Учитывая три взаимно касательных круга, мы всегда можем найти еще два круга, которые касаются всех трех из них. Эти два называются кругами Аполлона . Обратите внимание, что один из кругов Аполлона может быть вокруг трех начальных кругов.

Начиная с трех касательных окружностей, мы можем создать фрактал, называемый аполлоновой прокладкой , следующим образом:

1. Назовите первые 3 круга родительскими кругами
2. Найти родительские круги - два круга Аполлона
3. Для каждого круга Аполлона:
   4. Для каждой пары из трех пар родительских кругов:
      5. Назовите круг Аполлона и два родительских круга новым набором родительских кругов и начните заново с шага 2.

Например, начиная с кругов одинакового размера, мы получаем:

^{Изображение найдено в Википедии}

Нам нужна еще одна нотация. Если у нас есть круг радиуса r с центром (x, y) , мы можем определить его кривизну как k = ± 1 / r . Обычно k будет положительным, но мы можем использовать отрицательный k для обозначения круга, который охватывает все другие круги в прокладке (т.е. все касательные касаются этого круга изнутри). Тогда мы можем указать круг с тройкой чисел: (k, x * k, y * k) .

Для целей этого вопроса мы будем принимать положительное целое число k и рациональные x и y .

Другие примеры таких кругов можно найти в статье в Википедии .

В этой статье также есть кое-что интересное о встроенных прокладках (среди прочих забавных вещей с кружками).

Соревнование

Вам будут предоставлены 4 круга спецификаций, каждая из которых будет выглядеть так (14, 28/35, -112/105). Вы можете использовать любой удобный формат списка и оператор деления, так что вы можете просто evalввести, если хотите. Вы можете предположить, что 4 круга действительно касаются друг друга, и что первый из них имеет отрицательную кривизну. Это означает, что вам уже дан окружающий Аполлонийский круг остальных трех. Список допустимых примеров ввода см. В нижней части задачи.

Напишите программу или функцию, которая с учетом этого ввода рисует аполлоновскую прокладку.

Вы можете получить ввод через аргумент функции, ARGV или STDIN и либо отобразить фрактал на экране, либо записать его в файл изображения в выбранном вами формате.

Если получающееся изображение растеризовано, оно должно быть не менее 400 пикселей с каждой стороны, с отступом менее 20% вокруг наибольшего круга. Вы можете прекратить повторение, когда достигнете кругов, радиус которых меньше 400-й от наибольшего входного круга, или кругов, которые меньше пикселя, в зависимости от того, что произойдет раньше.

Вы должны рисовать только круговые контуры, а не полные диски, но цвета фона и линий - ваш выбор. Контуры не должны быть шире, чем 200-й диаметр наружных кругов.

Это код гольф, поэтому самый короткий ответ (в байтах) выигрывает.

Пример входов

Вот все интегральные прокладки из статьи Википедии, преобразованные в предписанный формат ввода:

[[-1, 0, 0], [2, 1, 0], [2, -1, 0], [3, 0, 2]]
[[-2, 0, 0], [3, 1/2, 0], [6, -2, 0], [7, -3/2, 2]]
[[-3, 0, 0], [4, 1/3, 0], [12, -3, 0], [13, -8/3, 2]]
[[-3, 0, 0], [5, 2/3, 0], [8, -4/3, -1], [8, -4/3, 1]]
[[-4, 0, 0], [5, 1/4, 0], [20, -4, 0], [21, -15/4, 2]]
[[-4, 0, 0], [8, 1, 0], [9, -3/4, -1], [9, -3/4, 1]]
[[-5, 0, 0], [6, 1/5, 0], [30, -5, 0], [31, -24/5, 2]]
[[-5, 0, 0], [7, 2/5, 0], [18, -12/5, -1], [18, -12/5, 1]]
[[-6, 0, 0], [7, 1/6, 0], [42, -6, 0], [43, -35/6, 2]]
[[-6, 0, 0], [10, 2/3, 0], [15, -3/2, 0], [19, -5/6, 2]]
[[-6, 0, 0], [11, 5/6, 0], [14, -16/15, -4/5], [15, -9/10, 6/5]]
[[-7, 0, 0], [8, 1/7, 0], [56, -7, 0], [57, -48/7, 2]]
[[-7, 0, 0], [9, 2/7, 0], [32, -24/7, -1], [32, -24/7, 1]]
[[-7, 0, 0], [12, 5/7, 0], [17, -48/35, -2/5], [20, -33/35, 8/5]]
[[-8, 0, 0], [9, 1/8, 0], [72, -8, 0], [73, -63/8, 2]]
[[-8, 0, 0], [12, 1/2, 0], [25, -15/8, -1], [25, -15/8, 1]]
[[-8, 0, 0], [13, 5/8, 0], [21, -63/40, -2/5], [24, -6/5, 8/5]]
[[-9, 0, 0], [10, 1/9, 0], [90, -9, 0], [91, -80/9, 2]]
[[-9, 0, 0], [11, 2/9, 0], [50, -40/9, -1], [50, -40/9, 1]]
[[-9, 0, 0], [14, 5/9, 0], [26, -77/45, -4/5], [27, -8/5, 6/5]]
[[-9, 0, 0], [18, 1, 0], [19, -8/9, -2/3], [22, -5/9, 4/3]]
[[-10, 0, 0], [11, 1/10, 0], [110, -10, 0], [111, -99/10, 2]]
[[-10, 0, 0], [14, 2/5, 0], [35, -5/2, 0], [39, -21/10, 2]]
[[-10, 0, 0], [18, 4/5, 0], [23, -6/5, -1/2], [27, -4/5, 3/2]]
[[-11, 0, 0], [12, 1/11, 0], [132, -11, 0], [133, -120/11, 2]]
[[-11, 0, 0], [13, 2/11, 0], [72, -60/11, -1], [72, -60/11, 1]]
[[-11, 0, 0], [16, 5/11, 0], [36, -117/55, -4/5], [37, -112/55, 6/5]]
[[-11, 0, 0], [21, 10/11, 0], [24, -56/55, -3/5], [28, -36/55, 7/5]]
[[-12, 0, 0], [13, 1/12, 0], [156, -12, 0], [157, -143/12, 2]]
[[-12, 0, 0], [16, 1/3, 0], [49, -35/12, -1], [49, -35/12, 1]]
[[-12, 0, 0], [17, 5/12, 0], [41, -143/60, -2/5], [44, -32/15, 8/5]]
[[-12, 0, 0], [21, 3/4, 0], [28, -4/3, 0], [37, -7/12, 2]]
[[-12, 0, 0], [21, 3/4, 0], [29, -5/4, -2/3], [32, -1, 4/3]]
[[-12, 0, 0], [25, 13/12, 0], [25, -119/156, -10/13], [28, -20/39, 16/13]]
[[-13, 0, 0], [14, 1/13, 0], [182, -13, 0], [183, -168/13, 2]]
[[-13, 0, 0], [15, 2/13, 0], [98, -84/13, -1], [98, -84/13, 1]]
[[-13, 0, 0], [18, 5/13, 0], [47, -168/65, -2/5], [50, -153/65, 8/5]]
[[-13, 0, 0], [23, 10/13, 0], [30, -84/65, -1/5], [38, -44/65, 9/5]]
[[-14, 0, 0], [15, 1/14, 0], [210, -14, 0], [211, -195/14, 2]]
[[-14, 0, 0], [18, 2/7, 0], [63, -7/2, 0], [67, -45/14, 2]]
[[-14, 0, 0], [19, 5/14, 0], [54, -96/35, -4/5], [55, -187/70, 6/5]]
[[-14, 0, 0], [22, 4/7, 0], [39, -12/7, -1/2], [43, -10/7, 3/2]]
[[-14, 0, 0], [27, 13/14, 0], [31, -171/182, -10/13], [34, -66/91, 16/13]]
[[-15, 0, 0], [16, 1/15, 0], [240, -15, 0], [241, -224/15, 2]]
[[-15, 0, 0], [17, 2/15, 0], [128, -112/15, -1], [128, -112/15, 1]]
[[-15, 0, 0], [24, 3/5, 0], [40, -5/3, 0], [49, -16/15, 2]]
[[-15, 0, 0], [24, 3/5, 0], [41, -8/5, -2/3], [44, -7/5, 4/3]]
[[-15, 0, 0], [28, 13/15, 0], [33, -72/65, -6/13], [40, -25/39, 20/13]]
[[-15, 0, 0], [32, 17/15, 0], [32, -161/255, -16/17], [33, -48/85, 18/17]]

GolfScript (вектор 289 байтов / растр 237 байтов)

На 289 байтов и выполняется в разумные сроки:

'/'/n*','/']['*0,`1/*~1.$[]*(~-400*:&;{1+1=*}/:D;{{1+2<~D@*\/}%}%'<svg><g fill="none" stroke="red">'puts.{[[~@:b[D&*\abs]{@&*[b]+}2*]{'.0/'*'"#{
}"'n/*~}%'<circle r="
" cx="
" cy="
" />'n/\]zip puts}:|/[{.([.;]+}3*]{(:?zip{)\~++2*\-}%:c.|0=D&*<{?);[c]+[{([.;]+.}3*;]+}*.}do'</g></svg>'

Он принимает входные данные в stdin и генерирует SVG-файл для stdout. К сожалению, для онлайн-демонстрации это занимает слишком много времени, но подправленная версия, которая прерывается раньше, может дать вам представление.

С учетом ввода [[-2, 0, 0], [3, 1/2, 0], [6, -2, 0], [7, -3/2, 2]]в выход ( в пересчете на PNG с InkScape) является

На 237 байтах и ​​занимает слишком много времени (я экстраполирую, что потребуется чуть больше недели, чтобы произвести аналогичный результат, как показано выше, хотя в однобитном черно-белом):

'/'/n*','/']['*0,`1/*~1.$[]*(~-400*:&;{1+1=*}/:D;{{1+2<~D@*\/}%}%.[{.([.;]+}3*]{(:?[zip{)\~++2*\-}%:c]@+\0c=D&*<{?);[c]+[{([.;]+.}3*;]+}*.}do;:C;'P1 ''801 '2*.~:B*,{:P;C{:?[0=2/.D&*-.*\D&*+.*]{2,{P{B/}2$*B%400-?0=*\)?=&*-.*}/+<},,1=},!}/

Вывод - это формат NetPBM без перевода строки, поэтому, возможно, он не совсем соответствует спецификации, хотя GIMP все равно его загрузит. Если требуется строгое соответствие, вставьте nпосле последнего !.

Растеризация происходит путем проверки каждого пикселя на каждом круге, поэтому время, затрачиваемое на это, в значительной степени линейно по числу пикселей, умноженному на количество кругов. Уменьшая все в 10 раз,

'/'/n*','/']['*0,`1/*~1.$[]*(~-40*:&;{1+1=*}/:D;{{1+2<~D@*\/}%}%.[{.([.;]+}3*]{(:?[zip{)\~++2*\-}%:c]@+\0c=D&*<{?);[c]+[{([.;]+.}3*;]+}*.}do;:C;'P1 ''81 '2*.~:B*,{:P;C{:?[0=2/.D&*-.*\D&*+.*]{2,{P{B/}2$*B%40-?0=*\)?=&*-.*}/+<},,1=},!}/

побежит через 10 минут и выдаст

(преобразовано в PNG с GIMP). Учитывая 36 часов, он произвел 401x401

JavaScript ( 418 410 байт)

Реализовано как функция:

function A(s){P='<svg><g fill=none stroke=red transform=translate(400,400)>';Q=[];s=eval(s);S=-400*s[0][0];function d(c){P+='<circle r='+Math.abs(p=S/c[0])+' cx='+p*c[1]+' cy='+p*c[2]+' />'}for(c=4;c--;d(s[0]),s.push(s.shift()))Q.push(s.slice());for(;s=Q.shift();d(c)){c=[];for(i=4;i--;)c[i]=2*(s[0][i]+s[1][i]+s[2][i])-s[3][i];for(i=6;c[0]<S&&i;)Q.push([s[i--%3],s[i--%3],c,s[i%3]])}document.body.innerHTML=P}

Демонстрация в Интернете (примечание: не работает в браузерах, которые не удовлетворяют требованиям спецификации SVG в отношении неявного определения размера, поэтому я предлагаю немного более длинную версию, которая работает с этой ошибкой; браузеры также могут отображать SVG менее точно, чем, например, Inkscape, хотя Inkscape немного строже в цитировании атрибутов).

Обратите внимание, что 8 байтов могут быть сохранены с помощью document.write, но это серьезно мешает jsFiddle.

Mathematica 289 символов

Решая билинейную систему согласно http://arxiv.org/pdf/math/0101066v1.pdf Теорема 2.2 (крайне неэффективная).

Пространства не нужны, все еще игра в гольф:

w = {k, x, y};
d = IdentityMatrix;
j = Join;
p_~f~h_ := If[#[[-1, 1]] < 6! h,
    q = 2 d@4 - 1;
    m = #~j~{w};
    r = Complement[w /. NSolve[ And @@ j @@ 
                        MapThread[Equal, {Thread@m.q.m, 4 d@3 {0, 1, 1}}, 2], w], a];
    If[r != {},
     a~AppendTo~# & @@ r;
     Function[x, x~j~{#}~f~h & /@ r]@#]] & /@ p~Subsets~{3}; 
Graphics[Circle @@@ ({{##2}, 1}/# & @@@ (f[a = #, -Tr@#]; a))] &

Анимация уменьшенного размера с вводом {{-13, 0, 0}, {23, 10/13, 0}, {30, -84/65, -1/5}, {38, -44/65, 9/5}}

Клен (960 байт)

Я использовал теорему Декарта для создания аполлоновой набивки, а затем использовал систему построения Maple для ее построения. Если у меня есть время, я хочу продолжить игру в гольф и изменить ее на Python (Maple определенно не лучший для фракталов). Вот ссылка на бесплатный проигрыватель Maple, если вы хотите запустить мой код.

X,Y,Z,S,N:=abs,evalf,member,sqrt,numelems;
f:=proc(J)
    L:=map((x)->[x[1],(x[2]+x[3]*I)/x[1]+50*(1+I)/X(J[1][2])],J);
    R:=Vector([L]);
    T,r:=X(L[1][3]),L[1][4];
    A(L[1][5],L[2][6],L[3][7],L[1][8],L[2][9],L[3][10],R,T,r);
    A(L[1][11],L[2][12],L[4][13],L[1][14],L[2][15],L[4][16],R,T,r);
    A(L[1][17],L[3][18],L[4][19],L[1][20],L[3][21],L[4][22],R,T,r);
    A(L[2][23],L[3][24],L[4][25],L[2][26],L[3][27],L[4][28],R,T,r);
    plots[display](seq(plottools[circle]([Re(R[i][29]),Im(R[i][30])],X(1/R[i][31])),i=1..N(R))):
end proc:
A:=proc(a,b,c,i,j,k,R,E,F)
    K:=i+k+j+2*S(i*k+i*j+k*j);
    if K>400*E then
    return;
    end if;
    C:=(a*i+c*k+b*j+2*S(a*c*i*k+b*c*j*k+a*b*i*j))/K;
    C2:=(a*i+c*k+b*j-2*S(a*c*i*k+b*c*j*k+a*b*i*j))/K;
    if Y(X(C-F))<1/E and not Z([K,C],R) then
    R(N(R)+1):=[K,C];
    A(a,b,C,i,j,K,R,E,F);
    A(a,c,C,i,k,K,R,E,F);
    A(b,c,C,j,k,K,R,E,F);
    end if:    
    if Y(X(C2-F))<1/E and not Z([K,C2],R) then
    R(N(R)+1):=[K,C2];
    A(a,b,C2,i,j,K,R,E,F);
    A(a,c,C2,i,k,K,R,E,F);
    A(b,c,C2,j,k,K,R,E,F);
    end if: 
end proc:

Некоторые образцы прокладок

f([[-1, 0, 0], [2, 1, 0], [2, -1, 0], [3, 0, 2]]);

f([[-9, 0, 0], [14, 5/9, 0], [26, -77/45, -4/5], [27, -8/5, 6/5]]);