Диэдральная группа $D_4$ является группой симметрии квадрата, то есть движениями, которые преобразуют квадрат в себя посредством поворотов и отражений. Он состоит из 8 элементов: повороты на 0, 90, 180 и 270 градусов и отражения по горизонтальной, вертикальной и двум диагональным осям.

Изображения все с этой прекрасной страницы Ларри Риддла.

Задача состоит в том, чтобы составить эти ходы: с учетом двух ходов выведите ход, который эквивалентен выполнению их один за другим. Например, ход 7, за которым следует ход 4, аналогичен ходу 5.

Обратите внимание, что переключение ордера на ход 4, а затем ход 7 производит вместо этого ход 6.

Результаты приведены в таблице ниже; это таблица Кэли группы $D_4$ . Так, например, входы $7, 4$ должны давать выход $5$ .

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6\\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 8 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 6 & 5\\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 7 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 8 & 5 & 7 & 6 & 2 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Вызов

Ваша цель состоит в том, чтобы реализовать эту операцию как можно меньшим числом байтов, но в дополнение к коду вы также выбираете метки , представляющие ходы с 1 по 8. Метки должны состоять из 8 различных чисел от 0 до 255. или из 8 -байтовые символы, которые представляют их кодовые точки.

Ваш код получит две метки из 8 выбранных вами, и должен вывести метку, соответствующую их составу, в диэдральной группе $D_4$ .

пример

Допустим, вы выбрали символы C, O, M, P, U, T, E, R для ходов с 1 по 8 соответственно. Затем ваш код должен реализовать эту таблицу.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} \, C \, & \, O \, & M \, & P \, & U \, & \, T \, & \, E \, & R \, \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} C \\ O \\ M \\ P \\ U \\ T \\ E \\ R \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} C & O & M & P & U & T & E & R \\ O & M & P & C & R & E & U & T\\ M & P & C & O & T & U & R & E\\ P & C & O & M & E & R & T & U\\ U & E & T & R & C & M & O & P\\ T & R & U & E & M & C & P & O\\ E & T & R & U & P & O & C & M\\ R & U & E & T & O & P & M & C\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Учитывая входы E и P, вы должны вывести U. В качестве входных данных всегда будут две буквы C, O, M, P, U, T, E, R, а выходные данные всегда должны быть одной из этих букв.

Текстовая таблица для копирования

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 7 5 6
3 4 1 2 6 5 8 7
4 1 2 3 7 8 6 5
5 7 6 8 1 3 2 4
6 8 5 7 3 1 4 2
7 6 8 5 4 2 1 3
8 5 7 6 2 4 3 1

Рубин , 18 байт

->a,b{a+b*~0**a&7}

Ungolfed

->a,b{ (a+b*(-1)**a) % 8}  
# for operator precedence reasons, 
#-1 is represented as ~0 in the golfed version 

Попробуйте онлайн!

Использует следующие номера кодирования от 0 до 7

Для того, чтобы родной код:

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
1 /        flip in y=x               7E
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
3 /|/      flip in x axis            5U
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
5 /|/|/    flip in y=-x              8R
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T

В порядке по вопросу

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
3 /|/      flip in x axis            5U
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T
1 /        flip in y=x               7E
5 /|/|/    flip in y=-x              8R

объяснение

/представляет переворот в линии y=xи |представляет переворот по оси Y.

Можно сгенерировать любую из симметрий группы D4, попеременно переворачивая эти две строки. Например, /после следует |задание, /|которое представляет собой поворот на 90 градусов против часовой стрелки.

Общее количество последовательных переворотов дает очень удобное представление для арифметических манипуляций.

Если первый ход - это вращение, мы можем просто добавить количество сальто:

Rotate 90 degrees   +  Rotate 180 degrees = Rotate 270 degrees
/|                     /|/|                 /|/|/|

Rotate 90 degress   +  Flip in y=x        = Flip in x axis   
/|                    /                     /|/

Если первый ход - это отражение, мы обнаруживаем, что у нас есть несколько одинаковых отражений /и |символов рядом друг с другом. Поскольку отражение самообращено, мы можем отменить эти броски один за другим. Таким образом, мы должны вычесть одно движение из другого

Flip in x axis     +  Flip in y=x        = Rotate 90 degrees
/|/                   /                    /|/ / (cancels to) /|

Flip in x axis     +  Rotate 90 degrees  = Flip in y=x
/|/                   /|                   /|/ /| (cancels to ) / 

Wolfram Language (Mathematica) , 31 байт

Используя целые числа $0, 5, 2, 7, 1, 3, 6, 4$ качестве меток.

BitXor[##,2Mod[#,2]⌊#2/4⌋]&

Попробуйте онлайн!

Объяснение:

Диэдральная группа $D_4$ изоморфна унитреугольной матричной группе степени три над полем $\mathbb{F}_2$ :

$$D_4 \cong U(3,2) := \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{F}_2\right\}.$$

И у нас есть

$$\begin{pmatrix} 1 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a_2 & b_2 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a_1+a_2 & b_1+b_2+a_1c_2 \\ 0 & 1 & c_1+c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

который может быть легко записан в побитовых операциях.

Wolfram Language (Mathematica) , 51 байт

⌊#/4^IntegerDigits[#2,4,4]⌋~Mod~4~FromDigits~4&

Попробуйте онлайн!

Использование ярлыков {228, 57, 78, 147, 27, 177, 198, 108}.

Это {3210, 0321, 1032, 2103, 0123, 2301, 3012, 1230}в базе 4. К счастью, 256 = 4 ^ 4.

---

Реализация нижнего уровня, также 51 байт

Sum[4^i⌊#/4^⌊#2/4^i⌋~Mod~4⌋~Mod~4,{i,0,3}]&

Попробуйте онлайн!

Python 2 , 22 байта

Порт моего ответа Mathematica . Использование целых чисел $0, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 4$ качестве меток.

lambda a,b:a^b^a/2&b/4

Попробуйте онлайн!

Python 2 , 26 23 21 байт

lambda x,y:y+x*7**y&7

$D_3$andxnor

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

TI-BASIC, 165 байт

Ans→L₁:{.12345678,.23417865,.34126587,.41238756,.58671342,.67583124,.75862413,.86754231→L₂:For(I,1,8:10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8:List▶matr(Ans,[B]:If I=1:[B]→[A]:If I-1:augment([A],[B]→[A]:End:[A](L₁(1),L₁(2

Вход представляет собой список длиной два дюйма Ans.
Выход - число по (row, column)индексу в таблице.

Может быть лучший метод сжатия, который бы экономил байты, но я должен рассмотреть это.

Примеры:

{1,2
           {1 2}
prgmCDGF1B
               2
{7,4
           {7 4}
prgmCDGF1B
               5

Объяснение:
(Новые строки были добавлены для удобства чтения.)

Ans→L₁                              ;store the input list into L₁
{.123456 ... →L₂                    ;store the compressed matrix into L₂
                                    ; (line shortened for brevity)
For(I,1,8                           ;loop 8 times
10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8  ;decompress the "I"-th column of the matrix
List▶matr(Ans,[B]                   ;convert the resulting list into a matrix column and
                                    ; then store it into the "[B]" matrix variable
If I=1                              ;if the loop has just started...
[B]→[A]                             ;then store this column into "[A]", another matrix
                                    ; variable
If I-1                              ;otherwise...
augment([A],[B]→[A]                 ;append this column onto "[A]"
End
[A](L₁(1),L₁(2                      ;get the index and keep it in "Ans"
                                    ;implicit print of "Ans"

Вот 155-байтовое решение, но оно просто жестко кодирует матрицу и получает индекс.
Я нашел это более скучным, поэтому я не сделал это своим официальным представлением:

Ans→L₁:[[1,2,3,4,5,6,7,8][2,3,4,1,8,7,5,6][3,4,1,2,6,5,8,7][4,1,2,3,7,8,6,5][5,7,6,8,1,3,2,4][6,8,5,7,3,1,4,2][7,6,8,5,4,2,1,3][8,5,7,6,2,4,3,1:Ans(L₁(1),L₁(2

---

Примечание: TI-BASIC - это токенизированный язык. Количество символов не равно количеству байтов.

Желе , 6 байт

N⁹¡+%8

Диадическая ссылка, принимающая первое преобразование справа и второе преобразование слева, что приводит к составному преобразованию.

Где преобразования:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  0    2    4    6    1    5    7    3

Попробуйте онлайн! ... Или посмотрите на таблицу, отображенную обратно на метки в вопросе .

(Аргументы могут быть взяты в другом порядке, используя 6 байтов, _+Ḃ?%8)

Как?

Каждая метка - это длина последовательности чередования horи +veпреобразования, которая эквивалентна преобразованию (например 180, эквивалентна hor, +ve, hor, +ve).

Композиция A,Bэквивалентна объединению двух эквивалентных последовательностей и позволяет упростить вычитание или сложение по модулю восемь ...

Используя 7, 4пример вопроса, который мы имеем +ve, 90c:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve

... но так hor, horкак idу нас есть:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve , +ve, hor, +ve, hor, +ve

... и так +ve, +veкак idмы имеем:
hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve

... и мы можем повторить эти отмены, чтобы: ...
hor
эквивалентно вычитанию длины (7-6=1 ).

Когда отмены невозможны, мы просто добавляем длины (например, 90a, 180 $\rightarrow$ 2+4=6 $\rightarrow$ 90c).

Наконец, обратите внимание, что последовательность длиной восемь такова, idчто мы можем взять результирующую длину последовательности по модулю восемь.

N⁹¡+%8 - Link: B, A
  ¡    - repeat (applied to chain's left argument, B)...
 ⁹     - ...times: chain's right argument, A
N      - ...action: negate  ...i.e. B if A is even, otherwise -B
   +   - add (A)
    %8 - modulo eight

---

Он также на 1 байт короче этой реализации с использованием лексикографических индексов перестановки:

œ?@ƒ4Œ¿

... монадическая ссылка принимает [first, second], с метками:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  1   10   17   19   24    8   15    6

JavaScript (Node.js) , 22 17 байт

(x,y)=>y+x*7**y&7

Попробуйте онлайн! Порт моего ответа на Cayley Table группы Dihedral$D_3$но проиграл, используя предложения моего ответа на Python. Использует следующее отображение:

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

Старые версии JavaScript могут поддерживаться различными способами для 22 байтов:

(x,y)=>(y&1?y-x:y+x)&7
(x,y)=>y-x*(y&1||-1)&7
(x,y)=>y+x*(y<<31|1)&7

Ржавчина , 16 байт

|a,b|a^b^a/2&b/4

Попробуйте онлайн!

Порт алефальского Python ответа. Но короче.

Вяз , 42 байта 19 байтов

\a b->and 7<|b+a*7^b

Порт Нейла Node.js версия

Попробуйте онлайн

Предыдущая версия:

\a b->and 7<|if and 1 a>0 then a-b else a+b

Python, 82 71 байт

0-7

-11 байт благодаря только ASCII

lambda a,b:int("27pwpxvfcobhkyqu1wrun3nu1fih0x8svriq0",36)>>3*(a*8+b)&7

TIO

Scala , 161 байт

Выбор COMPUTER в качестве меток.

val m="0123456712307645230154763012675446570213574620316574310274651320"
val s="COMPUTER"
val l=s.zipWithIndex.toMap
def f(a: Char, b: Char)=s(m(l(a)*8+l(b))-48)

Попробуйте онлайн!

Scala , 70 байт

Выбор 0-7 нативных целых чисел в качестве меток.

Сжатый матрицу в 32-байтовую строку ASCII, каждая пара чисел n0, n1 в 1 символ c = n0 + 8 * n1 + 49. Начиная с 49 до этого у нас нет \ в закодированной строке.

(a:Int,b:Int)=>"9K]oB4h]K9Vh4BoVenAJne3<_X<AX_J3"(a*4+b/2)-49>>b%2*3&7

Попробуйте онлайн!

C # (интерактивный компилятор Visual C #) , 17 байт

a=>b=>a^b^a/2&b/4

Порт альфаальфа Python ответ.

Попробуйте онлайн!

Perl 6 , 19 байт

{($^x*7**$^y+$y)%8}

Порт Нейла Python решение .

Попробуйте онлайн!

Wolfram Language (Mathematica), 7 байтов (кодировка UTF-8)

#⊙#2&

Чистая функция, принимающая два аргумента. Символ представлен здесь как⊙ на самом деле частный Unicode-символ Mathematica F3DE (3 байта), который представляет функциюPermutationProduct .

Mathematica знает о диэдральных группах и представляет элементы различных групп в виде перестановок, написанных с помощью Cyclesкоманды. Например, запустив команду

GroupElements[DihedralGroup[4]]

дает выход:

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 4}}], Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], 
 Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}], 
 Cycles[{{1, 4, 3, 2}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}]}

PermutationProduct это функция, которая умножает элементы группы при написании в этой форме.

Поскольку нам разрешено выбирать наши собственные метки, эта функция принимает эти метки для элементов группы; связь между этими ярлыками и ярлыками в сообщении о проблеме определяется следующим образом:

Cycles[{}] -> 1
Cycles[{{1, 2, 3, 4}}] -> 2
Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}] -> 3
Cycles[{{1, 4, 3, 2}}] -> 4
Cycles[{{2, 4}}] -> 5
Cycles[{{1, 3}}] -> 6
Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}] -> 7
Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}] -> 8

TL; DR Есть встроенный.