правила

Вы начнете с только два элемента: Точки и такие , что . Эти точки занимают плоскость, которая бесконечна во всех направлениях.$A$$B$$A \neq B$

На любом этапе процесса вы можете выполнить одно из следующих трех действий:

1. Нарисуйте линию, которая проходит через две точки.

2. Нарисуйте круг с центром в одной точке, так что другая точка лежит на круге.

3. Добавьте новую точку, где два объекта (линии и круги) пересекаются.

Ваша цель состоит в том, чтобы создать 5 точек таким образом, чтобы они образовывали вершины правильного пятиугольника (выпуклый многоугольник с 5 сторонами, равными по длине), используя как можно меньше кругов. Конечно, у вас могут быть и другие очки, но 5 из них должны иметь обычный пятиугольник. Вам не нужно рисовать края пятиугольника для вашей оценки.

счет

При сравнении двух ответов лучше использовать тот, который рисует меньше кругов. В случае ничьей в кругах ответ, который рисует наименьшее количество линий, лучше. В случае равенства в кругах и линиях ответ, который добавляет наименьшее количество баллов, будет лучше.

Анти-правила

Хотя список правил является исчерпывающим и детализирует все, что вы можете сделать, этого списка нет, но то, что я не говорю, что вы не можете что-то делать, не означает, что вы можете.

• Вы не можете создавать «произвольные» объекты. Некоторые конструкции, которые вы найдете, будут думать, как добавить точку в «произвольном» месте и работать оттуда. Вы не можете добавлять новые точки в местах, отличных от перекрестков.

• Вы не можете скопировать радиус. Некоторые конструкции будут включать компас, устанавливая его на радиус между двумя точками, а затем подбирая его и рисуя круг в другом месте. Ты не сможешь это сделать.

• Вы не можете выполнять ограничивающие процессы. Все конструкции должны пройти конечное число шагов. Недостаточно подходить к ответу асимптотически.

• Вы не можете нарисовать дугу или часть круга, чтобы не считать его кругом при подсчете очков. Если вы хотите визуально использовать дуги при показе или объяснении своего ответа, потому что они занимают меньше места, продолжайте, но они считаются кругом для подсчета очков.

инструменты

Вы можете продумать проблему на GeoGebra . Просто перейдите на вкладку формы. Три правила эквивалентны точке, линии и окружности с центральными инструментами.

Бремя доказательства

Это стандартно, но я хотел бы повторить. Если возникает вопрос о том, является ли конкретный ответ действительным, бремя доказывания лежит на ответчике, чтобы показать, что его ответ является действительным, а не на публике, чтобы показать, что ответ не является.

Что это делает на моем сайте Code-Golf ?!

Это форма атомно-кодового гольфа, похожего на корректный гольф, хотя и немного странного языка программирования. В настоящее время существует + 22 / -0 консенсус в отношении того, что подобные вещи разрешены.

2 круга, 13 линий, 17 баллов

Попробуйте это на GeoGebra

• Пусть окружность (A, B) пересекает окружность (B, A) в точках C и D.
• Пусть AB снова пересекает окружность (A, B) в точке E.
• Пусть AB снова пересекает окружность (B, A) в F.
• Пусть AD снова пересекает окружность (A, B) в G.
• Пусть AD пересекает CF в H.
• Пусть BG пересекает DF в I.
• Пусть HI пересекает окружность (A, B) в точках J и K.
• Пусть BG пересекается с EJ в L.
• Пусть BJ пересекается с EG в M.
• Пусть BG пересекается с EK в точке N.
• Пусть BK пересекается с EG в O.
• Пусть LM пересекает окружность (A, B) в точках P и S.
• Пусть NO не пересекает окружность (A, B) в Q и R.

Тогда EPQRS - это правильный пятиугольник.

Почему это работает

Пусть BE пересекается с GJ в точке T, и пусть BE пересекается с GK в точке U. Полный четырехугольник BEGJ показывает, что T - это полярность LM, которая является пересечением касательных в точках P и S. Аналогично, полный четырехугольник BEGK показывает, что U полярность NO, которая является пересечением касательных в Q и R.

Пусть FG пересекается с HI в V. Диагонали DV и GI полного четырехугольника DGVI пересекают FH на гармонических сопряженных относительно F и H; поскольку первая находится в точке ∞, вторая является средней точкой C FH, то есть C, D, V коллинеарны.

Пусть CG пересекается с HI в W.

Теперь самое интересное. Линия FUBAT представляет собой перспективу относительно G для линии VKIHJ, которая представляет собой перспективу относительно D для обведения CKDGJ, которая представляет собой перспективу относительно C для линии HKVWJ, которая является перспективой относительно G для линии AUF∞T. Сочетание этих четырех перспектив дает проективность FUBAT ⌅ AUF∞T. Поскольку одномерная проективность определяется тремя точками, T и U определяются как две неподвижные точки FBA ⌅ AF∞.

Присваивая координаты A = 0, B = −1, F = −2, эта проективность определяется как x ↦ 4 / x + 2, а его неподвижные точки T = 1 + √5 = sec (2π / 5) и U = 1 - √5 = −sec (2π / 10), в точности так, как требуется для того, чтобы сделать EPQRS правильным пятиугольником.

7 6 кругов, 3 линии

Это классическая конструкция пятиугольника, доказательство ее правильности можно найти здесь .

4 круга, 7 линий

Так как он был побежден, я подумал, что просто опубликую свое первоначальное решение проблемы. Это решение модифицировано по методу, указанному Диксоном в Mathographics , доказательство правильности этого метода можно найти здесь .

• $\mathrm{Circle}(A,B)$
• $\overline{AB}$
• $\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• $\mathrm{Circle}(B,C)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• $\overline{DC}$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• $\overline{BG}$
• $\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• $\overline{HC}$
• $\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• $\overline{IA}$
• $\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• $\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$ как $M$ а также $K$,
• Привлечь $\overline{ML}$
• Привлечь $\overline{KL}$
• Отметить пересечение $\mathrm{Circle}(C,B)$ а также $\overline{ML}$ как $N$
• Отметить пересечение $\mathrm{Circle}(C,B)$ а также $\overline{HC}$ как $O$
• Отметить пересечение $\mathrm{Circle}(C,B)$ а также $\overline{KL}$ как $P$

$MKPON$ это обычный пятиугольник.