Представьте себе перечисление элементов ромба, которые растут [1],[1,3,1],[1,3,5,3,1],…(только нечетные числа, которые хорошо выровнены). Это будет выглядеть следующим образом, обратите внимание, что вы всегда начинаете перечисление с 1:

                   01
       1        02 03 04
 1   2 3 4   05 06 07 08 09          …
       5        10 11 12
                   13
(1) (1,3,1)    (1,3,5,3,1)    (1,3,5,7,5,3,1)   …

Теперь, если вы начнете суммировать столбцы ( [1],[2],[1,3,5],[4],[5],[2,6,10],…), вы получите последовательность ромбов . Это первые 100 элементов указанной последовательности:

1,2,9,4,5,18,35,24,9,10,33,60,91,70,45,16,17,54,95,140,189,154,115,72,25,26,81,140,203,270,341,288,231,170,105,36,37,114,195,280,369,462,559,484,405,322,235,144,49,50,153,260,371,486,605,728,855,754,649,540,427,310,189,64,65,198,335,476,621,770,923,1080,1241,1110,975,836,693,546,395,240,81,82,249,420,595,774,957,1144,1335,1530,1729,1564,1395,1222,1045,864,679,490,297,100

IO

Вы можете выбрать один из этих трех методов ввода / вывода (вам не нужно обрабатывать неправильные вводы):

• Учитывая целое число n, выведите n- й элемент в этой последовательности (0- или 1-индексированный, на ваш выбор)
• Учитывая целое число n, выведите первые n элементов этой последовательности
• Распечатать / вернуть последовательность до бесконечности

Testcases

Пожалуйста, обратитесь к первым 100 терминам выше, вот несколько больших примеров (с 1 индексированием):

101 -> 101
443 -> 1329
1000 -> 49000    
1984 -> 164672
2017 -> 34289
2018 -> 30270
3000 -> 153000

Снеговик , 72 байта

((}1vn2nD#`nPnCdU!*2nM1`nR:#nSNaB#`nS2nMNdE;aM|#NdE2nP+#`nSNdE`|aA#nM*))

Это подпрограмма, которая принимает вход с 1 индексом и возвращает соответствующий вывод через permavar +.

Попробуйте онлайн!

((        // begin subroutine
 }        // we'll only need 3 variables - b, e, g
 1vn2nD   // b = 0.5
 #`       // retrieve input and swap, now b = input and e = 0.5
 nP       // power, resulting in b=sqrt(input)
 nC       // ceiling - this gives the index i of the rhombus we want
 dU!*     // keep a copy of i in the permavar ! for later use
 2nM1`nR  // generate the range [1, 2i)
 :        // map the following block over the range...
  #nS     // subtract i, resulting in e.g. [-3 -2 -1 0 1 2 3] for i=4
  NaB     // absolute value - [3 2 1 0 1 2 3]
  #`nS    // subtract from i, giving [1 2 3 4 3 2 1]
  2nMNdE  // double and decrement, [1 3 5 7 5 3 1]
 ;aM      // map
 |        // shove the rhombus columns into g
 #NdE2nP  // b = (i-2)^2
 +#`      // move b into e and replace it with the original input
 nSNdE    // subtract the two and decrement, giving input-(i-2)^2-1
 `|aA     // this is the index into the rhombus columns that we want
 #nM*     // multiply by the original input and return
))

При этом используется в основном тот же алгоритм, что и в ответе г-на Ксодера, единственное отличие состоит в том, что здесь мы генерируем только те столбцы ромба, которые нам нужны, то есть ceil (sqrt (n)) th. Чтобы проиллюстрировать, почему это работает, вот входные данные, которые соответствуют каждому ромбу:

rhombus #   inputs
1           1
2           2 3 4
3           5 6 7 8 9
4           10 11 12 13 14 15 16
...

Обратите внимание, что левый столбец точно соответствует потолку квадратного корня каждого элемента в правом столбце. Чтобы получить отсчитываемый от 1 индекс отсюда, мы просто вычитаем квадрат индекса предыдущего ромба.

Желе , 10 байт

Ḥ€€’ŒBFị@×

Попробуйте онлайн!

Полная программа / монадическая ссылка, возвращающая N- й термин (1-индексированный).

Я заметил, что каждая сумма - это индекс этого столбца в общем списке столбцов (сам вход), умноженный на индекс этого столбца в соответствующем ромбе, поэтому на самом деле не нужно генерировать строки.

Как?

Ḥ € € 'ŒBFị @ × ~ Полная программа. Я позвоню на вход N.

  € ~ Для каждого целого числа X в диапазоне [1, N].
Double € ~ Удвойте каждое целое число в диапазоне [1, X].
   '~ Decrement (вычесть 1).
    ŒB ~ Bounce (поэлементно). Палиндромизировать каждого.
      F ~ Flatten.
       ị @ ~ Получить элемент по индексу N в нашем списке.
         × ~ Умножить на N.

JavaScript (ES7), 42 41 байт

Сохранено 1 байт благодаря @ovs

0 индексированные. Выражение закрытой формы, полученное из A004737 .

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

Контрольные примеры

let f =

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

console.log(f(101-1))  // 101
console.log(f(443-1))  // 1329
console.log(f(1000-1)) // 49000    
console.log(f(1984-1)) // 164672
console.log(f(2017-1)) // 34289
console.log(f(2018-1)) // 30270
console.log(f(3000-1)) // 153000

Befunge, 62 60 байт

&:1>:00p:*`|
00:-\*:g00:<>2-\-0v!`\g
*.@v+1<g00:<^*2g00_2*1+

Попробуйте онлайн!

объяснение

Мы начнем с чтения одноэлементного номера элемента n из стандартного ввода и сохранения дубликата.
Затем мы определяем, в каком ромбе мы находимся, подсчитывая целое число r до r*r >= n.
Смещение столбца от правой стороны ромба, с , есть r*r - n.
Чтобы получить это смещение, отраженное вокруг центральной оси, мы проверяем, если c >= r.
И если это так, то отраженный с становится r*2 - 2 - c.
Как только мы получим отраженное c , сумма столбца будет просто (c*2 + 1) * n.

APL (Dyalog) , 18 байт

{⍵×2×⌊/|⍵-.5+×⍨⍳⍵}

Попробуйте онлайн!

Желе , 8 байт

_.ạ²€ṂḤ×

Попробуйте онлайн!

Как это работает

_.ạ²€ṂḤ×  Main link. Argument: n

_.        Subtract 0.5; yield (n - 0.5).
   ²€     Square each; yield [1², 2², ..., n²].
  ạ       Take the absolute differences of (n - 0.5) and each of the squares.
     Ṃ    Take the minimum.
      Ḥ   Unhalve; double the minimum.
       ×  Multiply the result by n.