Экран блокировки Android

вступление

Вы сидите в зале заседаний в конце длинного стола. Вы оглядываетесь вокруг и видите Тима Кука, совет директоров Apple, призрака Стива Джобса и Джека Донахи. Apple созвала эту встречу, потому что они поняли, насколько холоднее экран блокировки Android, и хотят их 1-UP. Все в комнате смотрят на тебя, как призрак Стив кричит: «Помоги мне, Человек-КодГольф! Ты моя единственная надежда!»

Проблема

Экран блокировки Android представляет собой сетку точек 3 x 3, которую можно соединить, проведя пальцем от одной точки к другой, создавая путь. Паролем считается любой возможный путь, который включает любое количество точек и исключает любое количество точек. (На реальном телефоне длина пути должна быть не менее 4 точек. В этом случае игнорируйте это ограничение.) Apple планирует заменить сетку 3 x 3 сеткой M x N, которая равна (M * N) / 9. раз лучше!

Правила:

Например, в сетке 3x3 с точками, пронумерованными от 1 до 9:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Некоторые допустимые пути:

1
3
7,2,3
1,5,9,2
1,8,6,5,4
4,2,3,5,6,7,8,9
5,9,6,4

И некоторые неверные пути:

1,3
1,9,5
7,5,4,7
4,6

Ваш вход будет три числа:

(M,N,d)

Где сетка M x N, а d - длина пути

1 <= M <= 16
1 <= N <= 16
1 <= d <= M * N

Ваша программа или функция получат ввод в виде строки, разделенной запятыми, и она должна вернуть количество возможных паролей этой длины. Например:

Input:  2,2,1 
Output: 4
Input:  2,2,2
Output: 12
Input:  7,4,1
Output: 28

Применяются стандартные правила игры в гольф, самый короткий код выигрывает!

//If I've made a mistake or the rules are unclear, please correct me!

Python - 170 байт

from fractions import*
p=lambda m,n,d,l=0,s=set():d<1or sum([p(m,n,d-1,i,s|{i})for i in range(m*n)if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))])

Я понимаю, что скобки внутри sum([...])не являются строго необходимыми, но есть большой штраф производительности за их отсутствие.

Выход для всех 3х3:

for i in range(4, 10):
  print p(3, 3, i)

Производит:

1624
7152
26016
72912
140704
140704

Для тестирования / подтверждения, первые 6 значений для доски 4х5:

20
262
3280
39644
459764
5101232

4x5 - интересный случай для проверки, потому что он имеет 2x2, 3x3 и 2x4 скачка колышка.

Краткое объяснение

В общем, это исчерпывающий поиск с накопительной обрезкой. Например, поскольку p(3, 3, 4)1624, p(3, 3, 5)будет проверять только 8120 возможностей, а не наивно проверять все 15120. Большая часть логики содержится в условии:

if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))

На простом английском языке это можно понимать как:

If no pegs have been used yet
     OR
   the target peg has not yet been used
     AND
   each of the pegs directly between the target peg and the
   current peg (a.k.a. "jumped over") have already been used