Например:

> echo -n 111|retina -s fifteen_puzzle
111111111111

Суть метода заключается в том, что мы отслеживаем все возможные позиции (без повторения), которые могут возникнуть после точных kшагов. Мы запускаем форму k = 0и повторяем шаги замещения (используя (` and )` modifiers), пока не достигнем количества шагов ввода.

Во время этого вычисления наша строка всегда имеет вид

(,[puzzle_state]y?,)+1*

где puzzle_stateэто abcd%efgh%ijkl%mnoxс некоторой перестановкой букв. xобозначает пустое место, остальные буквы - это плитки. %Это разделители строк.

yотмечает, что состояние генерируется в текущем шаге ( k), поэтому его не следует использовать для создания других состояний на этом шаге.

1Отметьте количество оставшихся шагов.

Основная механика кода Retina заключается в том, что каждое совпадение нечетной строки заменяется следующей (четной) строкой.

Код с добавленным объяснением:

initialize string
^
,abcd%efgh%ijkl%mnox,

while string changes
(`

for every old (y-less) state concatenate a new state with moving the empty tile to r/l/d/u if possible
right
(,[^,]*)x([^,%])([^,y]*),
$0$1$2x$3y,
left
(,[^,]*)([^,%])x([^,y]*),
$0$1x$2$3y,
down
(,[^,]*)x([^,]{4})([^,])([^,y]*),
$0$1$3$2x$4y,
up
(,[^,]*)([^,])([^,]{4})x([^,y]*),
$0$1x$3$2$4y,

if we should have made this step (there are 1's left) remove old states
,.{19},(?=.*1)

if we should not have made this step (no more 1's left) remove new states
,[^,]{20},(?=[^1]*$)

remove y markers
y

remove one 1 (decrease remaining step count)
1$


remove duplicates until string changes (with + modifier)
+`([^,]{19})(.*),\1,
$1$2    

end while
)`

remove non-a's, 1 a stays from each state
[^a]

change a's to 1's
a
1

10 байтов сохранено благодаря @MartinButtner.

Python, 310 253 243 229 байт

Последняя версия с улучшением, предложенным @randomra:

s=set()
s.add(tuple(range(16)))
def e(a,b):s.add(t[:a]+(t[b],)+t[a+1:b]+(t[a],)+t[b+1:])
for k in range(input()):
 p,s=s,set()
 for t in p:j=t.index(0);j%4and e(j-1,j);j%4>2or e(j,j+1);j<4or e(j-4,j);j>11or e(j,j+4)
print len(s)

Моя собственная версия, которая была длиннее (243 байта), но легче читалась:

s=set()
s.add(tuple(range(16)))
def e(a,b):s.add(t[:a]+(t[b],)+t[a+1:b]+(t[a],)+t[b+1:])
for k in range(input()):
 p,s=s,set()
 for t in p:
  j=t.index(0)
  if j%4:e(j-1,j)
  if j%4<3:e(j,j+1)
  if j>3:e(j-4,j)
  if j<12:e(j,j+4)
print len(s)

Простой поиск в ширину, кодирование состояний в виде кортежей и сохранение их в наборе, чтобы они оставались уникальными.

Занимает около 0,03 секунды на моем ноутбуке для N = 10. Время выполнения значительно увеличивается для больших чисел, например, около 12 секунд для N = 20.

Perl, 148

#!perl -p
$s{"abcd.efgh.ijkl.mno#"}=1;for(1..$_){$x=$_,map{$r{$_}=1if
s/($x)/$3$2$1/}keys%s for
qw!\w)(# #)(\w \w)(.{4})(# #)(.{4})(\w!;%s=%r;%r=()}$_=keys%s

Пример:

$ time perl 15.pl <<<20
2244884
real    0m39.660s
user    0m38.822s
sys 0m0.336s