Найдите максимально выгодную последовательность обменов по таблице обменных курсов.

В качестве примера рассмотрим валюты A riary (ваша домашняя валюта), B aht, C edi и D enar, где курс от одного к другому (после взимания любой транзакции) задается записью (строка, столбец) в таблица обменного курса ниже:

                       TO
       A          B          C          D

   A   0.9999     1.719828   4.509549   0.709929

F  B   0.579942   0.9999     2.619738   0.409959
R
O  C   0.219978   0.379962   0.9999     0.149985
M
   D   1.39986    2.429757   6.409359   0.9999

Очевидно, что обменять А на А не очень хорошая идея, так как этот стол с радостью будет брать с вас плату за то, что вы ничего не делаете

Менее очевидно, но с этой таблицей обмен А на любую другую валюту с последующим обменом обратно приводит к убыткам:

via B: 1.719828 × 0.579942 = 0.997400489976
via C: 4.509549 × 0.219978 = 0.992001569922
via D: 0.709929 × 1.39986  = 0.99380120994

Однако обмен A на D, затем D на B, затем B обратно на A приносит прибыль (учитывая достаточный капитал, чтобы не поддаться округлению):

0.709929 × 2.429757 × 0.579942 = 1.0003738278192194

Можно многократно принимать этот «бесплатный обед», пока такая возможность существует.

Но здесь существует еще более заманчивая цепочка, а именно от A до D, затем от D до C, затем от C до B и, наконец, от B до A :

0.709929 × 6.409359 × 0.379962 × 0.579942 = 1.0026612752037345

Детали вызова

Для данной таблицы обменных курсов в любом приемлемом формате, которая фиксирует значение домашней валюты (например, 1- ^я строка и 1- ^й столбец всегда являются домашней валютой)
(или с учетом такой таблицы и индекса домашней валюты)
найдите * максимальная арбитражная последовательность обменов, начинающихся и заканчивающихся домашней валютой в качестве индексов в списке валют без повторения использования какой-либо биржи (т. е. биржа Y-> X может следовать за X-> Y, но X-> Y может не следуйте X-> Y).

Если такой выгодной возможности не существует, выведите пустой список или какой-либо другой результат, который нельзя спутать с идентифицированной возможностью.
- например, для приведенного выше примера ( A-> D, D-> C, C-> B, B-> A ):

• используя 0-индексирование можно вернуть [[0,3],[3,2],[2,1],[1,0]]или[0,3,2,1,0]
• с помощью 1-индексации можно вернуть [[1,4],[4,3],[3,2],[2,1]]или[1,4,3,2,1]

Другие форматы хороши, пока нет никакой двусмысленности.
- Одна вещь, на которую следует обратить внимание, - это то, что наилучшей возможностью является единственная транзакция из дома -> дома (глупый стол). Если вы решили исключить индекс внутренней валюты с обоих концов описанного выше плоского варианта (т. Е. [3,2,1]Или [4,3,2]) и пустой список «нет возможности», убедитесь, что home-> home также не является пустым списком.

* Если существует несколько одинаково прибыльных действительных возможностей, верните любой из них, некоторые или все из них.

^{Алгоритм Беллмана-Форда - один из подходов к этому, но, вероятно, не самый подходящий для гольфа.}

Тестовые случаи

Показанные входы находятся в расположении, используемом в примере, и показанные результаты используют 0-индексирование для перечисления индексов к валюте (когда существует возможность, домашняя валюта находится только в конце; ни одна возможность не является пустым списком).

[[0.999900, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 0.999900, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 0.999900, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 0.999900]]  ->  [3, 2, 1, 0]

[[0.9999, 1.5645, 0.9048, 1.0929],
 [0.6382, 0.9999, 0.5790, 0.6998],
 [1.1051, 1.7269, 0.9999, 1.2087],
 [0.9131, 1.4288, 0.8262, 0.9999]]  ->  [1, 2, 0]

[[0.9999, 1.4288, 0.8262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5790, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 0.9999, 1.1051],
 [1.0929, 1.5645, 0.9048, 0.9999]]  ->  [1, 2, 3, 1, 0]

[[1.002662, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 0.999900, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 0.999900, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 0.999900]]  ->  [3, 2, 1, 0, 0]

[[1.002662, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 1.002604, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 1.003000, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 1.002244]]  ->  [3, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 0]

[[0.9999, 1.4288, 0.8262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5790, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 1.0001, 1.1051],
 [1.0929, 1.4974, 0.9048, 0.9999]]  ->  [1, 2, 2, 0]

[[0.9999, 1.3262, 0.7262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5490, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 0.9999, 1.2051],
 [1.0929, 1.5645, 0.9048, 0.9999]]  ->  [3, 2, 3, 1, 0]

[[0.9999, 1.5645, 0.9048, 0.5790],
 [0.6382, 0.9999, 0.5790, 0.3585],
 [1.1051, 1.7269, 0.9999, 0.6391],
 [1.7271, 2.6992, 1.5645, 0.9999]]  ->  [1, 2, 0]  and/or  [3, 2, 0]

[[0.9999, 1.2645, 0.7048, 0.3790],
 [0.4382, 0.9999, 0.3790, 0.1585],
 [1.0001, 1.5269, 1.0001, 0.4391],
 [1.5271, 2.4992, 1.3645, 0.9999]]  ->  []

[[0.9999, 1.2645, 0.7048, 0.3790],
 [0.4382, 0.9999, 0.3790, 0.1585],
 [0.9999, 1.5269, 1.4190, 0.4391],
 [1.5271, 2.4992, 1.3645, 0.9999]]  ->  [2, 2, 0]

Это код-гольф, поэтому выигрывает самое короткое решение в байтах, но соревнование должно быть сделано и внутриязыковым, так что не позволяйте языкам-кодекам отталкивать вас в своем любимом!

JavaScript (ES6), 122 113 103 байт

Принимает ввод как транспонированную матрицу относительно формата, описанного в задаче. Возвращает строку, описывающую обмены в (from,to)формате.

a=>(g=(s,x=b=0,h='')=>a.map((r,y)=>~h.search(k=`(${x},${y})`)||g(s*r[x],y,h+k),x|s<b||(b=s,p=h)))(1)&&p

Первый тестовый пример: попробуйте онлайн!

Больше тестов: попробуйте онлайн!

комментарии

a => (                  // given the exchange rate matrix a[][]
  g = (                 // g = recursive function taking:
    s,                  //   s = current amount of money
    x = b = 0,          //   x = ID of current currency, b = best result so far
    h = ''              //   h = exchange history, as a string
  ) =>                  //  
  a.map((r, y) =>       // for each row at position y in a[]:
    ~h.search(          //   if we can't find in h ...
      k = `(${x},${y})` //     ... the exchange key k from currency x to currency y
    ) ||                //   then:
    g(                  //   do a recursive call to g() with:
      s * r[x],         //     s = new amount obtained by applying the exchange rate
      y,                //     x = y
      h + k             //     h = h + k
    ),                  //   end of recursive call
    x | s < b ||        //   if x is our home currency and s is greater than or equal to b
    (b = s, p = h)      //   then set b to s and set p to h
  )                     // end of map()
)(1)                    // initial call to g() with s = 1
&& p                    // return p

Python 2 , 143 125 124 байта

lambda M:g(M)[1]
g=lambda M,s=[],p=1,x=0:max([(p,s)]*-~-x+[g(M,s+[(x,y)],p*M[x][y],y)for y in range(len(M))if(x,y)not in s])

Попробуйте онлайн!

Использует индексирование на основе 0 (0 - домашняя валюта); возвращает список кортежей бирж с максимальной выплатой.

Подход грубой силы: с помощью рекурсии, мы в конечном итоге посещения каждый некраевого-повторяющий путь , начиная с 0(для nтого количество валют, это дает максимальную глубину в n^2). Для подмножества этих путей, также заканчивающихся на «0», мы максимизируем выигрыш.

Haskell, 175 байт

e?l|e`elem`l=0|2>1=1
w[]=[]
w l=[maximum l];0!q=[q]
n!c@(v,i,(h,l))=do{j<-[0..3];c:((n-1)!(v*l!!i!!j*(i,j)?h,j,((i,j):h,l)))}
z l=w$filter(\(v,e,_)->v>1&&e==0)$12!(1,0,([],l))

Попробуй здесь