Что такое ультрарадикал

Ультрарадикальный , или Доведите радикал, содержащие от вещественного числа определяются как только действительный корень уравнения квинтиков .$a$$x^5+x+a=0$

Здесь мы используем для обозначения ультрарадикальной функции. Например, , так как .$UR(\cdot)$$UR(-100010)=10$$10^5+10-100010=0$

Вызов

Напишите полную программу или функцию, которая принимает действительное число в качестве входных данных и возвращает или выводит его ультрарадикал.

Требования

Стандартные лазейки не допускаются. Результаты тестовых примеров, приведенных ниже, должны быть точными, по крайней мере, до 6 значащих цифр, но в целом программа должна рассчитывать соответствующие значения для любых действительных входных данных действительного числа.

Тестовые случаи

9 десятичных знаков, округленных до 0, приведены для справки. Объяснение добавлено для некоторых тестовых случаев.

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

Критерии победы

Самое короткое действительное представление на каждом языке выигрывает.

Wolfram Language (Mathematica) , 20 байтов

Root[xx^5+x+#,1]&

Попробуйте онлайн!

Все еще встроенный, но по крайней мере это не так UltraRadical.

(персонаж отображается как |->в Mathematica, как =>в JS)

Python 3.8 (предварительная версия) , 60 байт

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

Попробуйте онлайн!

Метод итераций Ньютона. $x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

При использовании $\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$ математически эквивалентно, это делает цикл программы вечным.

Другой подход:

Python 3.8 (предварительная версия) , 102 байта

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

Попробуйте онлайн!

Двоичный поиск, учитывая, что функция x^5+x+aувеличивается. Установить границы -abs(x)и abs(x)достаточно, но -x*x-1и x*x+1короче.

Кстати, лимит рекурсии Python слишком мал, поэтому необходимо иметь 1e-9, и :=это называется оператором моржа.

JavaScript (ES7), 44 байта

Более безопасная версия, использующая ту же формулу, что и ниже, но с фиксированным числом итераций.

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

Попробуйте онлайн!

JavaScript (ES7),  43  42 байта

Метод Ньютона, использующий $5x^4+5$ в качестве аппроксимации $f'(x)=5x^4+1$ .

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

Попробуйте онлайн!

Как?

Мы начинаем с $x_0=0$ и вычисляем рекурсивно:

пока $x_k-x_{k+1}$ будет незначительным.

Желе , 8 байт

;17B¤ÆrḢ

Попробуйте онлайн!

Как это работает:

• Создает список [a, 1, 0, 0, 0, 1], добавляя aдвоичное представление 17. Почему этот список? Потому что это соответствует коэффициентам, которые мы ищем:

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• Затем, Ærявляется встроенным, который решает полиномиальное уравнение P(x) = 0, учитывая список коэффициентов (что мы построили ранее).

• Нас интересует только реальное решение, поэтому мы берем первую запись в списке решений с помощью Ḣ.

APL (Dyalog Unicode) , 11 10 байтов ^SBCS

-1 благодаря дзайме

Функция анонимного молчаливого префикса.

(--*∘5)⍣¯1

Попробуйте онлайн!

(… )⍣¯1 Примените следующую молчаливую функцию отрицательно:

 - отрицательный аргумент

 - минус

 *∘5 аргумент в пользу 5

$x$$f(x)=-x-x^5$$y$

R , 43 байта

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

Попробуйте онлайн!

nlm$x\mapsto |x^5+x+a|$nlma

R , 56 байт

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

Попробуйте онлайн!

polyroot$a$polyroot

J , 14 байт

{:@;@p.@,#:@17

Попробуйте онлайн!

J имеет встроенный для решения полиномов ... p.

Тайм-аут последних 4 тестовых случаев на TIO, но в теории все еще верны.

как

Полиномиальные коэффициенты для J встроены в числовой список, с коэффициентом для x^0первого. Это означает, что список:

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1равно 17 в двоичном коде, поэтому мы представляем его как #:@17, затем добавляем входные данные ,, затем применяем p., затем распаковываем результаты с помощью raze ;, затем берем последний элемент{:

Рубин , 53 41 байт

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

Попробуйте онлайн!

Использование Ньютона-Рафсона с фиксированным числом итераций и тем же приемом аппроксимации, что и у Арно

Par / GP , 34 32 26 24 байта

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

Попробуйте онлайн!

05AB1E , 12 байтов

ΔyIy4m>/+5/-

Попробуйте онлайн!

Метод Ньютона.

k4, 33 31 байт

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

Ньютон-Рафсон вычисляется итеративно, пока число не сойдется

редактировать: -2 благодаря ngn!

упс, все неправильно понял ...

K (ок), 10 байт

{-x+*/5#x}

Пари / ГП , 24 байта

a->polrootsreal(x^5+x+a)

Попробуйте онлайн!

С, 118b / 96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

118 байтов с оригинальным именем функции и с некоторой дополнительной точностью (двойной). С битами хаки могут быть лучше, но непереносимы.

96 байт с фиксированными итерациями.

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

На самом деле, наша функция настолько хороша, что мы можем использовать лучшую адаптацию метода Ньютона. Намного более быстрая и практическая реализация (150 байт)

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

Я проверил, что это работает, но мне лень выяснить, насколько быстрее это будет. Должен быть как минимум на один порядок быстрее, чем у Ньютона.

Чисто , 61 60 байт

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

Попробуйте онлайн!

Метод Ньютона, впервые реализованный в ответе пользователя user202729 .

Чисто , 124 байта

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

Попробуйте онлайн!

«Бинарный» поиск, сужающий область поиска до верхних или нижних 99,6% диапазона между верхними и нижними границами на каждой итерации вместо 50%.

Python 3 + sympy, 72 байта

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

Попробуйте онлайн!

Октава , 25 байт

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

Попробуйте онлайн!

Maplesoft Maple , 23 байта

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

К сожалению, нет онлайн компилятора / калькулятора Maple там AFAIK. Но код довольно прост.