Построим функцию f (x) = sin (πx) + 0.5 sin (3πx) в области [-3,3] . Мы можем интерпретировать это как свободную нить, лежащую на доске. Теперь давайте вбиваем n гвоздей в доску в положениях (x ₁ , y ₁ ) к (x _n , y _n ) , где x _i ∈ (-3,3) и y _i ∈ [-1,1] . Представьте, что в конце струны есть два проушины, то есть в позициях (-3,0) и (3,0), Теперь мы можем взять концы нити и протянуть через проушины, пока нить не станет натянутой. Это деформирует наш граф в кусочно-линейную функцию.

Некоторые картинки могут помочь. Возьмите 8 гвоздей в (-2,8, -0,7), (-2,5, -0,9), (-1,2, 0,2), (-0,5, 0,8), (0,5, .4), (1,2, -0,9), (1,5, -0,6), (1,8, -0,8) . Следующие три графика показывают процесс, описанный выше:

^{Для большей версии: щелкните правой кнопкой мыши -> Открыть в новой вкладке}

А вот анимация сжатия строки, если у вас возникли трудности с ее визуализацией:

Соревнование

Учитывая список «гвоздей» (который не обязательно отсортирован), нанесите эти гвозди и натянутую нить, если она начинается с формы вышеуказанной функции f .

Вы можете написать программу или функцию и получить ввод через STDIN, ARGV или аргумент функции. Вы можете либо отобразить результат на экране, либо сохранить изображение в файл.

Если результат растеризован, он должен иметь ширину не менее 300 пикселей и высоту 100 пикселей. Диапазон координат от (-3, -1.1) до (3,1.1) должен охватывать не менее 75% горизонтального и вертикального экстента изображения. Шкалы длин х и у не обязательно должны быть одинаковыми. Вам нужно показать гвозди (используя не менее 3х3 пикселя) и строку (не менее 1 пикселя в ширину). Вы можете включать или не включать оси.

Цвета - ваш выбор, но вам нужно как минимум два различимых цвета: один для фона, другой для ногтей и нитки (хотя они могут иметь разные цвета).

Вы можете предположить, что все гвозди находятся как минимум в 10 ^-5 единицах от f (так что вам не нужно беспокоиться о неточности с плавающей точкой).

Это код гольф, поэтому самый короткий ответ (в байтах) выигрывает.

Больше примеров

Вот еще два (более простых) примера:

{{-2.5, 1}, {-1.5, -1}, {-0.5, 1}, {0.5, -1}, {1.5, 1}, {2.5, -1}}

(Строка совпадает с осью X. )

{{-2.7, -0.5}, {-2.3, -0.5}, {-1.7, 0.5}, {-1.3, 0.5}, {-0.7, -0.5}, {-0.3, -0.5}, {0.5, 1}, {1.5, -1}, {2.5, 1}}

Хотите еще один вызов?

Вот часть II!

питон + Пикаиро, 727 708 608+ PyLab 383

from pylab import*
def f(N):
 def P(u,w,N):
    T=lambda v,p:(C(v-u,p-u)>0)==(C(w-v,p-v)>0)==(C(u-w,p-w)>0);M=[(i,n)for i,n in enumerate(N)if T(V([n[0],sin(pi*n[0])+sin(3*pi*n[0])/2]),n)]
    if M:i,n=max(M,key=lambda n:C(n[1]-u,w-u)**2);M=P(u,n,N[:i])+[n]+P(n,w,N[i+1:])
    return M
 V=array;C=cross;a=V([3,0]);plot(*zip(*([-a]+P(-a,a,map(V,sorted(N)))+[a])));N and scatter(*zip(*N));show()

пример

f([(-2.8,-0.7),(-2.5,-0.9),(-1.2,0.2),(-0.5,0.8),(0.5,0.4),(1.2,-0.9),(1.5, -0.6),(1.8, -0.8)])

Как это устроено

Предположим, мы знаем, что натянутая строка проходит через две точки A и B (мы всегда можем начать с
A = (-3, 0) и B = (3, 0) .) Когда мы вытягиваем строку, она «хочет» взять кратчайший путь между A и B , то есть в идеале отрезок AB . Однако если в области, ограниченной функцией ( sin πx + ... ) и AB , есть какие-либо гвозди , то хотя бы один из них должен блокировать строку. В частности, гвоздь (и), наиболее удаленный от AB в пределах указанной области, должен блокировать нить. Следовательно, если C является этим гвоздем, мы знаем, что натянутая нить должна пройти черезС , в дополнение к A и B . Теперь мы можем повторить процесс для сегментов AC и CB и продолжать в том же духе, пока в конечном итоге не останется никаких промежуточных гвоздей.

Это двоичный алгоритм «разделяй и властвуй» с линейным сканированием на каждом шаге, поэтому он имеет сложность в лучшем случае O (n log n) и сложность в худшем случае O (n ² ) .

Python + pylab, 576 байт

Алгоритм:

Я интерпретировал проблему как нахождение кратчайшего пути от (-3,0) до (3,0) , так что отрезок вертикальной линии, соединяющий точку пути с точкой на f (x), никогда не пересекает гвоздь.

В каждом x, где существует хотя бы один гвоздь, найдите наименьшую верхнюю границу и наибольшую нижнюю границу, заданную гвоздями в этом x . Рассмотрим точки, заданные этими границами, а также начальную и конечную точки как вершины на графе. Добавьте ребро с весом, заданным евклидовым расстоянием между двумя вершинами, если отрезок прямой между ними попадает в верхнюю и нижнюю границы для каждой промежуточной координаты x. Найдите кратчайший путь на этом графике.

Пример с 27 случайными точками:

(-0.367534, -0.722751), (-0.710649, -0.701412), (1.593101, -0.484983), (1.771199, 0.681435), (-1.878764, -0.491436), (-0.061414, 0.628570), (-0.326483, -0.512950), (0.877878, 0.858527), (1.256189, -0.300032), (1.528120, -0.606809), (-1.343850, -0.497832), (1.078216, 0.232089), (0.930588, -0.053422), (-2.024330, -0.296681), (-2.286014, 0.661657), (-0.009816, 0.170528), (2.758464, 0.099447), (-0.957686, 0.834387), (0.511607, -0.428322), (-1.657128, 0.514400), (1.507602, 0.507458), (-1.469429, -0.239108), (0.035742, 0.135643), (1.194460, -0.848291), (2.345420, -0.892100), (2.755749, 0.061595), (0.283293, 0.558334), 

Golfed

То, что в for j in R(i&~1)цикле выглядит как несколько пробелов, должно быть вкладкой.

from pylab import*
P=((3,0),(-3,0))+input()
X=sorted(set(zip(*P)[0]))
l=len(X)*2
if l>4:scatter(*zip(*P[2:]))
f=lambda x:sin(pi*x)+sin(3*pi*x)/2
B=[[max([-9]+[p[1]for p in P if x==p[0]and p[1]<f(x)]),min([9]+[p[1]for p in P if x==p[0]and p[1]>f(x)])]for x in X]
b=zeros(l);b[2:]=inf
v=list(b)
R=range
for i in R(l):
 for j in R(i&~1):
    A=B[j/2][j&1];D,d=B[i/2][i&1]-A,X[i/2]-X[j/2];K=1;c=b[j]+norm((d,D))
    for k in R(j/2+1,i/2):C=A+D/d*(X[k]-X[j/2]);K&=C<B[k][1];K&=C>B[k][0]
    if(c<b[i])&K:b[i]=c;v[i]=j,(X[j/2],A)
l-=2
s=P[:1]
while l/2:l,p=v[l];s+=(p,)
plot(*zip(*s))
show()

Ungolfed

from pylab import*
P = input()
Xn,Yn = zip(*P)
X = set(Xn+(3,-3))
f = lambda x:sin(pi*x)+sin(3*pi*x)/2
ylb = {x: max([-9]+[p[1] for p in P if p[0] == x and p[1] < f(x)]) for x in X}
yub = {x: min([9]+[p[1] for p in P if p[0] == x and p[1] > f(x)]) for x in X}
ylb[-3] = yub[3] = ylb[3] = 0
X = sorted(X)
l = len(X)
best = zeros((l,2))
best[1:] = inf
prev = [ [0,0] for i in range(l) ]
for i in range(l): # calculate min path to X[i] lb or ub
  for ib in 0,1:
    for j in range(i): # point to come from
      for jb in 0,1:
          Y2, Y1 = (ylb, yub)[ib][X[i]], (ylb, yub)[jb][X[j]]
          dy,dx = Y2 - Y1, X[i] - X[j]
          if all([Y1 + dy/dx*(x - X[j]) < yub[x] and Y1 + dy/dx*(x - X[j]) > ylb[x] for x in X[j+1:i]]):
             c = best[j][jb] + (dy**2+dx**2)**.5
             if c < best[i][ib]:
                 best[i][ib] = c
                 prev[i][ib] = j, jb, (X[j], Y1)
j, jb = l-1,0
pts = [(3,0)]
while j:
    j, jb, p = prev[j][jb]
    pts += [p]
plot(*zip(*pts))
scatter(Xn,Yn)
show()