Вызов

Дано девять чисел, в a, b, c, d, e, f, g, h, iкачестве входных данных которые соответствуют квадратной матрице:

M = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}$

Найти обратную матрицу $\mathbf{M}^{-1}$ и вывести ее составляющие.

Обратная матрица

Обратная матрица 3 на 3 подчиняется следующему уравнению:

{M M}^{- 1} = M^{- 1} M = I = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{MM}^{-1} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{M} = \mathbf{I} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

И можно рассчитать как:

M^{- 1} = \frac{1}{det (M)} C^{T}

$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T$

Где $\mathbf{C}$ - матрица кофакторов:

C = (\begin{matrix} e i - f h & f g - d i & d h - e g \\ c h - b i & a i - c g & b g - a h \\ b f - c e & c d - a f & a e - b d \end{matrix})

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}$

И - транспонирование : $\mathbf{C}^T$ $\mathbf{C}$

C^{T} = (\begin{matrix} e i - f h & c h - b i & b f - c e \\ f g - d i & a i - c g & c d - a f \\ d h - e g & b g - a h & a e - b d \end{matrix})

$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}$

А также является определителем : $\det(\mathbf{M})$ $\mathbf{M}$

det (M) = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)

$\det(\mathbf{M}) = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

Работал пример

Например, скажем, вход 0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1. Это соответствует матрице:

M = (\begin{matrix} 0 & - 3 & - 2 \\ 1 & - 4 & - 2 \\ - 3 & 4 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}0&-3&-2\\1&-4&-2\\-3&4&1\end{pmatrix}$

Во-первых, давайте вычислим то, что известно как определитель, используя формулу выше:

det (M) = 0 (- 4 \times 1 - (- 2) \times 4) - (- 3) (1 \times 1 - (- 2) \times - 3) + (- 2) (1 \times 4 - (- 4) \times - 3) = 1

$\det(\mathbf{M}) = 0(-4\times1-(-2)\times4) - (-3)(1\times1-(-2)\times-3) + (-2)(1\times4-(-4)\times-3) = 1$

Далее посчитаем матрицу кофакторов:

C = (\begin{matrix} - 4 \times 1 - (- 2) \times 4 & - (1 \times 1 - (- 2) \times - 3) & 1 \times 4 - (- 4) \times - 3 \\ - (- 3 \times 1 - (- 2) \times 4) & 0 \times 1 - (- 2) \times - 3 & - (0 \times 4 - (- 3) \times - 3) \\ - 3 \times - 2 - (- 2) \times - 4 & - (0 \times - 2 - (- 2) \times 1) & 0 \times - 4 - (- 3) \times 1 \end{matrix})

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix}-4\times1-(-2)\times4& -(1\times1-(-2)\times-3)&1\times4-(-4)\times-3\\-(-3\times1-(-2)\times4)&0\times1-(-2)\times-3&-(0\times4-(-3)\times-3)\\-3\times-2-(-2)\times-4&-(0\times-2-(-2)\times1)&0\times-4-(-3)\times1\end{pmatrix}$

= (\begin{matrix} 4 & 5 & - 8 \\ - 5 & - 6 & 9 \\ - 2 & - 2 & 3 \end{matrix})

$= \begin{pmatrix}4&5&-8\\-5&-6&9\\-2&-2&3\end{pmatrix}$

Затем нам нужно транспонировать (перевернуть строки и столбцы), чтобы получить : $\mathbf{C}$ $\mathbf{C}^T$

C^{T} = (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix})

$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$

Наконец, мы можем найти обратное как:

M^{- 1} = \frac{1}{det (M)} C^{T} = \frac{1}{1} (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix})

$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$

Таким образом, результат будет 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3 .

правила

Данная матрица всегда будет иметь обратную (т.е. неособую). Матрица может быть самообратной
Данная матрица всегда будет матрицей 3 на 3 с 9 целыми числами.
Числа на входе всегда будут целыми числами в диапазоне $-1000 \leq n \leq 1000$
Нецелые компоненты матрицы могут быть представлены в виде десятичной дроби или дроби

Примеры

Input > Output
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 > 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1 > 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3
1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 3 > -1/6, 1/2, -1/6, 5/6, 1/2, -7/6, -1/6, -1/2, 5/6
7, 9, 4, 2, 7, 9, 3, 4, 5 > -1/94, -29/94, 53/94, 17/94, 23/94, -55/94, -13/94, -1/94, 31/94

выигрыш

Самый короткий код в байтах побеждает.

— Бета распад
источник

18

MATL , 54 байта

th3LZ)t,3:q&XdpswP]w-lw/GtY*tXdsGXdsUw-IXy*2/+GtXds*-*

Попробуйте онлайн!

Просто чтобы сохранить интерес, не используйте встроенное матричное деление или детерминантные функции, чтобы сделать это.

Вместо этого вычисляет определитель, используя правило Сарруса .

И адъютат (транспонированная матрица кофактора) по формуле Кэли – Гамильтона .

adj (A) знак равно \frac{1}{2} ((тр A)^{2} - тр A^{2}) я_{3} - A тр A + A^{2},

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)\mathbf {I} _{3}-\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}.$

Код комментария:

% Finding determinant
th    % concatenate the matrix to itself sideways
3LZ)  % chop off the last column (since the Rule of Sarrus doesn't need it)
t     % duplicate this matrix (say S)
,     % do this twice:
  3:q&Xd  % get the first three diagonals of S
  ps      % multiply each diagonal's values and add the results
  wP      % switch and flip the matrix (to get the popposing diagonals next time)
]w    % close loop, switch to have correct order of sums
-     % subtract - we now have the determinant
lw/   % invert that

% Finding adjugate using Cayley–Hamilton formula
GtY*  % A^2 term (last term of the formula)
tXds  % trace(A^2) for term 1 of formula
GXdsU % (trace(A))^2 for term1 of formula
w-    % (trace(A))^2 - trace(A^2)
IXy*  % multiply that by the identity matrix
2/    % divide that by 2 - term 1 complete
+
GtXds* % A*trA for term 2 of formula
-      % subtract to get adj(A)

*      % multiply by the inverse of determinant we found earlier
       % implicit output

GtY* $A^2$ 3:"Gt!@qYS*!s] 3$v t&v 3:K-&Xd

Более прямой и очевидный способ:

4 байта

-1Y^

Попробуйте онлайн!

(-1 байт благодаря @Luis Mendo.)

-1 - толкни буквальное -1

Y^ - Поднимите вход в эту мощность (неявный ввод, неявный вывод)

— sundar - Восстановить Монику
источник

Интересно, я никогда не знал, что это называется «Правило Сарруса». Мой учитель учил нас этому, но сам придумал, когда учился в университете.

— бета-распад

@LuisMendo Спасибо, заменил короткую версию (т. Е. Предыдущая версия была просто слепой реализацией предложения руководства MATL об обратном, на самом деле мы не думали об этом :)). Для длинной версии, я думаю, немного яснее оставить все как есть, достаточно того, чтобы стоить попадания в 1 байт.

— sundar - Восстановить Монику

1

@sundar Хех, я даже не помню это предложение. Я также добавлю предложение о силе матрицы

— Луис Мендо

13

APL (Dyalog Classic), 1 байт

⌹

Попробуйте онлайн!

если требуется плоский lis, это 8 байт

,∘⌹3 3∘⍴

Попробуйте онлайн!

— jslip
источник

9

Добро пожаловать в PPCG!

— Бета-распад

9

R, 51 35 27 8 5 байт

solve

Попробуйте онлайн!

Сначала сделайте одно из этих испытаний в гольф. Извините, если мое форматирование неверно!

Благодаря Giuseppe удалось сэкономить всего 11 байт! Сэкономили еще 19 байтов благодаря JAD!

— Роберт С.
источник

5

Добро пожаловать в PPCG!

— Бета-распад

Удалены имена переменных параметров из матричной функции, которая вычла 16 байтов!

— Роберт С.

1

Ницца! Вы можете удалить большинство переменных, чтобы сохранить байты, так как вы действительно просто объединяете операции: попробуйте онлайн!

— Джузеппе

1

Если вы собираетесь использовать solve, решение просто solve, так как оно отвечает всем требованиям вопроса. Он принимает матрицу в качестве входных данных и возвращает матрицу.

— JAD

1

как это

— Джузеппе

4

Желе , 3 байта

æ*-

Попробуйте онлайн!

Предполагая, что мы можем взять входные данные и предоставить в виде 2D список целых чисел. Если плоский список целых чисел действительно требуется как для ввода, так и для вывода, то это работает для 6 байтов.

— Мистер Xcoder
источник

Пояснение (я не думаю, что стоит включать в ответ): æ*- матричное возведение в степень, -- экспонента, которая равна

- 1

$-1$ , -является синтаксическим символом для отрицательных литералов, но по умолчанию

- 1

$-1$ когда нет номера сразу после него.

— г-н Xcoder

12

Комментарии не обязательно должны быть долгосрочными. Если вы включаете объяснение в комментарии, вы должны вместо этого переместить его в ответ.

— Тыкать

4

JavaScript (ES6), 123 байта

Сохранено 2 байта благодаря @ Mr.Xcoder
Сохранено 1 байт благодаря @ETHproductions

Принимает ввод как 9 различных значений.

(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=>[x=e*i-h*f,c*h-b*i,b*f-c*e,y=f*g-d*i,a*i-c*g,d*c-a*f,z=d*h-g*e,g*b-a*h,a*e-d*b].map(v=>v/=a*x+b*y+c*z)

Попробуйте онлайн!

— Arnauld
источник

Эй, я разрешил встроенные матричные функции сейчас. То есть, если у JS есть

— Beta Decay

@BetaDecay JS не имеет ни одного. :-)

— Арно

Эти скобки действительно нужны?

— Мистер Xcoder

4

J , 2 байта

%.

Просто встроенный примитив

Попробуйте онлайн!

— Гален Иванов
источник

3

Python 2 , 139 байт

def F(a,b,c,d,e,f,g,h,i):x=e*i-f*h;y=f*g-d*i;z=d*h-e*g;print[j/(a*x+b*y+c*z)for j in x,c*h-b*i,b*f-c*e,y,a*i-c*g,c*d-a*f,z,b*g-a*h,a*e-b*d]

Попробуйте онлайн! (Имеется returnвместо printдля удобства тестирования.)

— Линн
источник

1

Чисто , 143 байта

import StdEnv
$a b c d e f g h i#p=e*i-h*f
#q=f*g-d*i
#r=d*h-g*e
=[v/(a*p+b*q+c*r)\\v<-[p,c*h-b*i,b*f-c*e,q,a*i-c*g,d*c-a*f,r,g*b-a*h,a*e-d*b]]

Попробуйте онлайн!

— Οurous
источник

1

Python 3, 77 байт

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l).reshape(-1,3)**-1).ravel().tolist()[0]

Принимает ввод как плоский список.

Это 63 байта, если входные данные взяты в виде 2D-массива:

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l)**-1).ravel().tolist()[0]

— Бета распад
источник

0

Perl, 226 + 4 ( `-plF,`флаг) = 230 байт

$_=join', ',map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=($e=$F[4])*($i=$F[8])-($f=$F[5])*($h=$F[7]),($c=$F[2])*$h-($b=$F[1])*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*($g=$F[6])-($d=$F[3])*$i,($a=$F[0])*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d

Попробуйте онлайн .

— Денис Ибаев
источник

0

Perl 5, 179 байт

sub{($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h,$i)=@_;map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=$e*$i-$f*$h,$c*$h-$b*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*$g-$d*$i,$a*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d}

Попробуйте онлайн .

— Денис Ибаев
источник

0

Нетер, 168 байт

I~aI~bI~cI~dI~eI~fI~gI~hI~iei*fh*-a*di*fg*-b*-dh*eg*-c*+~zei*fh*-z/P","~nPch*bi*-z/PnPbf*ce*-z/PnPfg*di*-z/PnPai*cg*-z/PnPcd*af*-z/PnPdh*eg*-z/PnPbg*ah*-z/PnPae*bd*-z/P

Попробуйте онлайн

— Бета распад
источник

0

Google Sheets , 16 байтов

=MINVERSE(A1:C3)

Вход находится в диапазоне A1:C3

^{^{^{^{Встроенные скучные}}}}

— Инженер Тост
источник

0

Пари / ГП , 6 байт

m->1/m

Принимает мультипликативное обратное в матричном кольце $\mathrm{M}_n$ ,

Попробуйте онлайн!

— alephalpha
источник

0

Clojure, 165 байт

(fn[a b c d e f g h i](let[M map C(M -(M *[e f d c a b b c a][i g h h i g f d e])(M *[f d e b c a c a b][h i g i g h e f d]))](for[i C](/ i(apply +(M *[a b c]C))))))

Я сожалею, что выводит C в transpose, и мне лень заново делать эти длинные последовательности символов, чтобы исправить это в данный момент.

— NikoNyrh
источник

0

APL (Дьялог), 7 байт

,⌹3 3⍴⎕

Принимает ввод как плоский список и выводит как плоский список

Попробуйте онлайн!

— Бета распад
источник

Найти обратную матрицу 3 на 3

Вызов

Обратная матрица

Работал пример

правила

Примеры

выигрыш

MATL , 54 байта

Код комментария:

4 байта

R, 51 35 27 8 5 байт

Желе , 3 байта

JavaScript (ES6), 123 байта

J , 2 байта

Python 2 , 139 байт

Чисто , 143 байта

Python 3, 77 байт

Perl, 226 + 4 ( -plF,флаг) = 230 байт

Perl 5, 179 байт

Нетер, 168 байт

Google Sheets , 16 байтов

Пари / ГП , 6 байт

Clojure, 165 байт

APL (Дьялог), 7 байт

Perl, 226 + 4 ( `-plF,`флаг) = 230 байт