Вызов

Давайте представим Nкортеж целых чисел от 0 до Mвключительно и назовем его F.

Всего (M + 1) ** Nвозможно Fs.

Сколько таких Fs удовлетворяет всем следующим неравенствам (индекс основан на единицах)?

• F[n] + F[n+1] <= M за 1 <= n < N
• F[N] + F[1] <= M

Написать программу или функцию , которая принимает два положительных целых чисел N и , Mи выводит ответ в любой удобной форме.

Тестовые случаи

(N,M) => Answer

(1,1) => 1
(2,1) => 3
(3,1) => 4
(4,1) => 7

(1,2) => 2
(2,2) => 6
(3,2) => 11
(4,2) => 26

(10,3) => 39175
(10,4) => 286555
(10,5) => 1508401

(25,3) => 303734663372
(25,4) => 43953707972058
(25,5) => 2794276977562073

(100,3) => 8510938110502117856062697655362747468175263710
(100,4) => 3732347514675901732382391725971022481763004479674972370
(100,5) => 60964611448369808046336702581873778457326750953325742021695001

объяснение

M (max value of element) = 1

F[1] + F[1] <= 1; F = [0]
(1,1) => 1

F[1] + F[2] <= 1; F = [0,0], [0,1], [1,0]
(2,1) => 3

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,1,0], [1,0,0]
(3,1) => 4

F = [0,0,0,0], [0,0,0,1], [0,0,1,0], [0,1,0,0], [0,1,0,1], [1,0,0,0], [1,0,1,0]
(4,1) => 7

---

M = 2

F[1] + F[1] <= 2; F = [0], [1]
(1,2) => 2

F = [0,0], [0,1], [0,2], [1,0], [1,1], [2,0]
(2,2) => 6

F = [0,0,0], [0,0,1], [0,0,2], [0,1,0], [0,1,1], [0,2,0], [1,0,0], [1,0,1],
[1,1,0], [1,1,1], [2,0,0]
(3,2) => 11

(4,2) => 26 (left as exercise for you)

правила

• Это сложная задача с ограниченными возможностями. Временная сложность вашего кода должна быть полиномиальной MиN (например, вы не можете сгенерировать все (M + 1) ** Nкортежи и затем проверить условие). Пожалуйста, объясните ваш подход в вашем представлении.
• Применяются стандартные правила игры в гольф . Самый короткий ответ в байтах побеждает.

Питон с NumPy , 59 байт

lambda M,N:trace(mat(tri(M+1)[::-1])**N)
from numpy import*

Попробуйте онлайн!

Использует матричное умножение для подсчета путей. Если точность с плавающей точкой является проблемой, то matможет быть указан mat(...,int).

Pyth , 27 байт

.N?Ys:RTtYh-QNgQ+NTs:Rdtszh

демонстрация

Ожидается ввод в формате:

M
N

Это классическое динамическое программирование, над левым концом заданных значений, правым концом и текущим размером разрыва.

Как это работает, в псевдокоде / Python:

.N          | define memoized fill(left, right, gap):
?           | if cap > 0 then
s:RTtY      | sum(fill(i, right, gap - 1)
h-QN        |     for i in range(M - left + 1))
gQ+NT       | else M >= left + right
            | output:
s:Rdtsz     | sum(fill(i, i, N - 1)
h           |     for i in range(M + 1))

Qиспользуется для M, zиспользуется для N, :есть fill, Nесть left, Tесть right, Yесть gap.

MATL , 13 12 байт

Q:&>~PiY^Xds

Попробуйте онлайн! Это прямой перевод ответа xnor на Python и мой первый ответ на MATL, поэтому он, скорее всего, не оптимален. Например, есть более короткий способ получить верхнюю левую треугольную матрицу, чем t&lYRP. Редактировать: И оказывается, что есть, а именно :&>~P. Спасибо Луису Мендо за -1 байт!

               M is the first input and N the second
Q:             increment M and generate range from 1 to M+1
  &>           compare vector element wise with itself with greater-than function
               results in a upper-right triangular matrix
    ~          inverse to get lower-left triangular matrix
     P         flip rows to get upper-left triangular matrix
      i        input N
       Y^      take the matrix to the power of N
         Xds   compute the sum of the main diagonal

Stax , 17 байт

°(√&╒íƽ╨⌂'├╖▼1_Z

Запустите и отладьте его

Распакованный, размазанный и прокомментированный, это выглядит так.

^1](    [1, 0, ... 0] with M zeroes
:)      get all rotations of the array
{       begin block
  {:+rm map each array to reverse(prefixSums(arr))
},v*    execute preceding block N-1 times
F       for each array, execute the rest of the program
  iT    remove the last i elements from the array, where i is the iteration index
  F+    add the remaining elements to the running total
        implicitly print output

Запустите этот

R , 72 байта

function(M,N)sum(diag(Reduce(`%*%`,rep(list(outer(0:M,0:M,"+")<=M),N))))

Попробуйте онлайн!

Подходы порта кснора.

Сбой для более крупных тестовых случаев, поскольку R имеет только 32-битную целочисленную поддержку (они приводятся при doubleдостижении максимального значения int), поэтому gmpпотребуется использование или другой арифметической библиотеки произвольной точности.

Как ни странно, в R отсутствует матричный оператор степени, как ^всегда применяется поэлементно.