Учитывая нотацию Даукера на узел и его знаки пересечения, вычислите его полином для скобок.

Хотя есть и более технические определения, для этой задачи достаточно думать о узле как о чем-то, что сделано физически, соединяя два конца струны вместе. Поскольку сучки существуют в трех измерениях, когда мы рисуем их на бумаге, мы используем диаграммы узлов - двухмерные проекции, в которых пересечения имеют ровно две линии, одну сверху и одну снизу.

Здесь (б) и (в) - разные диаграммы одного и того же узла.

Как мы представляем диаграмму узлов на бумаге? Большинство из нас не Рембрандт, поэтому мы полагаемся на нотацию Даукера , которая работает следующим образом:

Выберите произвольную отправную точку на узле. Переместить в произвольном направлении вдоль узла и количества переездов вы столкнулись, начиная с 1, со следующими изменениями: если это четное число , и вы в настоящее время происходит через переправу, отрицающий , что даже число. Наконец, выберите четные числа, соответствующие 1, 3, 5 и т. Д.

Давайте попробуем пример:

На этом узле мы выбрали «1» в качестве отправной точки и продолжили движение вверх и вправо. Каждый раз , когда мы более или под другой куском веревки, мы относим точку пересечения следующего натуральное число. Мы отрицаем четные числа, соответствующие нитям, которые проходят через пересечение, например, [3,-12]на диаграмме. Таким образом, эта диаграмма будет представлена [[1,6],[2,5],[3,-12],[-4,9],[7,8],[-10,11]]. Список друзей 1, 3, 5, 7 и т. Д. Дает нам [6,-12,2,8,-4,-10].

Здесь есть несколько вещей, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, нотация Даукера не является уникальной для данного узла, так как мы можем выбрать произвольную начальную точку и направление. Но, учитывая обозначения, можно полностью определить структуру узла (технически, вплоть до отражения его основных компонентов узла). Хотя не все нотации Даукера могут образовывать возможные узлы, в этой задаче вы можете предположить, что ввод представляет собой действительный узел.

Чтобы избежать неоднозначности между отражениями узла и облегчить решение задачи, вам также будет предоставлен список знаков пересечения в качестве входных данных.

При положительном пересечении нижняя линия идет влево с точки зрения верхней линии. В отрицательном пересечении это идет направо. Обратите внимание , что изменения направления обхода узел (т.е. задним ходом как по линии и под линией) не меняет знаки пересечения. В нашем примере знаки пересечения есть [-1,-1,-1,1,-1,1]. Они даны в том же порядке, что и нотация Даукера, т. Е. Для пересечений с номерами 1, 3, 5, 7 и т. Д.

$A$

$D$$\langle D\rangle$

1. Единственный цикл без каких-либо пересечений имеет полином 1.

2. $D$$D$$D$$(-A^2-A^{-2})$

3. $D$

На изображении выше контурное пересечение на первой диаграмме, имеющее форму , может быть преобразовано в как на втором рисунке (так называемое положительное сглаживание ), так и в третьем рисунке ( отрицательное сглаживание ).

$A$$A^{-1}$

Смущены еще? Давайте сделаем пример, пытаясь найти скобочный многочлен (Примечание: это два узла, связанные вместе. Этот вид диаграммы не будет потенциальным входным параметром в этой задаче, так как входные данные будут только одиночными узлами, но он может выглядеть как промежуточный результат в алгоритме.)

Сначала мы используем правило 3

Мы снова используем правило 3 на обоих новых узлах

Подставим эти 4 новых узла в первое уравнение.

Применяя правила 1 и 2 к этим 4, сообщите нам

Итак, это скажите нам

Поздравляю с завершением краткого введения в теорию узлов!

вход

Два списка:

• Даукер обозначения, например [6,-12,2,8,-4,-10]. Нумерация пересечений должна начинаться с 1. Соответствующие нечетные числа [1,3,5,7,...]неявны и не должны предоставляться в качестве входных данных.

• Знаки ( 1/ -1или, если вы предпочитаете 0/ 1или false/ trueили '+'/ '-') для пересечений, соответствующих нотации Даукера, например [-1,-1,-1,1,-1,1].

Вместо пары списков вы можете иметь список пар, например [[6,-1],[-12,-1],...

Выход

$A^{-2}+5+A-A^3$[[1,-2],[5,0],[1,1],[-1,3]]

$-k\ldots k$$k\in \mathbb{N}$[0,1,0,5,1,0,-1]$A^0$

правила

Это вызов для игры в гольф . Ни одна из стандартных лазеек не может быть использована, и библиотеки, которые имеют инструменты для вычисления нотаций Даукера или полиномов Брэкет, не могут быть использованы. (Язык, который содержит эти библиотеки, все еще может использоваться, но не библиотеки / пакеты).

тесты

// 4-tuples of [dowker_notation, crossing_signs, expected_result, description]
[
 [[],[],[[1,0]],"unknot"],
 [[2],[1],[[-1,3]],"unknot with a half-twist (positive crossing)"],
 [[2],[-1],[[-1,-3]],"unknot with a half-twist (negative crossing)"],
 [[2,4],[1,1],[[1,6]],"unknot with two half-twists (positive crossings)"],
 [[4,6,2],[1,1,1],[[1,-7],[-1,-3],[-1,5]],"right-handed trefoil knot, 3_1"],
 [[4,6,2,8],[-1,1,-1,1],[[1,-8],[-1,-4],[1,0],[-1,4],[1,8]],"figure-eight knot, 4_1"],
 [[6,8,10,2,4],[-1,-1,-1,-1,-1],[[-1,-7],[-1,1],[1,5],[-1,9],[1,13]],"pentafoil knot, 5_1"],
 [[6,8,10,4,2],[-1,-1,-1,-1,-1],[[-1,-11],[1,-7],[-2,-3],[1,1],[-1,5],[1,9]],"three-twist knot, 5_2"],
 [[4,8,10,2,12,6],[1,1,-1,1,-1,-1],[[-1,-12],[2,-8],[-2,-4],[3,0],[-2,4],[2,8],[-1,12]],"6_3"],
 [[4,6,2,10,12,8],[-1,-1,-1,-1,-1,-1],[[1,-10],[2,-2],[-2,2],[1,6],[-2,10],[1,14]],"granny knot (sum of two identical trefoils)"],
 [[4,6,2,-10,-12,-8],[1,1,1,1,1,1],[[1,-14],[-2,-10],[1,-6],[-2,-2],[2,2],[1,10]],"square knot (sum of two mirrored trefoils)"],
 [[6,-12,2,8,-4,-10],[-1,-1,-1,1,-1,1],[[1,-2],[1,6],[-1,10]],"example knot"]
]

Внешние ресурсы

Не обязательно для вызова, но если вы заинтересованы:

• Статья о полиномах узлов

• Документ о нотации Даукера

песочница сообщений: 1 , 2

спасибо @ChasBrown и @ H.Pwiz за обнаружение ошибки в моем определении нотации Даукера

K (нгн / к) , 196 193 байта

{!N::2*n:#x;{+/d,'x,'d:&:'-2!(|/n)-n:#:'x}(+/1-2*s){j::+,/y;,/(&0|2*x;(-1+#?{x[j]&:x@|j;x}/!N){-(d,x)+x,d:&4}/,1;&0|-2*x)}'(N!{(x,'|1+x;x+/:!2)}'((2*!n),'-1+x|-x)@'0 1=/:x>0)@'/:+~(y<0)=s:!n#2}

Попробуйте онлайн!

Brain-Flak , 1316 байт

(({})<({()<(({}<>))><>}){(({})[()()]<{([{}]({})<>({}<>))}{}(([({}<>)]<<>({}<>)<>((({})<<>{({}<>)<>}<>>))>)){({}<>)<>}<>{}(({}<{}(({}<{({}<>)<>}>))>))<>{({}<>)<>}>)}<>>){(({}){}()<({}<>)>)<>{}(({}){}<>)<>}<>{}{}(()){(<({}<({}<>)>)>)<>((){[()](<(({})<>){({}[({})]<>({}<>))}{}({}<>({}<{}<>{({}<>)<>}>)[()])<>({}({})[()])(([()]{()(<({}[({})]())>)}{})<{(<{}{}>)}{}><>{()((<({}()[({}<>)])<>>))}{}<{}{}>)((){[()]<({}()<({}<({}<<>({()<({}<>)<>>}<>){({}[()]<(({})<({()<({}<>)<>>})<>>)<>{({}[()]<<>({}<>)>)}{}>)}<>>)<>>)>)((){[()](<{}(({})<<>(({})<(<<>({}<<>({}<(()()){({}[()]<([{}]()<>)<>({}<<>{({}({})<>[({}<>)])}{}{}>){({}<>)<>}<>>)}{}>{})>)>)<>{}{({}<>)<>}<>([({}<>)]<((()))>)(())<>({}<>)<>{}({}[()]){<>({}<<>(()()){({}[()]<({}<<>{({}<>)<>}>){({}[({})]<>({}<>))}{}(({})<<>({}<>)<>([{}])>)>)}{}{}>)<>({}<(({})())>[()]<>)}{}({}<<>{}([{}]()<{({}<>)<>}>){({}({})<>[({}<>)])}{}{}>){({}<>)<>}<>{}{}{}>{})>)>)}{}){(<{}(({})<<>(({}{})<<>(<({}<>)>)<>{}{({}<>)<>}<>>(({}){}){})>)>)}>}{}){(<{}([{}]<({}<<>([{}]()<>)<>({}<<>{({}({})<>[({}<>)])}{}{}>){({}<>)<>}<>>({})({}){})>)>)}{}>)}{}){{}(([{}]){}<>{}{}<<>({}<>{}){([{}]({}()()<{}({}<>)(())<>>))}{}{}{}>{})(())<>{{}({}<>)(())<>}(<>)<>}{}}{}{}<>{}{}({}<{{}({}<>)(())<>}<>{{}{((<(())>))}{}}{}{{}({}<>)(())<>}>)<>{{}({}<(<()>)<>([]){{}({}<>)(())<>([])}{}>)<>{{}({}<>)<>}{}{}({}<>)<>}<>

Попробуйте онлайн!

Я ни о чем не жалею. Ввод представляет собой плоский список пар.

# Part 1: extract edges
(({})<

({()<(({}<>))><>}){

(({})[()()]<

{([{}]({})<>({}<>))}{}(([({}<>)]<<>({}<>)<>((({})<<>{({}<>)<>}<>>))>)){({}<>)<>}

<>{}(({}<{}(({}<{({}<>)<>}>))>))<>{({}<>)<>}

>)}

<>>){(({}){}()<({}<>)>)<>{}(({}){}<>)<>}<>

{}{}(())

# Part 2: Compute bracket polynomial
{

  # Move degree/sign to other stack
  (<({}<({}<>)>)>)<>

  # If current shape has crossings:
  ((){[()](<

    # Consider first currently listed edge in set
    # Find the other edge leaving same crossing
    (({})<>){({}[({})]<>({}<>))}{}

    # Move to top of other stack
    # Also check for twist
    ({}<>({}<{}<>{({}<>)<>}>)[()])

    # Check for twist in current edge
    <>({}({})[()])

    (

      # Remove current edge if twist
      ([()]{()(<({}[({})]())>)}{})<{(<{}{}>)}{}>

      # Remove matching edge if twist
      <>{()((<({}()[({}<>)])<>>))}{}<{}{}>

    # Push 1 minus number of twists from current vertex.
    )

    # If number of twists is not 1:
    ((){[()]<

      # While testing whether number of twists is 2:
      ({}()<

        # Keep sign/degree on third stack:
        ({}<({}<

          # Duplicate current configuration
          <>({()<({}<>)<>>}<>){({}[()]<(({})<({()<({}<>)<>>})<>>)<>{({}[()]<<>({}<>)>)}{}>)}

        # Push sign and degree on separate stacks
        <>>)<>>)

      # If number of twists is not 2: (i.e., no twists)
      >)((){[()](<{}

        # Make first copy of sign/degree
        (({})<<>(({})<

          # Make second copy of sign/degree
          (<<>({}<<>({}<

            # Do twice:
            (()()){({}[()]<

              # Prepare search for vertex leading into crossing on other side
              ([{}]()<>)

              # While keeping destination on third stack:
              <>({}<

                # Search for matching edge
                <>{({}({})<>[({}<>)])}{}

              # Replace old destination
              {}>)

              # Move back to original stack
              {({}<>)<>}<>

            >)}{}

          # Add orientation to degree
          >{})>)>)

          # Move duplicate to left stack
          <>{}{({}<>)<>}<>

          # Create "fake" edges from current crossing as termination conditions
          ([({}<>)]<((()))>)(())<>

          # Create representation of "top" new edge
          ({}<>)<>{}({}[()])

          # While didn't reach initial crossing again:
          {

            # Keep destination of new edge on third stack
            <>({}<<>

              # Do twice:
              (()()){({}[()]<

                # Search for crossing
                ({}<<>{({}<>)<>}>){({}[({})]<>({}<>))}{}

                # Reverse orientation of crossing
                (({})<<>({}<>)<>([{}])>)

              >)}{}

              # Remove extraneous search term
              {}

            # Push new destination for edge
            >)

            # Set up next edge
            <>({}<(({})())>[()]<>)

          }

          # Get destination of last edge to link up
          {}({}<

            # Find edge headed toward original crossing
            <>{}([{}]()<{({}<>)<>}>){({}({})<>[({}<>)])}

          # Replace destination
          {}{}>)

          # Move everything to left stack
          {({}<>)<>}

          # Clean up temporary data
          <>{}{}{}

        # Push new sign/degree of negatively smoothed knot
        >{})>)

      # Else (two twists)
      # i.e., crossing is the twist in unknot with one half-twist
      >)}{}){(<{}

        # Copy sign and degree+orientation
        (({})<<>(({}{})<

          # Move sign to left stack
          <>(<({}<>)>)

          # Move copy of configuration to left stack
          <>{}{({}<>)<>}

        # Add an additional 4*orientation to degree
        <>>(({}){}){})>)

      >)}

    # Else (one twist)
    >}{}){(<

      # Invert sign and get degree
      {}([{}]<({}<

        # Search term for other edge leading to this crossing
        <>([{}]()<>)

        # With destination on third stack:
        <>({}<

          # Find matching edge
          <>{({}({})<>[({}<>)])}{}

        # Replace destination
        {}>)

        # Move stuff back to left stack
        {({}<>)<>}<>

      # Add 3*orientation to degree
      >({})({}){})>)

    >)}{}

  # Else (no crossings)
  >)}{}){{}

    # If this came from the 2-twist case, undo splitting.
    # If this came from an initial empty input, use implicit zeros to not join anything
    # New sign = sign - 2 * next entry sign
    (([{}]){}<>{}{}<

      # New degree = average of both degrees
      <>({}<>{})

      # Find coefficient corresponding to degree
      {([{}]({}()()<{}({}<>)(())<>>))}{}{}

    # Add sign to coefficient
    {}>{})

    # Move rest of polynomial back to right stack
    (())<>{{}({}<>)(())<>}

    # Set up next configuration
    (<>)<>

  }{}

}{}{}<>{}

# Step 3: Put polynomial in correct form

# Keeping constant term:
{}({}<

  # Move to other stack to get access to terms of highest absolute degree
  {{}({}<>)(())<>}<>

  # Remove outer zeros
  {{}{((<(())>))}{}}

  # Move back to right stack to get access to lower order terms
  {}{{}({}<>)(())<>}

>)<>

# While terms remain:
{

  # Move term with positive coefficient
  {}({}<(<()>)<>([]){{}({}<>)(())<>([])}{}>)<>{{}({}<>)<>}{}

  # Move term with negative coefficient
  {}({}<>)<>

}<>