Напишите программу, которая определяет, представляет ли таблица умножения данной конечной магмы группу. Магма это набор с бинарной операцией, которая закрыта, что означает

• для всех a, b в G, a * b снова в G (замкнутость)

Пусть (G, *) будет магмой. (G, *) является группой, если

• для всех a, b, c в G, (a * b) * c = a * (b * c) (ассоциативность)
• в G существует элемент e такой, что e * a = a * e = a для всех a в G (существование нейтрального элемента)
• для всех a в G существует ab в G такое, что a * b = b * a = e, где e - нейтральный элемент (существование обратного)

Спекуляции

Входные данные состоят из строки из n ^ 2-1 символов (по одному символу для каждого элемента магмы, допускается от 0 до 9, az) и просто представляют таблицу, считываемую строку за строкой, без имени оператора. Можно предположить, что входные данные представляют действительную магму (это означает, что каждый из элементов добавляется ровно один раз в строку заголовка / столбец).

Пример: здесь у нас есть таблица Z_4

+ | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

Входная строка будет 012300123112302230133012. (Или, если мы используем символы, это также может быть nezdnnezdeezdnzzdneddnez). Помните, что последовательность элементов в строке и в столбце не обязательно должна быть одинаковой, поэтому таблица Z_4 также может выглядеть так:

+ | 1 3 2 0
-----------
1 | 2 0 3 1
0 | 1 3 2 0
2 | 3 1 0 2
3 | 0 2 1 3

Это также означает, что нейтральный элемент не обязательно находится в первом столбце или первой строке.

Если это группа, программа должна вернуть символ, представляющий нейтральный элемент. Если нет, он должен возвращать ложное значение (отличное от значений 0-9 аз)

Контрольные примеры

Негруппы можно легко построить, просто изменив одну цифру строки или искусственно изменив таблицы, определяющие операцию, которая противоречит одной из аксиом группы.

группы

тривиальный

* | x
-----
x | x

xxx

Neutral Element: x

H (кватернионная группа)

* | p t d k g b n m 
-------------------
m | b d t g k p m n 
p | m k g d t n p b 
n | p t d k g b n m 
b | n g k t d m b p 
t | g m n p b k t d 
d | k n m b p g d t 
k | t b p m n d k g 
g | d p b n m t g k 

ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk

Neutral Element: n

D_4

* | y r s t u v w x
-------------------
u | u x w v y t s r
v | v u x w r y t s
w | w v u x s r y t
x | x w v u t s r y
y | y r s t u v w x
r | r s t y v w x u
s | s t y r w x u v
t | t y r s x u v w


yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw

Neutral Element: y

Z_6 x Z_2

x | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6
---------------------------
0 | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6 
1 | 1 2 3 4 0 8 9 a b 6 5 7 
2 | 2 3 4 5 1 9 a b 6 7 0 8 
7 | 7 8 9 a 6 2 3 4 5 0 b 1 
8 | 8 9 a b 7 3 4 5 0 1 6 2 
9 | 9 a b 6 8 4 5 0 1 2 7 3 
a | a b 6 7 9 5 0 1 2 3 8 4 
b | b 6 7 8 a 0 1 2 3 4 9 5 
3 | 3 4 5 0 2 a b 6 7 8 1 9 
4 | 4 5 0 1 3 b 6 7 8 9 2 a 
5 | 5 0 1 2 4 6 7 8 9 a 3 b 
6 | 6 7 8 9 b 1 2 3 4 5 a 0 

01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0

Neutral Element: 0

A_4

* | i a b c d e f g h j k l
---------------------------
i | i a b c d e f g h j k l
a | a b i e c d g h f l j k
b | b i a d e c h f g k l j
c | c f j i g k a d l b e h
d | d h k b f l i e j a c g
e | e g l a h j b c k i d f
f | f j c k i g d l a h b e
g | g l e j a h c k b f i d
h | h k d l b f e j i g a c
j | j c f g k i l a d e h b
k | k d h f l b j i e c g a
l | l e g h j a k b c d f i

iabcdefghjkliiabcdefghjklaabiecdghfljkbbiadechfgkljccfjigkadlbehddhkbfliejacgeeglahjbckidfffjckigdlahbegglejahckbfidhhkdlbfejigacjjcfgkiladehbkkdhflbjiecgalleghjakbcdfi

Neutral Element: i

Номера для групп

Цикл (группа с отсутствующей ассоциативностью или квазигруппа с нейтральным элементом)

* | 1 2 3 4 5
-------------
1 | 1 2 3 4 5 
2 | 2 4 1 5 3 
3 | 3 5 4 2 1 
4 | 4 1 5 3 2 
5 | 5 3 2 1 4

12345112345224153335421441532553214

Neutral Element: 1
(2*2)*3 = 4*3 = 5 != 2 = 2*1 = 2*(2*3)

IP-петля (из http://www.quasigroups.eu/contents/download/2008/16_2.pdf )

* | 1 2 3 4 5 6 7
-----------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7
2 | 2 3 1 6 7 5 4
3 | 3 1 2 7 6 4 5
4 | 4 7 6 5 1 2 3
5 | 5 6 7 1 4 3 2
6 | 6 4 5 3 2 7 1
7 | 7 5 4 2 3 1 6

123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316

Neutral Element: 1
2*(2*4) = 2*6 = 5 != 7 = 3*4 = (2*2)*4

Monoid (от Quincunx, спасибо!)

Моноиды - это магмы с ассоциативностью и нейтральным элементом.

* | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 3 1 3
2 | 2 1 0 3
3 | 3 3 3 3

012300123113132210333333

Neutral Element: 0

Еще один моноид

(Умножение мод 10, без 5) У нас, очевидно, нет инверсий, и ассоциативность задается умножением по модулю 10.

* | 1 2 3 4 6 7 8 9
-------------------
1 | 1 2 3 4 6 7 8 9
2 | 2 4 6 8 2 4 6 8
3 | 3 6 9 2 8 1 4 7
4 | 4 8 2 6 4 8 2 6
6 | 6 2 8 4 6 2 8 4
7 | 7 4 1 8 2 9 6 3
8 | 8 6 4 2 8 6 4 2
9 | 9 8 7 6 4 3 2 1

Neutral Element: 1   12346789112346789224682468336928147448264826662846284774182963886428642998764321

Октава, 298 290 270 265 символов

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
e=(isscalar(e=find(all(a==u')))&&a(e,:)==u&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

265: Удален ненужный дескриптор функции.

270: В конце концов, проверка, что e==hдля e, всегда удовлетворяющего e · a = a, и h, всегда удовлетворяющего a · h = a, не была необходима. Это невозможно для них, чтобы быть разными ( e · h =? ).

Детали из объяснения решения ниже по-прежнему актуальны.

290:

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

Первая строка

c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')'); просто сохраняет входные данные в таблицу nxn (с нулевым символом в месте метки операции), а затем лексикографически сортирует столбцы и строки, чтобы строки и столбцы получали одинаковый порядок:

+ | z a t b                        + | a b t z
-----------                        -----------
z | t b a z         becomes        a | t a z b
b | z a t b      ============>     b | a b t z
t | a z b t                        t | z t b a
a | b t z a                        z | b z a t

Теперь я переназначаюсь "a","b","t","z"к стандарту 1, 2, 3, 4, чтобы эффективно индексировать таблицу. Это делается по линии for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;. Это дает таблицу как

0   1   2   3   4
1   3   1   4   2
2   1   2   3   4
3   4   3   2   1
4   2   4   1   3

где мы можем избавиться от первой строки и столбца с помощью a=a(2:b,2:b--);u=1:b;:

3  1  4  2
1  2  3  4
4  3  2  1
2  4  1  3

Эта таблица имеет заданные свойства:

• если существует нейтральный элемент e , ровно одна ( isscalar) строка и один столбец имеют значение вектора строки u=[1 2 3 ... number-of-elements]:

s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&...

• если каждый элемент имеет обратный элемент а» , две вещи держать: нейтральный элемент е происходит только один раз каждого столбца и только один раз каждой строке ( ) и, чтобы удовлетворить а„· а = а · а“ , то вхождений е являются симметричный относительно переводаsum(t=a==e)==1t==t'

• a · b можно получить с помощью простой t(a,b)индексации. Затем мы проверяем ассоциативность в скучном цикле:

for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;

Функция возвращает нейтральный элемент так, как он был представлен в оригинальном table ( e=d(e+1)) или нулевом символе, если таблица не описывает группу.

Рубин, 401 ... 272

f=->s{n=(s.size+1)**0.5
w=n.to_i-1
e=s[0,w].split''
s=s[w,n*n]
m={}
w.times{(1..w).each{|i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i]}
s=s[n,n*n]}
s=e.find{|a|e.all?{|b|x=m[a+b]
x==m[b+a]&&x==b}}
e.all?{|a|t=!0
e.all?{|b|x=m[a+b]
t||=x==m[b+a]&&x==s
e.all?{|c|m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]]}}&&t}&&s}

Это моя первая рубиновая программа! Это определяет лямбда-функцию, которую мы можем проверить, выполнив puts f[gets.chomp]. Я возвращаюсь falseза свою ложную ценность. Первая половина функции просто анализирует входные данные в карту, затем вторая половина проверяет возможности.

f=->s{
    n=((s.size+1)**0.5).to_i
    w=n-1
    e=s[0,w].split'' # create an array of elements of the potential group
    s=s[w,n*n]
    m={} # this map is what defines our operation
    w.times{
        (1..w).each{               # for each element in the row of the table
            |i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i] # put the value into the map
        }
        s=s[n,n*n]
    }
    s=e.find{|a| # s is the identity
        e.all?{|b|
            x=m[a+b]
            x==m[b+a]&&x==b # is a the identity?
        }
    }
    e.all?{|a| # implicit return statement
        t = !0 # t = false
        e.all?{|b| # check for inverses
            x=m[a+b]
            t ||= x==m[b+a]&&x==s # t is now true if b was a's inverse
            e.all?{|c|
                m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]] # check associativity
            }
        } && t
    }&&s
}

JavaScript (ES6) 285 243 278

Запустите сниппет для тестирования (будучи ES6, он работает только в Firefox)

Редактировать 2 Исправление ошибки. Я был неправ в поиске нейтрального элемента, проверяя только один способ. (Нужны лучшие тестовые случаи !!!)

Редактировать Используя простую конкатенацию строк вместо двойного индекса (например, @Quincunx), я не знаю, о чем я думал. Кроме того, упрощена обратная проверка, она все равно должна работать.

F=t=>(
  e=t.slice(0,d=Math.sqrt(t.length)|0),
  t=t.slice(d).match('.'.repeat(d+1),'g'),
  t.map(r=>{
    for(v=r[i=0],
        j=e.search(v)+1, // column for current row  element
        r!=v+e|t.some(r=>r[j]!=r[0])?0:n=v; // find neutral
        c=r[++i];
       )h[v+e[i-1]]=c
  },h={},n=''),
  e=[...e],!e.some(a=>e.some(b=>(
    h[a+b]==n&&--d, // inverse
    e.some(c=>h[h[a+b]+c]!=h[a+h[b+c]]) // associativity
  )
  ))&&!d&&n
)

input { width: 400px; font-size:10px }

Click on textbox to test - Result : <span id=O></span><br>
<input value='...' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (?)
<br>Groups<br>
<input value='nezdnnezdeezdnzzdneddnez' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (y)<br>
<input value='01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0'onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (0)<br>
Non groups <br>
<input value='12345112345224153335421441532553214' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='012300123113132210333333' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>

Haskell 391B

import Data.Maybe
import Data.List
o a b=elemIndex b a
l£a=fromJust.o a$l
a§b=[a!!i|i<-b]
f s|isJust j&&and(map(isJust.o h)s)&&and[or[p%q==e|q<-h]&&and[p%(q%r)==(p%q)%r|q<-h,r<-h]|p<-h]=[e]|True="!"where n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1;h=take n s;g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]];v=s§[n,1+2*n..n+n*n];a%b=g!!(b£v)!!(a£h);j=o g h;e=v!!fromJust j

Прокляни те importс!

import Data.Maybe
import Data.List

{- rename elemIndex to save characters -}
o a b=elemIndex b a

{- get the index of l in a -}
l£a=fromJust.o a$l

{- extract a sublist of a with indices b -}
a§b=[a!!i|i<-b]

f s |isJust j {-Identity-}
     &&and (map (isJust.o h) s) {-Closure-}
     &&and[
        or [p%q==e|q<-h] {-Inverse-}
        && and [ p%(q%r)==(p%q)%r | q<-h,r<-h ] {-Associativity-}
     |
        p<-h
     ]=[e]
    |True="!"
    where
    {-size-}    n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1
    {-horiz-}   h=take n s
    {-table-}   g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]]
    {-vert-}    v=s§[n,1+2*n..n+n*n]
    {-operate-} a%b=g!!(b£v)!!(a£h)
                j=o g h {-index of the first row identical to the top-}
    {-ident-}   e=v!!fromJust j

объяснение

f::String->Stringотображает строку в e::Charэлемент идентификации или !.

Предложение whereсоздает группу переменных и функций, которые я прокомментировал; v::[Int]вертикальный список элементов, h::[Int]горизонтальный.

%::Char->Char->Char применяет групповую операцию к своим аргументам.

g::[[Int]]таблица групп (для разыменования с использованием %)

j::Maybe Intсодержит индекс идентичности, vесли он существует, в противном случае Nothing, именно поэтому isJust jусловие fдля идентичности.