условия

Червь является любым списком неотрицательных целых чисел, а его правый (т.е. последний ) элемент называется головой . Если голова не равна 0, у червя есть активный сегмент, состоящий из самого длинного непрерывного блока элементов, который включает в себя голову и имеет все свои элементы, по крайней мере, такие же большие, как голова . Уменьшается активный сегмент является активным сегментом с головой уменьшается на 1. Например, червь 3 1 2 3 2имеет активный сегмент 2 3 2, и восстановленный активный сегмент 2 3 1.

Правила эволюции

Червь развивается постепенно, следующим образом:

На шаге t (= 1, 2, 3, ...),
    если заголовок равен 0: удалите заголовок,
    иначе: замените активный сегмент на t + 1 составных копий сокращенного активного сегмента.

Факт : любой червь в конечном итоге превращается в пустой список , и количество шагов, которые нужно сделать, - это время жизни червя .

(Подробности можно найти в документе «Принцип червя » Л.Д. Беклемишева. Использование «list» для обозначения конечной последовательности и «head» для обозначения его последнего элемента взято из этой статьи - его не следует путать с общим использованием списков в качестве абстрактного типа данных , где заголовок обычно означает первый элемент.)

Примеры (активный сегмент в скобках)

Червяк: 0,1

step    worm
         0(1)
1        0 0 0
2        0 0 
3        0
4           <- lifetime = 4

Червяк: 1,0

step    worm
         1 0
1       (1)
2        0 0 0
3        0 0 
4        0
5           <- lifetime = 5

Червь: 1,1

step    worm
        (1 1)
1        1 0 1 0 
2        1 0(1) 
3        1 0 0 0 0 0
4        1 0 0 0 0
5        1 0 0 0
...
8       (1) 
9        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10       0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
18       0
19           <- lifetime = 19

Червь: 2

step    worm
        (2)
1       (1 1)
2        1 0 1 0 1 0
3        1 0 1 0(1)
4        1 0 1 0 0 0 0 0 0
5        1 0 1 0 0 0 0 0
6        1 0 1 0 0 0 0
...
10       1 0(1)
11       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
24      (1)
25       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
50       0
51          <- lifetime = 51

Червь: 2,1

        (2 1)
1        2 0 2 0
2        2 0(2)
3        2 0(1 1 1 1)
4        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
5        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0(1 1 1)
6        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
7        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0(1 1)
8        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0{1 0}^9
...
??          <- lifetime = ??      

Червь: 3

step    worm
        (3)
1       (2 2)
2       (2 1 2 1 2 1)
3        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 
4        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1(2)
5        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0(2 1 2 1 1 1 1 1 1 1)
6        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^7
7        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^6 (2 1 2 1 1 1 1 1 1) 
...      ...
??          <- lifetime = ??

В сторону

Время жизни червя, как правило, огромно, о чем свидетельствуют следующие нижние границы в терминах стандартной быстрорастущей иерархии функций f _α :

worm                lower bound on lifetime
----------------    ------------------------------------------
11..10 (k 1s)       f_k(2)
2                   f_ω(2)
211..1 (k 1s)       f_(ω+k)(2)
2121..212 (k 2s)    f_(ωk)(2)
22..2 (k 2s)        f_(ω^k)(2)
3                   f_(ω^ω)(2)
...
n                   f_(ω^ω^..^ω)(2) (n-1 ωs)  >  f_(ε_0) (n-1)

Примечательно, что червь [3] уже имеет время жизни, которое намного превосходит число Грэхема G:

е _{ш ^ш} (2) = F _{ш ²} (2) = F _ω2 (2) = е _{ш + 2} (2) = е _{ш + 1} (е _{ш + 1} (2)) >> е _{ш + 1} (64) > Г.

Code Golf Challenge

Напишите кратчайшую возможную подпрограмму функции со следующим поведением:

Вход : любой червь.
Выход : время жизни червя.

Размер кода измеряется в байтах.

Вот пример (Python, гольф до 167 байт):

from itertools import *
def T(w):
    w=w[::-1]
    t=0
    while w:
        t+=1
        if w[0]:a=list(takewhile(lambda e:e>=w[0],w));a[0]-=1;w=a*(t+1)+w[len(a):]
        else:w=w[1:]
    return t

Примечание : если t (n) - время жизни червя [n], то скорость роста t (n) примерно равна скорости функции Гудштейна . Так что, если это может быть golfed ниже 100 байт, он вполне может дать выигрышную ответ на самое большое количество печати вопрос . (Для этого ответа скорость роста может быть значительно увеличена, если всегда начинать счетчик шагов с n - то же значение, что и у червя [n] - вместо запуска с 0.)

GolfScript ( 56 54 символов)

{-1%0\{\)\.0={.0+.({<}+??\((\+.@<2$*\+}{(;}if.}do;}:L;

Онлайн демо

Я думаю, что ключевым трюком здесь, вероятно, является сохранение червя в обратном порядке. Это означает, что довольно просто найти длину активного сегмента: .0+.({<}+??(где 0добавляется в качестве защиты, чтобы мы нашли элемент меньше, чем голова).

Кроме того, некоторый анализ продолжительности жизни червя. Я буду обозначать червя как age, head tail(то есть в обратном порядке от обозначения вопроса), используя показатели степени, чтобы указать повторение в голове и хвосте: например, 2^3есть 2 2 2.

лемма : для любого активного сегмента xsсуществует функция f_xs, которая age, xs 0 tailпреобразуется в f_xs(age), tail.

Доказательство: ни один активный сегмент не может содержать a 0, поэтому возраст, к которому мы удаляем все, прежде чем хвост, не зависит от хвоста и, следовательно, зависит только от него xs.

Лемма : для любого активного сегментаxs червь age, xsумирает в возрасте f_xs(age) - 1.

Доказательство: по предыдущей лемме, age, xs 0 превращается в f_xs(age), []. Последний шаг - это удаление того 0, что ранее не затрагивалось, потому что оно никогда не может быть частью активного сегмента.

С этими двумя леммами мы можем изучить некоторые простые активные сегменты.

Для n > 0,

age, 1^n 0 xs -> age+1, (0 1^{n-1})^{age+1} 0 xs
              == age+1, 0 (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> age+2, (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> f_{1^{n-1}}^{age+1}(age+2), xs

так f_{1^n} = x -> f_{1^{n-1}}^{x+1}(x+2)(с базовым вариантом f_{[]} = x -> x+1, или, если вы предпочитаете f_{1} = x -> 2x+3). Мы видим, что f_{1^n}(x) ~ A(n+1, x)где Aфункция Аккермана – Петера.

age, 2 0 xs -> age+1, 1^{age+1} 0 xs
            -> f_{1^{age+1}}(age+1)

Этого достаточно, чтобы разобраться 1 2( 2 1в обозначении вопроса):

1, 1 2 -> 2, 0 2 0 2
       -> 3, 2 0 2
       -> f_{1^4}(4), 2
       -> f_{1^{f_{1^4}(4)+1}}(f_{1^4}(4)+1) - 1, []

Таким образом, учитывая данные 2 1мы ожидаем выхода ~ A(A(5,4), A(5,4)).

1, 3 -> 2, 2 2
     -> 3, 1 2 1 2 1 2
     -> 4, 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> 5, 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> f_{21212}^4(5) - 1

age, 2 1 2 1 2 -> age+1, (1 1 2 1 2)^{age+1}
               -> age+2, 0 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age
               -> age+3, 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age

и я действительно могу начать понимать, почему эта функция растет так безумно.

GolfScript, 69 62 символа

{0:?~%{(.{[(]{:^0=2$0+0=<}{\(@\+}/}{,:^}if;^?):?)*\+.}do;?}:C;

Функция Cожидает червя в стеке и заменяет его результатом.

Примеры:

> [1 1]
19

> [2]
51

> [1 1 0]
51

Рубин - 131 символ

Я знаю, что это не может конкурировать с решениями GolfScript, описанными выше, и я вполне уверен, что это может уменьшить количество очков или больше символов, но, честно говоря, я счастлив, что смог решить проблему без присмотра. Отличная головоломка!

f=->w{t=0;w.reverse!;until w==[];t+=1;if w[0]<1;w.shift;else;h=w.take_while{|x|x>=w[0]};h[0]-=1;w.shift h.size;w=h*t+h+w;end;end;t}

Мое решение для игры в гольф, из которого вытекает вышесказанное:

def life_time(worm)
  step = 0
  worm.reverse!
  until worm.empty?
    step += 1
    if worm.first == 0
      worm.shift
    else
      head = worm.take_while{ |x| x >= worm.first }
      head[0] -= 1
      worm.shift(head.size)
      worm = head * (step + 1) + worm
    end
  end
  step
end

Скриптинг (43 символа)

글坼가⑴감套擘終長①加⒈丟倘⓶增⓶가采⓶擘❷小終⓷丟❶長貶❷가掊貶插①增復合감不가終終

Это ожидает ввода как разделенный пробелами список. Это выводит правильный ответ для 1 1и 2, но для 2 1или3 это занимает слишком много времени, поэтому я перестал ждать его завершения.

С комментарием:

글坼 | split at spaces
가⑴ | iteration count = 0

감套 | while:
  擘終長①加⒈丟 | remove zeros from end and add to iteration count
  倘 | if the list is not empty:
    ⓶增⓶ | increment iteration count
    가采⓶擘❷小終⓷丟 | separate out active segment
    ❶長貶❷가掊貶插 | compute reduced active segment
    ①增復合 | repeat reduced active segment and concat
    감 | continue while loop
  不 | else
    가 | stop while loop
  終 | end if
終 | end while

к (83)

worm:{-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;|,/x)}

это, вероятно, может быть использовано в дальнейшем, так как это просто реализует повторение довольно просто.

основная эволюционная функция {x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}- 65 символов и использует некоторые приемы, чтобы не увеличивать возраст, когда червь умирает. Обертка вводит одно целое число в список, переворачивает ввод (короче, чтобы записать повторение в терминах червя, обратного из вашей нотации), запрашивает точку фиксации, выбирает возраст в качестве выходных данных и корректирует результат. для учета перерегулирования в последнем поколении.

если я делаю принуждение и обращение вручную, оно падает до 80 ({-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;x)} ).

Некоторые примеры:

  worm 1 1 0
51
  worm 2
51
  worm 1 1
19

к сожалению, он, вероятно, не слишком широко используется для печати с наибольшим числом , кроме как в очень теоретическом смысле, поскольку он довольно медленный, ограничен 64-разрядными целыми числами и, вероятно, не особенно эффективен для использования памяти.

в частности, worm 2 1и worm 3просто отток (и, вероятно, будет выбрасывать 'wsfull(из памяти), если я позволю им продолжать идти).

APL (Dyalog Unicode) , 52 байта ^SBCS

Сохранено 7 байтов благодаря @ngn и @ Adám.

0{⍬≡⍵:⍺⋄n←⍺+1⋄0=⊃⍵:n∇1↓⍵⋄n∇∊(⊂1n/-∘1@1¨)@1⊆∘⍵⍳⍨⌊\⍵}⌽

Попробуйте онлайн!

Объяснение:

0{...}⌽    ⍝ A monadic function train. We define a recursive function with two
           ⍝ arguments: zero (our counter), and the reverse of our input
⍬≡⍵:⍺      ⍝ Our base case - if our input is an empty list, return our counter
n←⍺+1      ⍝ Define 'n' as our counter plus 1
0=⊃⍵:n∇1↓⍵ ⍝ If the first element of the input is zero, recurse with the tail
           ⍝ of our input and n
⌊\⍵        ⍝ Minimum-expand: creates a new list from our input where each element
           ⍝ is the incremental minimum     
⍳⍨         ⍝ Applies above to both sides of the index-of function. Index-of returns
           ⍝ the index of the first occurence of each element in the left-side list.
           ⍝ At this point, a (reversed) input list of [3 4 5 2 3 4] would result
           ⍝ in [1 1 1 4 4 4]
⊆∘⍵        ⍝ Partition, composed with our input. Partition creates sublists of the
           ⍝ right input whenever the integer list in the left input increases.
           ⍝ This means we now have a list of sub-lists, with the first element
           ⍝ being the worm's active segment.
(...)@1    ⍝ Take the active segment and apply the following function train...
-∘1@1¨     ⍝ Subtract 1 from the first element of the active segment
1n/        ⍝ Replicate the resultant list above n+1 times
⊂          ⍝ Enclose the above, so as to keep the original shape of our sub-array
∊          ⍝ Enlist everything above together - this recursively concatenates our
           ⍝ new active segment with the remainder of the list
n∇         ⍝ Recurse with the above and n

Скала, 198

type A=List[Int]
def T(w:A)={def s(i:Int,l:A):Stream[A]=l match{case f::r=>l#::s(i+1,if(f<1)r
else{val(h,t)=l.span(_>=l(0));List.fill(i)(h(0)-1::h.tail).flatten++t})
case _=>Stream()};s(2,w).length}

Использование:

scala> T(List(2))
res0: Int = 51

К, 95

{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}

,

k)worm:{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}
k)worm 2
51
k)worm 1 1
19
q)worm 1 1 0 0 0 0
635

C (gcc) , 396 байтов

#define K malloc(8)
typedef*n;E(n e,n o){n s=K,t=s;for(*s=*o;o=o[1];*t=*o)t=t[1]=K;t[1]=e;e=s;}main(c,f,l,j,a)n*f;{n w=K,x=w;for(;l=--c;x=x[1]=K)*x=atoi(f[c]);for(;w&&++l;)if(*w){n v=K,z=v,u=w,t=K;for(a=*v=*w;(u=u[1])&&*u>=*w;*z=*u)z=z[1]=K;for(x=v[1],v=K,*v=a-1,1[u=v]=x;u;u=u[1])w=w[1];for(j=~l;j++;)u=t=E(t,v);for(;(u=u[1])&&(x=u[1])&&x[1];);u[1]=0;w=w?E(w,t):t;}else w=w[1];printf("%d",--l);}

Попробуйте онлайн!

Я знаю, что ОЧЕНЬ опоздал на вечеринку, но я решил попробовать свои силы в C, что потребовало реализации связанного списка. Это не совсем игра в гольф, кроме изменения всех идентификаторов на отдельные символы, но это работает!

В целом, я очень счастлив, учитывая, что это третья программа на C / C ++, которую я когда-либо писал.

Haskell , 84 байта

(0!).reverse
n!(x:y)|x<1=(n+1)!y|(a,b)<-span(>=x)y=(n+1)!(([-1..n]*>x-1:a)++b)
n!_=n

Попробуйте онлайн!

Спасибо @xnor за два байта.

Я чувствую, что должен быть хороший способ выделить общий прирост, но я еще не нашел короткого.

Perl 5 -pa , 92 байта

while(@F){++$\;my@a;if($b=pop@F){unshift@a,pop@F while$F[-1]>=$b;push@F,(@a,--$b)x($\+1)}}}{

Попробуйте онлайн!

Stax , 31 байт

àîz7αan♣óàNµK2☻₧⌡▐`Γl½f{♂♂_KZÖÄ

Запустите и отладьте его