С 468
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define a(s)fputs(s,stdout);
#define b(c)putchar(c);
int r;int z(char*s,int m){for(int i=0;i++<=m;)a(s)b(47)b(r+48)b(61)char*t=s;
while(*++t==48);a(t)while(m--)a(s)b(*s)b(10)}char x[10][60];
int main(int c,char**v){r=atoi(v[1]);int n=atoi(v[2]),q=10*r-1,d=0,p;
while(d++<9){p=r*d;char*y=x[d];do{p*=10;*y++=p/q+48;p%=q;}while(p!=r*d);}
d=1;p=q=0;while(n--){r==5&p<6?z(x[7],7*q+p++):(z(x[d],(r==5&d==7)?7*q+6:q),
++d>9?q+=d=1,p=0:0);}}
(Некоторые символы новой строки, не учитываемые в счетчике байтов, были добавлены выше для устранения полос прокрутки. Да, последний символ новой строки считается.)
Ожидает аргументы в командной строке и предполагает, что стандартный вывод принимает ASCII. Время выполнения - O (количество выводимых байтов) = O (n * n).
Нет, я не могу использовать printf. Это занимает слишком много времени и заставляет программу превышать минуты на моем рабочем столе. На самом деле, некоторые тестовые случаи занимают около 30 секунд.
Алгоритм обрабатывает выходные данные как строки, а не числа, так как они быстро становятся огромными, и в выходных данных есть сильные шаблоны.
Немного не одураченный
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
/* r is as in the problem description */
int r;
void show_line(const char* num, int repeats) {
for (int i=0; i <= repeats; ++i)
fputs(num, stdout);
printf("/%c=", '0'+r);
/* Assume the repeated num is a solution. Just move the first
digit and skip any resulting leading zeros. */
const char* num_tail = num;
++num_tail;
while (*num_tail=='0')
++num_tail;
fputs(num_tail, stdout);
while (repeats--)
fputs(num, stdout);
printf("%c\n", *num);
}
/* sol[0] is unused. Otherwise, sol[d] is the repeating digits in the
decimal representation of (r*d)/(10*r-1). */
char sol[10][60];
int main(int argc, char** argv) {
r = atoi(argv[1]);
int n = atoi(argv[2]);
int q = 10*r-1;
int d = 0;
/* Populate the strings in sol[]. */
while (d++<9) {
int p = r*d;
char* sol_str = sol[d];
/* Do the long division p/q in decimal, stopping when the remainder
is the original dividend. The integer part is always zero. */
do {
p *= 10;
*sol_str++ = p/q + '0';
p %= q;
} while (p != r*d);
}
/* Output the answers. */
d = 1;
int repeats = 0;
int r5x7_repeats = 0;
while (n--) {
if (r==5 && r5x7_repeats<6) {
show_line(x[7], 7*repeats + r5x7_repeats);
} else {
if (r==5 && d==7)
show_line(x[d], 7*repeats + 6);
else
show_line(x[d], repeats);
if (++d > 9) {
d = 1;
++repeats;
r5x7_repeats = 0;
}
}
}
}
доказательство
что программа решает проблему:
(В доказательстве принимайте все операторы и функции за реальные математические функции, а не за компьютерные операции, которые их аппроксимируют. ^Обозначает возведение в степень, а не побитовый xor.)
Для ясности я буду использовать функцию ToDecдля описания обычного процесса записи числа в виде последовательности десятичных цифр. Его диапазон - это набор упорядоченных кортежей {0...9}. Например,
ToDec(2014) = (2, 0, 1, 4).
Для положительного целого числа nопределите L(n)количество цифр в десятичном представлении n; или же,
L(n) = 1+floor(log10(n)).
Для положительного целого kи неотрицательного целого числа nс L(n)<k, определите, Rep_k(n)чтобы быть действительным числом, полученным путем добавления нулей перед десятичными цифрами n, если необходимо получить kобщее количество цифр, и затем бесконечно повторяя эти kцифры после десятичной точки. Например
Rep_4(2014) = .201420142014...
Rep_5(2014) = .020140201402...
Умножение Rep_k(n) * 10^kдает цифры nперед десятичной запятой и цифры (дополненные нулями) nбесконечно повторяющиеся после десятичной запятой. Так
Rep_k(n) * 10^k = n + Rep_k(n)
Rep_k(n) = n / (10^k - 1)
Учитывая положительное целое число r, предположим, что xэто решение проблемы, и
ToDec(x) = ( x_1, x_2, ..., x_k )
где x_1 != 0и k = L(x).
Чтобы быть решением, xэто кратное r, и
ToDec(x/r) : ( x_2, x_3, ..., x_k, x_1 ).
Применение Rep_kфункции дает хорошее уравнение:
10*Rep_k(x) = x_1 + Rep_k(x/r)
Используя его закрытую форму сверху,
10x / (10^k - 1) = x_1 + x / r / (10^k - 1)
x = x_1 * r * (10^k-1) / (10r - 1)
x_1должен быть в наборе {1 ... 9}. rбыло указано, чтобы быть в наборе {2 ... 9}. Теперь единственный вопрос: для каких значений kприведенная выше формула xдает положительное целое число? Мы рассмотрим каждое возможное значение rиндивидуально.
Когда r= 2, 3, 6, 8 или 9, 10r-1это 19, 29, 59, 79 или 89 соответственно. Во всех случаях знаменатель p = 10r-1прост. В числителе, только 10^k-1может быть кратным p, что происходит, когда
10^k = 1 (mod p)
Множество решений замкнуто при сложении и вычитании, что не приводит к отрицательному числу. Таким образом, набор содержит все кратные некоторого общего множителя, который также является наименее положительным решением для k.
Когда r = 4и 10r-1 = 39; или когда r = 7и 10r-1 = 69знаменатель в 3 раза больше другого простого числа p=(10r-1)/3. 10^k-1всегда кратно 3, и опять никакой другой фактор в числителе не может быть кратным p, поэтому снова проблема сводится к
10^k = 1 (mod p)
и снова все решения кратны наименьшему положительному решению для k.
[Не закончено...]
gprofодному входному случаю для моей программы в моем коде затрачивается не более полсекунды, но занимает около 80 секунд, что, я полагаю, должно в основном блокировать вывод.