Учитывая положительное целое число п вывод суммы первых п десятичных цифр дробной части П ^п .

Пример ввода и вывода:

1 → 1
2 → 14
3 → 6
4 → 13
5 → 24
50 → 211
500 → 2305
5000 → 22852

Встроенные функции, вычисляющие цифры π или оценивающие либо степенные ряды, либо непрерывные дроби, не допускаются. Применяются стандартные лазейки . Ввод / вывод может быть в удобном формате (стандартный ввод, стандартный вывод, функция ввода / вывода и т. Д.).

Самый короткий код в байтах побеждает.

Python - 191 байт

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=range(n+1)
for k in range(2,n):A=[(A[j-1]+A[j+1])*j>>1for j in range(n-k+1)];f*=k
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

~ В 4 раза быстрее версия - 206 байт

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=[0,1]+[0]*n
for k in range(1,n):
 f*=k
 for j in range(-~n/2-k+1):A[j]=j*A[j-1]+A[j+1]*(j+2-n%2)
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

Ввод взят из стандартного ввода. Вывод для n = 5000 занимает примерно 14 секунд со вторым сценарием (или 60 секунд с первым).

Пример использования:

$ echo 1 | python pi-trunc.py
1

$ echo 2 | python pi-trunc.py
14

$ echo 3 | python pi-trunc.py
6

$ echo 4 | python pi-trunc.py
13

$ echo 5 | python pi-trunc.py
24

$ echo 50 | python pi-trunc.py
211

$ echo 500 | python pi-trunc.py
2305

$ echo 5000 | python pi-trunc.py
22852

Используемая формула следующая:

где A _n - это n- ^й переменный номер , который можно формально определить как число чередующихся перестановок в наборе размера n (см. также: A000111 ). Альтернативно, последовательность может быть определена как композиция чисел касательных и секущих чисел ( A _2n = S _n , A _{2n + 1} = T _n ), подробнее об этом позже.

Малый поправочный коэффициент c _n быстро сходится к 1, когда n становится большим, и определяется как:

Для n = 1 это равносильно оценке ряда Лейбница . Приближая π к 10 ^½ , количество необходимых терминов можно рассчитать как:

который сходится (округляется) до 17 , хотя меньшие значения n требуют значительно большего.

Для вычисления A _n существует несколько алгоритмов и даже явная формула, но все они квадратичны по n . Первоначально я кодировал реализацию алгоритма Зайделя , но он оказывается слишком медленным, чтобы быть практичным. Каждая итерация требует сохранения дополнительного слагаемого, и слагаемые увеличиваются по величине очень быстро («неправильный» тип O (n ² ) ).

Первый сценарий использует реализацию алгоритма, первоначально заданного Кнутом и Бакгольцем :

Пусть T _{1, k} = 1 для всех k = 1..n

Последующие значения T задаются рекуррентным соотношением:

T _{n + 1, k} = 1/2 [ (k - 1) T _{n, k-1} + (k + 1) T _{n, k + 1} ]

Тогда A _n определяется как T _{n, 1}

(см. также: A185414 )

Хотя это и не указано явно, этот алгоритм рассчитывает и Касательные Числа и Числа Секанта одновременно. Второй сценарий использует вариант этого алгоритма Брента и Циммермана , который вычисляет либо T, либо S , в зависимости от четности n . Улучшение является квадратичным по n / 2 , следовательно, улучшение в ~ 4 раза.

Python 2, 246 байт

Я применил аналогичный подход к своему ответу на Расчет π с квадратичной сходимостью . Последняя строка принимает N-ю степень числа пи и суммирует цифры. Тест N = 5000 занимает минуту или около того.

from decimal import*
d=Decimal
N=input()
getcontext().prec=2*N
j=d(1)
h=d(2)
f=h*h
g=j/h
a=j
b=j/h.sqrt()
t=j/f
p=j
for i in bin(N)[2:]:e=a;a,b=(a+b)/h,(a*b).sqrt();c=e-a;t-=c*c*p;p+=p
k=a+b
l=k*k/f/t
print sum(map(int,`l**N`.split('.')[1][:N]))

Некоторые тесты:

$ echo 1 | python soln.py
1
$ echo 3 | python soln.py
6
$ echo 5 | python soln.py
24
$ echo 500 | python soln.py
2305
$ echo 5000 | python soln.py
22852

Негольфированный код:

from decimal import *
d = Decimal

N = input()
getcontext().prec = 2 * N

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in bin(N)[2:] :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
pi = ab*ab / four / t
print sum(map(int, `pi ** N`.split('.')[1][:N]))

Пиф, 33

s<>j^u+/*GHhyHy^TyQr*TQ0ZQT_y*QQQ

Основываясь на этом ответе isaacg . Возможно, будет в гольф больше. Медленный.

s<>j            Digit sum of...
  ^                 
    u               Evaluate pi = 2 + 1/3*(2 + 2/5*(2 + 3/7*(2 + 4/9*(2 + ...))))
      +
        /
          *GH
          hyH
        y^TyQ       Except we generate a large integer containing 2n digits,
                    rather than a fraction.
      r*TQ0         Experimentally verified that 10*n iterations will give enough
                    precision for 2n digits (# digits correct grows faster than 2n).
      Z
    Q               To the nth power.
  T_y*QQQ         Get the last 2n^2 digits (all the fractional digits) and get the
                  first n fractional digits.