Свертка Дирихля является особым видом свертка , который выглядит как очень полезным инструмент в теории чисел. Он действует на множестве арифметических функций .

Вызов

Для двух арифметических функций $f,g$ (т.е. функций $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ ) вычисляется свертка Дирихле $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$ как определено ниже.

Детали

Мы используем соглашение . $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
Свертка Дирихле двух арифметических функций снова является арифметической функцией, и она определяется как(Обе суммы эквивалентны. Выражение означает делит , поэтому суммирование производится по натуральным делителям числа . Аналогично мы можем заменить $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ и мы получаем вторую эквивалентную формулировку. Если вы не привыкли к этой нотации, ниже приведен пошаговый пример.) Просто для уточнения (это не имеет непосредственного отношения к этой задаче): определение исходит из вычисления произведения ряда Дирихле : $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
Ввод дается в виде двух функций черного ящика . В качестве альтернативы, вы также можете использовать бесконечный список, генератор, поток или что-то подобное, что может привести к неограниченному количеству значений.
Есть два метода вывода: либо возвращается функция , либо вы можете взять дополнительный вход и вернуть напрямую. $f*g$ $n \in \mathbb N$ $(f*g)(n)$
Для простоты вы можете предположить, что каждый элемент может быть представлен, например, с помощью положительного 32-битного целого числа. $\mathbb N$
Для простоты вы также можете предположить, что каждая запись может быть представлена, например, одним действительным числом с плавающей запятой. $\mathbb R$

Примеры

Давайте сначала определим несколько функций. Обратите внимание, что список чисел под каждым определением представляет первые несколько значений этой функции.

мультипликативная идентичность ( A000007 ) case $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
постоянная единичная функция ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
функция тождества ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
функция Мёбиуса ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
функция Эйлера ( A000010 ) $φ (N) знак равно N \underset{п | N}{Π} (1 - \frac{1}{п})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
функция Лиувилля ( A008836 ) $λ (N) знак равно (- 1)^{К}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ где $k$ - число простых множителей $n$ подсчитанных с кратностью 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
функция суммы делителей ( A000203 ) $σ (N) знак равно \underset{d | N}{Σ} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
функция подсчета делителей ( A000005 ) $τ (N) знак равно \underset{d | N}{Σ} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
характеристическая функция квадратных чисел ( A010052 ) $s Q (N) знак равно {\begin{cases} 1 & если N квадратное число \\ 0 & в противном случае \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Тогда у нас есть следующие примеры:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ и $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ и $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ и $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ и $\varphi = id * \mu$

Последнее для является следствием инверсии Мёбиуса : для любого $f,g$ уравнение $g = f * 1$ эквивалентно $f = g * \mu$ .

Шаг за шагом Пример

Это пример, который вычисляется шаг за шагом для тех, кто не знаком с обозначениями, используемыми в определении. Рассмотрим функции $f = \mu$ и $g = \sigma$ . Теперь оценим их свертку $\mu * \sigma$ при $n=12$ . Их первые несколько терминов перечислены в таблице ниже.

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & е (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

Сумма повторяется по всем натуральным числам $d \in \mathbb N$ которые делят $n=12$ , поэтому $d$ принимает все натуральные делители числа $n=12 = 2^2\cdot 3$ . Это $d =1,2,3,4,6,12$ . В каждом слагаемом мы оцениваем $g= \sigma$ при $d$ и умножаем его на $f = \mu$ вычисленный при $\frac{n}{d}$ . Теперь мы можем сделать вывод

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & знак равно μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ знак равно 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ знак равно 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ знак равно 12 \\ знак равно я d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— flawr
источник

5

Lean , 108 100 95 78 75 байт

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

Попробуйте онлайн!

Больше тестов со всеми функциями.

— Дрянная Монахиня
источник

действительно ли лямбда дороже, чем четыре байта fun ?

— Марио Карнейро

лямбда - три байта, я полагаю

— Лики Монахиня

Я думаю, что это два в UTF8 (греческий довольно низкий Unicode)

— Марио Карнейру

Ты прав. Я также играл в гольф

— Leaky Nun

Я также использовал, condчтобы сохранить 5 байтов

— Leaky Nun

4

Haskell , 46 байтов

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

Попробуйте онлайн!

Спасибо flawr за -6 байтов и большой вызов! И спасибо H.PWiz за еще один -6!

— Mego
источник

Проще здесь короче

— H.PWiz

@ H.PWiz Это довольно умно - я даже не думал делать это таким образом!

— Mego

3

Python 3 , 59 байт

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

Попробуйте онлайн!

— Дрянная Монахиня
источник

Является ли //действительно необходимо вместо /?

— г-н Xcoder

/будет производить поплавки правильно?

— Утренняя монахиня

Поскольку по определению dявляется делителем n, дробная часть n/dравна нулю, поэтому с арифметикой с плавающей запятой не должно быть никаких проблем. Плавы с дробной нулевой частью достаточно близки к целым числам для целей Pythonic, и вывод функции является действительным числом, поэтому n/dвместо этого n//dдолжно быть все в порядке.

— Mego

3

Wolfram Language (Mathematica) , 17 байт

Конечно, Mathematica имеет встроенный. Также бывает известно, что многие из примеров функций. Я включил несколько рабочих примеров.

DirichletConvolve

Попробуйте онлайн!

— Келли Лоудер
источник

2

Добавить ++ , 51 байт

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

Попробуйте онлайн!

Принимает две предопределенные функции в качестве аргументов плюс $n$ и выводит $(f * g)(n)$

Как это устроено

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— Caird Coneheringaahing
источник

2

R , 58 байт

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

Попробуйте онлайн!

Принимает n, fиg . К счастью, в numbersпакете уже реализовано немало функций.

Если векторизованные версии были доступны, что возможно путем переноса каждой из них Vectorize, то возможна следующая 45-байтовая версия:

R , 45 байт

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

Попробуйте онлайн!

— Giuseppe
источник

2

APL (Dyalog Classic) , 20 байтов

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

с ⎕IO←1

Попробуйте онлайн!

Легко решить, трудно проверить - как правило, не мой тип задач. Тем не менее, мне очень понравилось это!

{ }определяет диадический оператор, операнды ⍺⍺и ⍵⍵две свертываемые функции; ⍵числовой аргумент

∪⍵∨⍳⍵делители ⍵в возрастающем порядке, то есть unique ( ∪) из LCM ( ∨) ⍵со всеми натуральными числами до него (⍳ )

⍵⍵¨ применить правильный операнд к каждому

⍺⍺¨∘⌽ применить левый операнд к каждому в обратном порядке

+.× внутреннее произведение - умножить соответствующие элементы и сложить

То же самое в ngn / apl выглядит лучше из-за идентификаторов Unicode, но занимает 2 дополнительных байта из-за 1-индексации.

— СПП
источник

Уверен, что в ngn / apl требуется 27 дополнительных байтов ...

— Эрик Аутгольфер

1

Желе , 9 байт

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

Попробуйте онлайн!

$f$ $g$ $n$

— Эрик Outgolfer
источник

1

Swift 4 , 74 70 54 байта

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

Попробуйте онлайн!

— Мистер Xcoder
источник

1

JavaScript (ES6), 47 байт

Принимает вход как (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

Попробуйте онлайн!

Примеры

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
источник

1

C (gcc) , 108 байтов

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Простая реализация, бесстыдно украденная из ответа Питона Никинской Python .

Ungolfed:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

Попробуйте онлайн!

— joH1
источник

1

F #, 72 байта

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Принимает две функции fи gнатуральное число n. Отфильтровывает значения, dкоторые естественно не делятся на n. Затем оценивает f(n/d) и g(d), умножает их вместе и суммирует результаты.

— Ciaran_McCarthy
источник

0

Пари / ГП , 32 байта

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

Попробуйте онлайн!

Есть встроенная dirmulфункция, но она поддерживает только конечные последовательности.

— alephalpha
источник

0

APL (NARS), 47 символов, 94 байта

{(m⍵[1])×n⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}

где m и n - функции, которые нужно использовать (это потому, что я не знаю, как вызвать один массив функций в одной функции в APL). Используя приведенный выше пример умножения функции Мёбиуса (здесь это 12π) и суммы функции делителей (здесь это 11π) для значения 12, умножение будет:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}12
12

если нужно вычислить другое значение:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1002
1002
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1001
1001
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}20000x
20000

Можно увидеть, если, например, первое число 2000 результат функции является тождеством

  (⍳2000)≡{(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}¨⍳2000
1

— RosLuP
источник

Дирихле свертка

Вызов

Детали

Примеры

Шаг за шагом Пример

Lean , 108 100 95 78 75 байт

Haskell , 46 байтов

Python 3 , 59 байт

Wolfram Language (Mathematica) , 17 байт

Добавить ++ , 51 байт

Как это устроено

R , 58 байт

R , 45 байт

APL (Dyalog Classic) , 20 байтов

Желе , 9 байт

Swift 4 , 74 70 54 байта

JavaScript (ES6), 47 байт

Примеры

C (gcc) , 108 байтов

F #, 72 байта

Пари / ГП , 32 байта

APL (NARS), 47 символов, 94 байта