Для некоторого положительного целого числа , не являющегося квадратом, найдите фундаментальное решение связанного уравнения Пелла.$n$$(x,y)$

Детали

• Фундамент представляет собой пару целых чисел удовлетворяющих уравнению, где является минимальным и положительным. (Всегда существует тривиальное решение которое не учитывается.)$(x,y)$$x,y$$x$$(x,y)=(1,0)$
• Вы можете предположить, что не квадрат.$n$

Примеры

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

Соответствующие последовательности OEIS: A002350 A002349 A033313 A033317

Пит , 612 кодов

Принимает п из стандартного ввода. Выходы у, затем х , разделенные пробелом.

Кодел размер 1:

Кодел размер 4, для удобства просмотра:

объяснение

Проверьте эту трассировку NPiet , которая показывает программу, вычисляющую решение для входного значения 99.

Я не уверен, слышал ли я когда-нибудь об уравнении Пелла до этого испытания, поэтому я получил все следующее из Википедии; в частности, эти разделы из трех статей:

• Уравнение Пелля § Фундаментальное решение через непрерывные дроби
• Методы вычисления квадратных корней § Продолжение разложения дроби
• Продолженная дробь § Бесконечные дробные дроби и сходящиеся

В основном то, что мы делаем, это:

1. Получить $n$ от стандартного ввода.
2. Найти $\lfloor\sqrt n\rfloor$путем увеличения счетчика до тех пор, пока его квадрат не превысит$n$, затем уменьшите его один раз (Это первый цикл, который вы видите на трассе слева вверху.)
3. Установите некоторые переменные для вычисления $x$ и $y$ из продолженной доли $\sqrt n$ .
4. Проверьте, соответствуют ли $x$ и $y$ уравнению Пелла. Если они это сделают, выведите значения (это нисходящая ветвь примерно в 2/3 пути поперек) и затем выйдите (запустив красный блок слева).
5. Если нет, то итеративно обновите переменные и вернитесь к шагу 4. (Это широкий цикл вправо, обратно внизу, и соединение не совсем на полпути.)

Я, честно говоря, понятия не имею, будет ли подход грубой силы короче, и я не собираюсь пробовать это! Хорошо, я попробовал.

Пит , 184 кодекса

Это альтернатива грубой силы, которую я сказал (в моем другом ответе ), что я не хотел писать. Требуется более 2 минут, чтобы вычислить решение для n = 13. Я действительно не хочу пробовать его на n = 29 ... но оно проверяется для каждого n до 20, поэтому я уверен, что это правильно.

Как и этот другой ответ, он берет n из стандартного ввода и выводит y, затем x , через пробел.

Кодел размер 1:

Кодел размер 4, для удобства просмотра:

объяснение

Вот трассировка NPiet для входного значения 5.

Это самая грубая грубая сила, повторяющаяся как по $x$ и по $y$ . Другие решения могут повторяться по $x$ а затем вычислять $y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$ , но онислабаков.

Начиная с $x=2$ и $y=1$ , это проверяет, решили ли $x$ и $y$ уравнение. Если он имеет (вилка внизу справа), он выводит значения и выходит.

Если нет, то он продолжается влево, где $y$ увеличивается и сравнивается с $x$ . (Тогда есть некоторый поворот направления, чтобы следовать зигзагообразному пути.)

Это последнее сравнение, где путь разделяется вокруг середины слева. Если они равны, $x$ увеличивается, а $y$ возвращается к 1. И мы возвращаемся к проверке, является ли это решением.

У меня все еще есть свободные пробелы, поэтому, возможно, я посмотрю, смогу ли я включить это вычисление квадратного корня без расширения программы.

Брахилог , 16 байт

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

Попробуйте онлайн!

объяснение

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

Par / GP , 34 байта

PARI / GP почти имеет встроенный для этого: quadunitдает основную единицу из квадратичного поля $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$, где$D$-дискриминантполя. Другими словами,quadunit(4*n)решает уравнение Пелля$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$. Поэтому я должен взять квадрат, когда его норма$-1$.

Я не знаю, какой алгоритм он использует, но он даже работает, когда $n$ не является квадратом.

Ответы даются в форме x + y*w, где wобозначает $\sqrt{n}$ .

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

Попробуйте онлайн!

Wolfram Language (Mathematica) , 46 байтов

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

Попробуйте онлайн!

05AB1E , 17 16 14 байтов

Спас Байт благодаря Кевину Круйссену .
Выходы[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

Попробуйте онлайн!

объяснение

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

Java 8, 74 73 72 байта

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

-1 байт благодаря @Arnauld .
-1 байт благодаря @ OlivierGrégoire .

Попробуйте онлайн.

Объяснение:

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

R, 66 56 54 53 52 47 45 байт

полная программа

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

-1 -2 благодаря @Giuseppe

-7 благодаря @Giuseppe & @Robin Ryder -2 @JAD

Желе , 40 байт

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

Попробуйте онлайн!

Альтернативный ответ желе, менее гольфы, но более эффективный алгоритмически, когда х и у большие. Это находит сходящиеся регулярные непрерывные дроби, которые аппроксимируют квадратный корень из n, а затем проверяет, которые решают уравнение Пелла. Теперь правильно находит период регулярной непрерывной дроби.

Благодаря @TimPederick я также реализовал целочисленное решение, которое должно обрабатывать любое число:

Желе , 68 байт

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

Попробуйте онлайн!

Например, решение для 1234567890 имеет 1936 и 1932 цифры для числителя и знаменателя соответственно.

JavaScript (ES7), 47 байт

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

Попробуйте онлайн!

$x²-1$$x$

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

Попробуйте онлайн!

Или мы можем пойти нерекурсивным путем за 50 байтов :

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

Попробуйте онлайн!

TI-BASIC,  44  42 41 байт

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

$n$
$(x,y)$

$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$$x\ge2$
$(x,y)$$y\bmod1=0$

Примеры:

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

Объяснение:

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

Примечание: TI-BASIC - это токенизированный язык. Количество символов не равно количеству байтов.

MATL , 17 байт

`@:Ut!G*-!1=&fts~

Попробуйте онлайн!

объяснение

Код продолжает увеличивать счетчик k = 1, 2, 3, ... Для каждого k ищутся решения x , y с 1 ≤ x ≤ k , 1 ≤ y ≤ k . Процесс, когда какое-то решение, если найдено.

Эта процедура гарантированно найдет только одно решение, которое является фундаментальным. Чтобы понять почему, обратите внимание, что

1. Любое решение x > 0, y > 0 при n > 1 удовлетворяет x > y .
2. Если x , y является решением и x ', y ' является другим решением, то обязательно x ≠ x ' и y ≠ y '.

Как следствие 1 и 2,

• Когда процедура останавливается при данном k , для этого k существует только одно решение , потому что, если бы было два решения, одно из них было бы найдено ранее, и процесс остановился бы с меньшим k .
• Это решение является фундаментальным, потому что, опять же, если бы существовало решение с меньшим x, оно было бы найдено ранее.

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

Python 2 , 49 байт

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

Попробуйте онлайн!

Находит xкак наименьшее число выше 1 где x % sqrt(n) <= 1/x. Затем находит yиз xкак y = floor(x / sqrt(n)).

Haskell , 46 байтов

$(x,y)$$x^2 - ny^2 = 1$$y \leq x$

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

Попробуйте онлайн!

C # (интерактивный компилятор Visual C #), 70- 69 байт

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

Порт моего ответа Java 8 , но выводит кортеж вместо строки для сохранения байтов.

Попробуйте онлайн.

Желе , 15 байт

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

Попробуйте онлайн!

Полная программа, которая принимает один аргумент nи возвращает кортеж x, y.

Шелуха , 12 байт

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

Попробуйте онлайн!

объяснение

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

MathGolf , 12 байт

ökî²*)_°▼Þ√î

Попробуйте онлайн!

Я бросаю радость Мэри, когда дело доходит до форматирования вывода. Если это не разрешено, у меня есть решение, которое на 1 байт длиннее. Выходной формат: x.0yгде .0разделитель между двумя числами.

объяснение

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

Я черпал вдохновение из ответа Эминьи 05AB1E, но смог найти некоторые улучшения. Если выбранный разделитель недопустим, добавьте пробел перед последним байтом для числа байтов 13.

APL (NARS), 906 байтов

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

Выше есть 2 функции sqrti функция , которая будет найти квадратный корень и Пелла функции пола будет возвращать Zilde для ошибок, и на основе чтения страницы http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html он будет использовать Algo для знают sqrt из числа trhu продолжить дробь (даже если я использую один алгоритм для знать sqrt, используя метод Ньютона) и остановится, когда он найдет p и q, такие что

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

Тест:

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

Существует ограничение для циклов в цикле в функции sqrti, и ограничение для циклов в цикле в функции Пелла, оба для возможного числа случаев слишком велики или, возможно, не сходятся ... (Я не знаю, является ли sqrti сходятся все возможные входы и тоже функция Пелла)

Groovy , 53 байта

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

Попробуйте онлайн!

Порт Kevin Cruijssen Java и C # ответов «s

Pyth, 15 байт

fsIJ@ct*TTQ2 2J

Попробуйте это онлайн здесь . Выходные данные xзатем yразделяются новой строкой.

Wolfram Language (Mathematica) , 41 байт

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√3-байтовый символ Unicode # 221A. Выводит решение в порядке (y, x) вместо (x, y). Как обычно, с несовершенным //.и его ограниченными итерациями, работает только на входах, где истинное значение yне более 65538.

Попробуйте онлайн!

> <> , 45 байт

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

Попробуйте онлайн!

Алгоритм перебора, поиск сверху x=2вверх, с y=x-1уменьшением в каждом цикле, увеличивая xпри yдостижении 0. Выход xсопровождается y, разделенный новой строкой.

C # (интерактивный компилятор Visual C #) , 69 байт

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

Попробуйте онлайн!

Python 3 , 75 байт

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

Попробуйте онлайн!

объяснение

Этот код также будет выполняться в Python 2. Однако функция range () в Python 2 создает список вместо генератора, как в Python 3, и, таким образом, чрезвычайно неэффективна.

С помощью inifinte времени и памяти можно использовать понимание списка вместо итератора и сохранить 3 байта следующим образом:

Python 3 , 72 байта

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

Попробуйте онлайн!

Python 2 , 64 байта

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

Попробуйте онлайн!

Возвращает (x, y).