Учитывая натуральное число , возвратите -й кубинский премьер . $n$ $n$

Кубинские простые

Кубинское простое число - это простое число вида

п знак равно \frac{{Икс}^{3} - Y^{3}}{Икс - Y}

$p = \frac{x^3-y^3}{x-y}$

где $y>0$ и $x = 1+y$ или $x = 2+y$

Детали

Вы можете использовать индексацию на основе 0 или 1, что вам больше подходит.
Вы можете вернуть $n$ простое число с учетом индекса $n$ или первых $n$ простых чисел в возрастающем порядке, или же вы можете вернуть бесконечный список / генератор, который производит простые числа в возрастающем порядке.

Контрольные примеры

Первые несколько терминов следующие:

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

В OEIS можно найти больше терминов: они разделены на две последовательности, в зависимости от того, $x = 1+y$ или $x = 2+y$ : A002407 и A002648

— flawr
источник

2

Можем ли мы вернуть первые n простых чисел, не отсортированных?

— J42161217

@ J42161217 Нет, простые числа должны быть в порядке возрастания.

— flawr

23

JavaScript (V8) , 54 байта

Полная программа, которая печатает кубинские простые числа навсегда.

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

Попробуйте онлайн!

^{NB. Если у вас нет бесконечной бумаги на принтере, не пытайтесь запустить ее в консоли браузера , где это print()может иметь другое значение.}

JavaScript (ES6), 63 61 60 59 байт

Возвращает кубинскую простую, 1-индексированную. $n$

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

Попробуйте онлайн!

Как?

Это основано на том факте, что кубинские простые числа являются простыми числами вида:

п_{N} знак равно ⌊ \frac{3 N^{2}}{4} ⌋ + 1, N \geq 3

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

Приведенная выше формула может быть записана как:

п_{N} знак равно {\begin{cases} \frac{3 N^{2} + 1}{4} если N странно \\ \frac{3 N^{2} + 4}{4} если N даже \end{cases}

$p_n=\begin{cases} \dfrac{3n^2+1}{4}\;\text{ if }n\text{ is odd}\\ \dfrac{3n^2+4}{4}\;\text{ if }n\text{ is even} \end{cases}$

или для любого $y>0$ :

п_{2 Y + 1} знак равно \frac{3 (2 Y + 1)^{2} + 1}{4} знак равно 3 Y^{2} + 3 Y + 1

$p_{2y+1}=\dfrac{3(2y+1)^2+1}{4}=3y^2+3y+1$

п_{2 Y + 2} знак равно \frac{3 (2 Y + 2)^{2} + 4}{4} знак равно 3 Y^{2} + 6 Y + 4

$p_{2y+2}=\dfrac{3(2y+2)^2+4}{4}=3y^2+6y+4$

который $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ для $x=y+1$ и $x=y+2$ соответственно.

— Arnauld
источник

7

05AB1E , 16 12 9 байт

Создает бесконечный список.
Сохранено 4 байта с формулой порта Арно для Кевина Круйссена .
Сохранено еще 3 байта благодаря Грими

∞n3*4÷>ʒp

Попробуйте онлайн!

объяснение

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

— Emigna
источник

Вы сделали опечатку в своем объяснении: « положить копию N^2+3в стек » должно быть 3*N^2. Кроме того, почему )вместо ¯? Потому что проще набирать? И по какой-то причине я чувствую, что NnN‚3*¬sO‚может быть на 1 байт короче, но я этого не вижу. Незначительная равно байты альтернатива Nn3*DN3*+‚. Но я, наверное, просто вижу вещи, которых там нет ...;) Хороший ответ, так что +1 от меня.

— Кевин Круйссен

1

Я на самом деле пытался перенести свой ответ на 05AB1E, но с треском провалился. : D

— Арно

1

На самом деле, создавая бесконечный список удобнее: 9 байт с ∞n3 * 4 ÷> ʒp

— Grimmy

1

ОК, я не привык к спецификациям, которые противоречат самим себе. :-)

— WGroleau

6

@WGroleau Я предполагаю, что вы никогда не разрабатывали программное обеспечение профессионально. Меня больше беспокоит, когда я получаю характеристики, которые не противоречат самим себе.

— MikeTheLiar

7

R , 75 73 байта

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

Попробуйте онлайн!

-2 байта, заметив, что я могу удалить скобки, если я использую *вместо &(другой приоритет).

Выводится nкубинское простое число (1-индексируется).

Он использует тот факт (приведенный в OEIS), что кубинские простые числа имеют вид $p=1+3n^2$ или $4p=1+3n^2$ для некоторого $n$ , т.е. $n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ является целым числом для $a=1$ или $a=4$ .

Хитрость в том, что простое число не может иметь форму $2p=1+3n^2$ или $3p=1+3n^2$ (*), поэтому мы можем сохранить 2 байта, проверив формулу для $a\in\{1, 2, 3, 4\}$ ( 1:4) вместо $a\in\{1, 4\}$ ( c(1,4)).

Слегка неутешная версия кода:

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

(*) Простое число не может иметь форму $3p=1+3n^2$ , иначе $1=3(p-n^2)$ будет делиться на $3$ .

Никакое простое число, кроме $p=2$ (которое не является кубинским простым), может иметь вид $2p=1+3n^2$ : $n$ должно быть нечетным, то есть $n=2k+1$ . Расширение дает $2p=4+12k(k+1)$ , следовательно, $p=2+6k(k+1)$ и $p$ будет четным.

— Робин Райдер
источник

как насчет того, чтобы избежать цикла, используя верхнюю границу n-го кубинского простого числа?

— Сиань

@ Сиань, я думал об этом, но не мог придумать такой границы. У тебя есть?

— Робин Райдер

5

Wolfram Language (Mathematica) , 66 65 56 байт

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

Попробуйте онлайн!

J42161217 -1 с использованием ⌊ ⌋вместоFloor[ ]
attinat
- -1 используя ⌊3#/4#⌋вместо⌊3#^2/4⌋
- -8 для For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++]вместоn=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

— speedstyle
источник

1

65 байтов . Добро пожаловать в PPCG. Хороший первый ответ! +1

— J42161217

Благодарность! (Долгое время скрывался.) Я не мог разобрать ваш существующий ответ, поэтому я написал свой, и он оказался немного короче. Я мог бы сделать Python один тоже.

— спидстайл

2

56 байт

— attinat

@attinat Я думал, что формула Арно работает только для n> 2, поэтому я не начинал с 0 - хотя, как в вашем примере, он работает для всех n (потому что он начинается с 1 1 4 7 13 ... поэтому простые числа 7 13. ..)

— speedstyle

3

Java 8, 94 88 86 84 байта

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

-6 байт с помощью Java- праймера @SaraJ , так что убедитесь, что проголосовали за нее!
-2 байта благодаря @ OlivierGrégoire . Так как первое число, которое мы проверяем, это то 7, что мы можем отбросить трейлинг %nот прайм- чека Сары, который должен завершить цикл n=1.
-2 байта благодаря @ OlivierGrégoire путем переноса ответа @Arnauld .

Выводы разделены пробелом на неопределенный срок.

Попробуйте онлайн.

Пояснение (старой 86-байтовой версии): TODO: обновить объяснение

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

— Кевин Круйссен
источник

Я не думаю, что это возможно, но другой способ найти кубинские простые числа использует эту формулу: v->{for(int n=7,i=3,p,x,d,r=0;;i+=++r%2*3,n+=i,System.out.print(x>1?x+" ":""))for(x=n,d=1;++d<n;x=x%d<1?0:n);}может быть, кто-то может использовать это для игры в гольф? Я не мог

— Оливье Грегуар

1

@ OlivierGrégoire Вы можете сыграть в свой гольф немного больше, удалив неиспользованное ,pи изменив i+=++r%2*3,n+=iна n+=i+=++r%2*3, но тогда я все равно получу 106 байтов. Использование Java 11 - й String#repeatс прайм-регулярным выражением составляет 105 байт: v->{for(int n=7,i=3,r=0;;n+=i+=++r%2*3)if(!"x".repeat(n).matches(".?|(..+?)\\1+"))System.out.println(n);}.

— Кевин Круйссен

Да, я догадывался, что это не очень хорошо для игры в гольф, несмотря на мои (теперь очевидные) ошибки. Спасибо, что подвезли;)

— Оливье Грегуар

@ OlivierGrégoire Может быть, вам тоже полезно это знать, но в Java, по-видимому, более короткий цикл первичной проверки. См. Мое редактирование и ответ по первичной проверке Сараджа.

— Кевин Круйссен

Я могу ошибаться, но последнее %nне обязательно, не так ли?

— Оливье Грегуар

2

Wolfram Language (Mathematica) , 83 байта

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

Попробуйте онлайн!

— J42161217
источник

2

Желе , 12 байт

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

Попробуйте онлайн!

Основано на методе @ Арно . Берет на stdin и возвращает столько кубинских простых чисел.

— Ник Кеннеди
источник

1

Wolfram Language (Mathematica) , 83 байта

Это решение выведет n-е кубинское простое число с дополнительными преимуществами быстрой скорости и запоминания всех предыдущих результатов в символе f.

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

Попробуйте онлайн!

— Келли Лоудер
источник

1

Пробел , 180 байт

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

Буквы S(пробел), T(табуляция) и N(новая строка) добавляются только как подсветка.
[..._some_action]добавлено только в качестве объяснения.

Выводит символ новой строки на неопределенный срок.

Попробуйте онлайн (только с необработанными пробелами, вкладками и новыми строками).

Объяснение в псевдокоде:

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

— Кевин Круйссен
источник

1

Питон 3 , 110 108 102 байта

Метод, аналогичный моему ответу Mathematica (т. Е.isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++ ), Использующий эту простейшую проверку и возвращающий анонимный бесконечный генератор

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

Попробуйте онлайн!

mypetlion -2, потому что возможно разрешены анонимные генераторы, чем именованные
-6 , начиная countс 2 _+1, так что and x>1в заимствованной мною первичной проверке нет необходимости _-7

— speedstyle
источник

Ответ, входящий в переменную, обычно не считается допустимой формой «вывода». Не могли бы вы переработать свой ответ так, чтобы результат либо выводился на стандартный вывод, либо возвращался функцией?

— mypetlion

1

так как анонимные функции разрешены, а вызов явно разрешает бесконечный генератор, я удалил g=. Я включил его только в первую очередь, потому что он позволял быстро визуализировать с TIO print(next(g) for i in range(52)).

— Спидстайл

1

Japt , 14 13 байт

Адаптировано из формулы Арно . 1-индексироваться.

@µXj}f@Ò(X²*¾

Попытайся

1 байт сохранен благодаря EmbodimentOfIgnorance.

— мохнатый
источник

13 байт? Хотя не проверено полностью.

— Воплощение Неведения

Спасибо, @EmbodimentofIgnorance. Я попробовал это, но это не сработало; Оказывается, я забыл (.

— Лохматый

1

Ракетка , 124 байта

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

Попробуйте онлайн!

Возвращает n-е кубинское простое число с 0 индексами.

Использует формулу JavaScript-ответа @ Арно.

— Гален Иванов
источник

1

Python 3 , 83 байта

печатает кубинские простые числа навсегда.

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

Попробуйте онлайн!

$x = 1+y$ $x=2+y$

п знак равно \frac{(1 + Y)^{3} - Y^{3}}{(1 + Y) - Y} знак равно 1 + 3 Y + 3 Y^{2} \Leftrightarrow Y знак равно - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{п - 1}{3}}

$p=\frac{(1+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 1 + 3y +3y^2 \Leftrightarrow y = -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{p-1}{3}}$

п знак равно \frac{(2 + Y)^{3} - Y^{3}}{(1 + Y) - Y} знак равно 4 + 6 Y + 3 Y^{2} \Leftrightarrow Y знак равно - 1 \pm \sqrt{\frac{п - 1}{3}}

$p=\frac{(2+y)^3-y^3}{(1+y)-y} = 4 + 6y +3y^2 \Leftrightarrow y = -1 \pm\sqrt{\frac{p-1}{3}}$

y

$y$

\pm

$\pm$

- 1

$-1$

— овс
источник

1

Perl 6 , 33 31 байт

-2 байта благодаря Грими

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

Попробуйте онлайн!

Блок анонимного кода, который возвращает бесконечный список кубинских простых чисел. При этом используется формула Арно для генерации возможных кубинских простых чисел, а затем &is-primeдля их фильтрации.

Объяснение:

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

— Джо Кинг
источник

1

1+0+|может быть просто1+|

— Grimmy

0

Пари / ГП , 51 байт

Используя формулу Арно .

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

Попробуйте онлайн!

— alephalpha
источник

0

APL (NARS), 98 символов, 196 байтов

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

с отступом:

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

тестовое задание:

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

он основан на: если у в N, один из возможных кубинских премьер

S1=1+3y(y+1)

следующий возможный кубинский премьер будет

S2=3(y+1)+S1

— RosLuP
источник