Напишите функцию или полную программу, которая принимает положительное число nи выполняет nшаги итеративного алгоритма для вычисления π, имеющего квадратичную сходимость (то есть приблизительно удваивает количество точных цифр на каждой итерации), затем возвращает или печатает 2 ⁿ правильных цифр (включая начало 3). Одним из таких алгоритмов является алгоритм Гаусса-Лежандра , но вы можете использовать другой алгоритм, если хотите.

Примеры:

Вход 1→ Выход 3.1
Вход 2→ Выход 3.141
Вход 5→ Выход3.1415926535897932384626433832795

Требования:

• Каждая итерация алгоритма должна выполнять постоянное число основных операций, таких как сложение, вычитание, умножение, деление, степень и корень (с целым показателем / степенью) - каждая такая операция над «большими» целыми / десятичными числами считается как одно четное если он включает в себя один или несколько циклов внутри. Чтобы было ясно, тригонометрические функции и степени, включающие комплексные числа, не являются основными операциями.
• Ожидается, что алгоритм будет иметь шаг инициализации, который также должен иметь постоянное количество операций.
• Если алгоритму требуется еще 1 или 2 итерации, чтобы получить 2 ⁿ правильных цифр, вы можете выполнять до n+2итераций, а не просто n.
• Если это не было достаточно ясно, после правильных 2 ⁿ цифр ваша программа не должна ничего печатать (например, более правильные цифры, неправильные цифры или полное собрание сочинений Шекспира).
• Ваша программа должна поддерживать значения nот 1 до 20.
• Ваша программа не должна занимать более часа nна современном компьютере (не жесткое правило, но старайтесь придерживаться его разумно).
• Программа не должна получать более 20 точных цифр после инициализации и первой итерации алгоритма.
• Программа должна быть запущена в Linux с использованием свободно доступного программного обеспечения.
• Исходный код должен использовать только символы ASCII.

Подсчет очков:

Простой код гольф, самый короткий код выигрывает.

Победитель:

Победителем стала Digital Trauma, я наконец закончил запуск его кода на n = 20 (шучу). Специальный приз достается Primo за его очень быстрое решение на Python и другой алгоритм :)

постоянный ток, 99 байт

Golfed:

2?dsi1+^k1dddsa2v/sb4/stsp[lalb*vlalb+2/dla-d*lp*ltr-stsasblp2*spli1-dsi0<m]dsmxK2/1-klalb+d*4lt*/p

С пробелами и комментариями для «читабельности»:

2?dsi               # Push 2. push input n, duplicate and store in i
1+^k                # Set calculation precision to 2^(n+1)
1dddsa              # Push four 1s. Store 1st in a
2v/sb               # Store 1/sqrt(2) in b
4/st                # Store 1/4 in t
sp                  # Store 1 in p
[                   # Start iteration loop macro
lalb*v              # Save sqrt(a*b) on stack
lalb+2/d            # Save a[i+1] = (a[i]+b[i])/2 on stack and duplicate
la-d*lp*ltr-        # Save t-p(a[i]-a[i+1])^2 on the stack
st                  # Store t result from stack
sa                  # Store a result from stack
sb                  # Store b result from stack
lp2*sp              # Store 2p in p
li1-dsi0<m]         # Decrement iteration counter i; recurse into macro if < 0
dsmx                # Duplicate, store and run macro
K2/1-k              # Set display precision to 2^n-1
lalb+d*4lt*/        # Save (a+b)^2/4t on stack
p                   # Print result

dcНужно сказать, сколько цифр точности должно быть использовано. Точность вычислений должна быть выше, чем конечная точность отображения, поэтому точность вычислений устанавливается в виде 2^(n+1)цифр. Я проверил точность вывода с n = 10 против http://www.angio.net/pi/digits/pi1000000.txt .

Это значительно замедляется при больших n; n = 12 занимает 1,5 минуты на моей виртуальной машине. Выполнение нескольких разных примеров показывает, что временная сложность составляет O (e ^ n) (что неудивительно). Экстраполяция этого значения до n = 20 будет иметь время выполнения 233 дня. Ну что ж. Лучше, чем жар-смерть-вселенная, по крайней мере.

Это умеренно - стек используется для исключения временных переменных во время вычислений каждой итерации, но, возможно, стек используется шире, чтобы сократить это.

$ dc glpi.dc <<< 1
3.1
$ dc glpi.dc <<< 2
3.141
$ dc glpi.dc <<< 5
3.1415926535897932384626433832795
$ time dc glpi.dc <<< 7
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078\
164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446

real    0m0.048s
user    0m0.039s
sys 0m0.000s
$ 

Если вам не нравится dcперенос значения в 70 символов, вы можете установить переменную окружения DC_LINE_LENGTHв 0:

$ DC_LINE_LENGTH=0 dc glpi.dc <<< 8
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648
$ 

R 156 байт

Давайте начнем эту вечеринку ... с абсолютно наивной реализации алгоритма Гаусса-Лежандра.

for(i in 1:scan()){if(i<2){a=p=Rmpfr::mpfr(1,2e6);t=a/4;b=t^t}else{x=(a+b)/2;b=(a*b)^.5;t=t-p*(a-x)^2;a=x;p=2*p};o=(a+b)^2/(4*t)};cat(Rmpfr::format(o,2^i))

Ungolfed + объяснение:

# Generate n approximations of pi, where n is read from stdin
for (i in 1:scan()) {

    # Initial values on the first iteration
    if (i < 2) {
        a <- p <- Rmpfr::mpfr(1, 1e7)
        t <- a/4
        b <- t^t
    } else {
        # Compute new values
        x <- (a + b) / 2
        b <- (a*b)^0.5
        t <- t - p*(a - x)^2

        # Store values for next iteration
        a <- x
        p <- 2*p
    }

    # Approximate pi 
    o <- (a + b)^2 / (4*t)
}

# Print the result with 2^n digits
cat(Rmpfr::format(o, 2^i))

mpfr()Функция является частью Rmpfrпакета. Он создает mpfrобъект, используя первый аргумент в качестве значения и второй аргумент в качестве числа битов точности. Мы присваиваем aи p1, и определяя tна основе a(и bна основе t), mpfrтип распространяется на все четыре переменные, тем самым поддерживая точность во всем.

Как уже упоминалось, для этого требуется пакет R Rmpfr, который является аббревиатурой от «Надежность R с множественной точностью R». Пакет использует GMP в фоновом режиме. К сожалению, база R не имеет возможности выполнять высокоточную арифметику, отсюда и зависимость от пакета.

Не имеют Rmpfr? Нет пота. install.packages("Rmpfr")и все твои мечты сбудутся.

Обратите внимание, что 2e6было указано в качестве точности. Это означает, что у нас есть 2 000 000 битов точности, что достаточно для поддержания точности, по крайней мере, n= 20. (Примечание: nна моем компьютере длительное время занимает не более часа).

Подход здесь в буквальном смысле просто регургитация формул на странице Википедии, но эй, мы должны с чего-то начать.

Любой вклад приветствуется как всегда!

Мне пришлось многое переписать, но я все еще должен признать, что Питер Тейлор помог мне выбить 70 байтов из моего первого результата. По словам DigitalTrauma, «бум».

Python 2, 214 байтов

Это испытание послужило для меня хорошим поводом для изучения десятичного модуля. Десятичные числа имеют определяемую точность и имеют поддержку квадратного корня. Я установил точность для консервативной оценки точности в зависимости от количества циклов.

Обновить

Я обновил программу, чтобы улучшить точность и скорость, за счет игры в гольф. Используя десятичный sqrt()метод и заменяя x**2использование на x*x, оно теперь в 200 раз быстрее. Это означает, что теперь он может вычислять 20 циклов, что дает результат в миллион цифр за 6,5 часов. Десятичные числа часто имеют ошибку в последней цифре (вызванную операциями по ограничению точности), поэтому программа теперь использует и отбрасывает 5 дополнительных цифр, поэтому печатаются только точные цифры.

from decimal import*
d=Decimal
e=input()
getcontext().prec=5+(1<<e)
k=d(1)
j=d(2)
g=j*j
h=k/j
a=k
b=k/j.sqrt()
t=k/g
p=k
for i in[0]*e:f=a;a,b=(a+b)/j,(a*b).sqrt();c=f-a;t-=c*c*p;p+=p
l=a+b
print str(l*l/g/t)[:-5]

Образец прогона:

$ echo 1 | python min.py 
3.1
$ echo 2 | python min.py 
3.141
$ echo 3 | python min.py 
3.1415926
$ echo 5 | python min.py 
3.1415926535897932384626433832795
$ echo 12 | python min.py
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208
99862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745
02841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831
65271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588
17488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160
94330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527
24891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702
77053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960
91736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219
60864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318
59502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320
83814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805
32171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827
96823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069
59508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240
12858361603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534
64620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243
00355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150
30286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755
96023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380
00816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494
68438523323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671
79049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006
42251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949
45047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478027590
09946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264
01363944374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583
87410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431
04997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976
27807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481584560285
06016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498
03559363456817432411251507606947945109659609402522887971089314566913686722874894
05601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818931297848
21682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867
82105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993
44037420073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484
81005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015
91956181467514269123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014209
37621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492
02605414665925201497442850732518666002132434088190710486331734649651453905796268
56100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567
71577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791
98414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287
18352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163
98315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185
35893226185489632132933089857064204675259070915481416549859461637180270981994309
92448895757128289059232332609729971208443357326548938239119325974636673058360414
28138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380
19762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213144957685726243
34418930396864262434107732269780280731891544110104468232527162010526522721116603
96665573092547110557853763466820653109896526918620564769312570586356620185581007
29360659876486117

Негольфированный код:

from decimal import *
d = Decimal

loops = input()
# this is a conservative estimate for precision increase with each loop:
getcontext().prec = 5 + (1<<loops)

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in [0]*loops :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
print str(ab*ab / four / t)[:-5]

Python (2,7) - 131 байт

from gmpy import*
n=input()
p=a=fsqrt(mpf(8,4<<n));b=0
exec"a=fsqrt(a/2);b=1/(a-a*b+b/a+1);p*=b+a*a*b;a+=1/a;"*n
print`p`[5:2**n+6]

Обновление: сейчас используется, gmpyа не gmpy2. По какой-то причине, при gmpy2установке точности на одно значение не распространяется на другие значения. Результат любого вычисления возвращается к точности текущего контекста. Точность действительно распространяется gmpy, что кажется мне более интуитивным. Это также значительно менее многословно.

Использование одного из множества алгоритмов, разработанных Борвейном и Борвейном , слегка реорганизовано. n = 20 занимает около 11 секунд на моем боксе. Не самый эффективный метод, но все же не плохой.

Рефакторинг

Оригинальный алгоритм был следующим:

Рефакторинг был сделан постепенно, но конечный результат заключается в том, что

Основное упрощение происходит при p _{n + 1} . Это также немного быстрее из-за устранения разделения.

Текущая реализация толкает г _N обратно на одну итерацию при вычислении р _{п + 1} , что позволяет для различной инициализации р _- ( 2√2 ), но в остальном идентичны.

Образец использования

$ echo 1 | python pi-borwein.py
3.1

$ echo 2 | python pi-borwein.py
3.141

$ echo 5 | python pi-borwein.py
3.1415926535897932384626433832795

$ echo 10 | python pi-borwein.py
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278

до н.э. и метод Ньютона, 43 байта

Метод Ньютона для нахождения нулей любой функции сходится квадратично, и алгоритм намного проще, чем для Гаусса-Лежандра. Это в основном сводится к:

Итак, вот соответствующий фрагмент:

n=20;x=3;scale=2^n;while(n--)x-=s(x)/c(x);x

Чуть более читабельно:

/* desired number of iterations */
n = 20;

/* starting estimate for pi */
x = 3;

/* set precision to 2^n */
scale = 2^n;

/* perform n iteration steps */
while(n--)
  // f:=sin, f'=cos
  x -= s(x)/c(x)

Чтобы проверить это, запустите bc -lоболочку и вставьте приведенный фрагмент. Будьте готовы подождать некоторое время; n=20работает уже около 5 минут и пока не видно конца. n=10занимает около 40-х годов.