Математика имеет много символов. Некоторые могут сказать слишком много символов. Итак, давайте сделаем немного математики с картинками.

Давайте иметь бумагу, на которой мы будем рисовать. Для начала бумага пуста, мы скажем, что эквивалентно или true .$\top$$\textit{true}$

Если мы напишем на бумаге другие вещи, они тоже будут правдой.

Например

Указывает, что претензии и Q верны.$P$$Q$

Теперь давайте скажем, что если мы рисуем круг вокруг некоторого утверждения, то это утверждение является ложным. Это логично, что нет.

Например:

Указывает, что ложно, а Q верно.$P$$Q$

Мы даже можем поместить круг вокруг нескольких вложенных утверждений:

$P\text{ and }Q$$\text{not }(P\text{ and }Q)$

$\text{not }((\text{not }P)\text{ and }Q)$

$\bot$$\textit{false}$

Так как пустое пространство было истиной, то отрицание истины ложно.

Теперь, используя этот простой визуальный метод, мы можем фактически представить любое утверждение в логике высказываний.

Доказательств

Следующим шагом после того, как вы сможете представлять заявления, будет возможность доказать их. Для доказательства у нас есть 4 различных правила, которые можно использовать для преобразования графа. Мы всегда начинаем с пустого листа, который, как мы знаем, является бессодержательной истиной, а затем используем эти разные правила, чтобы превратить наш пустой лист бумаги в теорему.

Наше первое правило вывода - вставка .

вставка

Мы будем называть количество отрицаний между подграфом и верхним уровнем «глубиной». Вставка позволяет нам вводить любое утверждение на любой глубине.

Вот пример того, как мы выполняем вставку:

$P$

подчистка

Следующее правило вывода - Erasure . Erasure говорит нам, что если у нас есть заявление, которое находится на равной глубине, мы можем полностью удалить его.

Вот пример применения стирания:

$Q$$2$$P$$1$

Двойной разрез

Double Cut - это эквивалентность. Это означает, что, в отличие от предыдущих выводов, его также можно изменить. Double Cut говорит нам, что мы можем нарисовать два круга вокруг любого подграфа, и если есть два круга вокруг подграфа, мы можем удалить их оба.

Вот пример Double Cut используется

$Q$

итерация

Итерация также является эквивалентностью. ¹ Обратное называется Deiteration. Если у нас есть оператор и разрез на одном уровне, мы можем скопировать этот оператор в разрез.

Например:

Deiteration позволяет нам полностью изменить Итерацию . Выписка может быть удалена с помощью Deiteration, если на следующем уровне существует ее копия.

Этот формат представления и доказательства не является моим собственным изобретением. Они представляют собой незначительную модификацию схематической логики и называются альфа-экзистенциальными графами . Если вы хотите прочитать больше об этом, литературы не много, но ссылка на статью - хорошее начало.

задача

Ваша задача будет доказать следующую теорему:

Это при переводе на традиционную логическую символику

$((A\to(B\to A))\to(((\neg C\to(D\to\neg E))\to((C\to(D\to F))\to((E\to D)\to(E\to F))))\to G))\to(H\to G)$,

Также известен как аксиома Лукасевича-Тарского .

Это может показаться сложным, но экзистенциальные графы очень эффективны, когда дело доходит до длины доказательства. Я выбрал эту теорему, потому что я думаю, что это подходящая длина для веселой и сложной головоломки. Если у вас возникли проблемы с этим, я бы порекомендовал сначала попробовать несколько более простых теорем, чтобы получить представление о системе. Список их можно найти внизу поста.

Это пробная игра, поэтому ваш счет будет общим количеством шагов в вашей проверке от начала до конца. Цель состоит в том, чтобы минимизировать ваш счет.

Формат

Формат этого задания гибкий, вы можете отправлять ответы в любом удобном для чтения формате, включая рукописные или визуализированные форматы. Однако для ясности я предлагаю следующий простой формат:

• Мы представляем разрез с круглыми скобками, все, что мы режем, помещается в скобки. Пустой разрез будет просто ()для примера.

• Мы представляем атомы только их буквами.

В качестве примера приведем формулировку цели в этом формате:

(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F))))))))(G))))((H(G))))

Этот формат хорош, потому что он удобен для чтения человеком и машиной, поэтому было бы неплохо включить его в ваш пост.

$\LaTeX$

Попробуйте онлайн!

Что касается вашей реальной работы, я рекомендую карандаш и бумагу при разработке. Я считаю, что этот текст не так интуитивен, как бумага, когда дело доходит до экзистенциальных графиков.

Пример доказательства

В этом примере доказательства мы докажем следующую теорему:

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow \neg A)$

Доказательство:

Теоремы о практике

Вот несколько простых теорем, которые вы можете использовать для практики системы:

Лукасевич Вторая аксиома

Аксиома Мередит

^{1: Большинство источников используют более сложную и мощную версию Итерации , но для упрощения этой задачи я использую эту версию. Они функционально эквивалентны.}

19 шагов

1. (()) [двойной разрез]
2. (AB()(((G)))) [Вставка]
3. (AB(A)(((G)))) [Итерационный]
4. (((AB(A)))(((G)))) [двойной разрез]
5. (((AB(A))(((G))))(((G)))) [Итерационный]
6. (((AB(A))(((G))))((H(G)))) [Вставка]
7. (((AB(A))(((G)(()))))((H(G)))) [двойной разрез]
8. (((AB(A))(((DE()(C)(F))(G))))((H(G)))) [Вставка]
9. (((AB(A))(((DE(C)(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [Итерационный]
10. (((AB(A))(((DE(CD(F))(DE(C))(F))(G))))((H(G)))) [Итерационный]
11. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(F)((D)))(G))))((H(G)))) [двойной разрез]
12. (((AB(A))(((E(CD(F))(DE(C))(E(D))(F))(G))))((H(G)))) [Итерационный]
13. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(E(D))((E(F)))))))((H(G)))) [двойной разрез]
14. (((AB(A))(((G)((CD(F))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [двойной разрез]
15. (((AB(A))(((G)((C((D(F))))(DE(C))(((E(D))((E(F)))))))))((H(G)))) [двойной разрез]
16. (((AB(A))(((G)((DE(C))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [двойной разрез]
17. (((AB(A))(((G)((D(C)((E)))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [двойной разрез]
18. (((AB(A))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [двойной разрез]
19. (((A((B(A))))(((G)(((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F)))))))))))((H(G)))) [двойной разрез]

Практические теоремы

Вторая аксиома Лукасевича: 7 шагов

1. (()) [двойной разрез]
2. (A()(B)(C)) [Вставка]
3. (A(A(B))(B)(C)) [Итерационный]
4. (A(AB(C))(A(B))(C)) [Итерационный]
5. ((AB(C))(A(B))((A(C)))) [двойной разрез]
6. ((AB(C))(((A(B))((A(C)))))) [двойной разрез]
7. ((A((B(C))))(((A(B))((A(C)))))) [двойной разрез]

Аксиома Мередит: 11 шагов

1. (()) [двойной разрез]
2. (()(D(A)(E))) [Вставка]
3. ((D(A)(E))((D(A)(E)))) [Итерационный]
4. ((D(A)(E))((D(A)(E(A))))) [Итерационный]
5. ((D(A)(E))(((E(A))((D(A)))))) [двойной разрез]
6. (((E)((D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [двойной разрез]
7. (((E)((C)(D(A))))(((E(A))((D(A)))))) [Вставка]
8. (((E)((C)(D(A)(C))))(((E(A))((D(A)))))) [Итерационный]
9. (((E)((C)((A)(C)((D)))))(((E(A))((D(A)))))) [двойной разрез]
10. (((E)((C)((A)(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [двойной разрез]
11. (((E)((C)((A(B))(((C)((D)))))))(((E(A))((D(A)))))) [Вставка]

Haskell поисковик

(Что, ты думал, что я собираюсь сделать это вручную? :-P)

Это только попытка вставки, двойного введения и итерации. Таким образом, все еще возможно, что эти решения могут быть побеждены, используя стирание, устранение двойного сокращения или deiteration.

{-# LANGUAGE ViewPatterns #-}

import Control.Applicative hiding (many)
import Data.Char
import Data.Function hiding ((&))
import qualified Data.Map as M
import Data.Maybe
import qualified Data.MultiSet as S
import qualified Data.PQueue.Prio.Min as Q
import System.IO
import Text.ParserCombinators.ReadP

type Var = Char

data Part
  = Var Var
  | Not Conj
  deriving (Eq, Ord)

instance Show Part where
  show (Var s) = [s]
  show (Not c) = "(" ++ show c ++ ")"

newtype Conj = Conj
  { parts :: S.MultiSet Part
  } deriving (Eq, Ord)

instance Show Conj where
  show (Conj (S.toAscList -> [])) = ""
  show (Conj (S.toAscList -> g:gs)) =
    show g ++ concat ["" ++ show g1 | g1 <- gs]

true :: Conj
true = Conj S.empty

not_ :: Conj -> Conj
not_ = Conj . S.singleton . Not

(&) :: Conj -> Conj -> Conj
Conj as & Conj bs = Conj (S.union as bs)

intersect :: Conj -> Conj -> Conj
intersect (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.intersection as bs)

diff :: Conj -> Conj -> Conj
diff (Conj as) (Conj bs) = Conj (S.difference as bs)

splits :: Conj -> [(Conj, Conj)]
splits =
  S.foldOccur
    (\a o bcs ->
       [ (Conj (S.insertMany a o1 bs), Conj (S.insertMany a (o - o1) cs))
       | (Conj bs, Conj cs) <- bcs
       , o1 <- [0 .. o]
       ])
    [(true, true)] .
  parts

moves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
moves ev a =
  (do (b, c) <- splits a
      andMoves ev b c) ++
  (do (p, _) <- S.toOccurList (parts a)
      partMoves ev p (Conj (S.delete p (parts a))))

andMoves :: Bool -> Conj -> Conj -> [(Conj, String)]
andMoves ev a b = [(a, "insertion") | not ev]

partMoves :: Bool -> Part -> Conj -> [(Conj, String)]
partMoves ev (Not a) b =
  [(a1 & b, why) | (a1, why) <- notMoves ev a] ++
  [ (not_ (diff a d) & b, "iteration")
  | (d, _) <- splits (intersect a b)
  , d /= true
  ]
partMoves _ (Var _) _ = []

notMoves :: Bool -> Conj -> [(Conj, String)]
notMoves ev a =
  (case S.toList (parts a) of
     [Not b] -> [(b, "double cut")]
     _ -> []) ++
  [(not_ a1, why) | (a1, why) <- moves (not ev) a]

partSat :: Part -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
partSat (Var var) b m =
  case M.lookup var m of
    Nothing -> [M.insert var b m]
    Just b1 -> [m | b1 == b]
partSat (Not c) b m = conjSat c (not b) m

conjSat :: Conj -> Bool -> M.Map Var Bool -> [M.Map Var Bool]
conjSat c False m = do
  (p, _) <- S.toOccurList (parts c)
  partSat p False m
conjSat c True m = S.foldOccur (\p _ -> (partSat p True =<<)) [m] (parts c)

readConj :: ReadP Conj
readConj = Conj . S.fromList <$> many readPart

readPart :: ReadP Part
readPart =
  Var <$> satisfy isAlphaNum <|> Not <$> (char '(' *> readConj <* char ')')

parse :: String -> Maybe Conj
parse s = listToMaybe [c | (c, "") <- readP_to_S readConj s]

partSize :: Part -> Int
partSize (Var _) = 1
partSize (Not c) = 1 + conjSize c

conjSize :: Conj -> Int
conjSize c = sum [partSize p * o | (p, o) <- S.toOccurList (parts c)]

data Pri = Pri
  { dist :: Int
  , size :: Int
  } deriving (Eq, Show)

instance Ord Pri where
  compare = compare `on` \(Pri d s) -> (s + d, d)

search ::
     Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)])
  -> M.Map Conj Int
  -> [[(Conj, String)]]
search (Q.minViewWithKey -> Nothing) _ = []
search (Q.minViewWithKey -> Just ((pri, (a, proof)), q)) m =
  [proof | a == true] ++
  uncurry search (foldr (addMove pri a proof) (q, m) (moves True a))

addMove ::
     Pri
  -> Conj
  -> [(Conj, String)]
  -> (Conj, String)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
  -> (Q.MinPQueue Pri (Conj, [(Conj, String)]), M.Map Conj Int)
addMove pri b proof (a, why) (q, m) =
  case M.lookup a m of
    Just d
      | d <= d1 -> (q, m)
    _
      | null (conjSat a False M.empty) ->
        ( Q.insert (Pri d1 (conjSize a)) (a, (b, why) : proof) q
        , M.insert a d1 m)
    _ -> (q, m)
  where
    d1 = dist pri + 1

prove :: Conj -> [[(Conj, String)]]
prove c = search (Q.singleton (Pri 0 (conjSize c)) (c, [])) (M.singleton c 0)

printProof :: [(Conj, String)] -> IO ()
printProof proof = do
  mapM_
    (\(i, (a, why)) ->
       putStrLn (show i ++ ". `" ++ show a ++ "`  [" ++ why ++ "]"))
    (zip [1 ..] proof)
  putStrLn ""
  hFlush stdout

main :: IO ()
main = do
  Just theorem <- parse <$> getLine
  mapM_ printProof (prove theorem)

22 шага

$\to$(((())(())))

$\to$(((AB())(CDE(F)()))H(G))

$\to$(((AB(A))(CDE(F)(CD(F)))(G))H(G))

$\to$(((A((B(A))))(((((C))DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)DE)DE(F)(C((D(F)))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D))E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)E(F)))(C((D(F)))))))(G))))((H(G))))

$\to$(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))((((((D)E)((E(F)))))(C((D(F)))))(G))))))((H(G))))

Несколько вещей, которые я узнал из этой головоломки:

• Уменьшите предоставленное представление. Это включает в себя реверс двойных разрезов и итераций. Например, эта аксиома сводится к (((AB(A))(((C)DE)(CD(F))(E(D))(E(F)))(G))H(G))после реверсирования двойных резов и (((AB(A))(()CDE(F)))H(G)))после реверсирования итераций.

• Ищите беспризорные атомы. Например, H используется в качестве фиктивной переменной и, следовательно, может быть вставлен в любую точку.

Практика Теорема Решения:

Решение для второй аксиомы Лукасевича: [8 шагов]

$\to$(())

$\to$(()AB(C))

$\to$((AB(C))AB(C))

$\to$((A((B(C))))A((B))(C))

$\to$((A((B(C))))A(A(B))(C))

$\to$((A((B(C))))(((A(B))((A(C))))))

Решение для аксиомы Мередит: [12 шагов]

$\to$(())

$\to$(()(A)D(E))

$\to$(((A)D(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A)D))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(C)D)(C))(E))(A)D(E(A)))

$\to$(((((A(B))(((C)((D)))))(C))(E))(((((A)D))(E(A)))))