Подпоследовательность - это любая последовательность, которую вы можете получить от другой, удалив любое количество символов. Отличительные непустые подпоследовательности 100являются 0, 1, 00, 10, 100. Отличительные непустые подпоследовательностями 1010являются 0, 1, 00, 01, 10, 11, 010, 100, 101, 110, 1010.

Напишите программу или функцию с заданным положительным целым числом n, которая возвращает число различных непустых подпоследовательностей двоичного расширения n .

Пример: так как 4находится 100в двоичном, и мы видели, что у него было пять различных непустых подпоследовательностей выше, поэтому f(4) = 5. Начиная с n = 1 , последовательность начинается:

1, 3, 2, 5, 6, 5, 3, 7, 10, 11, 9, 8, 9, 7, 4, 9, 14, 17, 15, 16, 19, 17, 12

Однако ваша программа должна работать при любом n <2 ⁵⁰ в секунду на любой современной машине. Несколько больших примеров:

f(1099511627775) = 40
f(1099511627776) = 81
f(911188917558917) = 728765543
f(109260951837875) = 447464738
f(43765644099) = 5941674

Python 3 , 95 байт, 83 байта

[-12 байт благодаря Mr.XCoder :)]

def f(x):
 v=[2,1];c=1
 for i in bin(x)[3:]:k=int(i);c+=v[k];v[1-k]+=v[k]
 return c

Попробуйте онлайн!

Примечание по алгоритму. Алгоритм вычисляет приращение в уникальных подпоследовательностях, заданных битом в данной позиции t. Приращение для первого бита всегда равно 1. Затем алгоритм выполняет последовательность битов s (t) и добавляет приращение v [s (t)]. На каждом шаге приращение для дополнения s (t), v [1 - s (t)] обновляется до v [1] + v [0]. Финальное число является суммой всех приращений.

Он должен работать в O (log2 (n)), где n - номер ввода.

JavaScript (ES6), 53 51 байт

f=(n,r=~(a=[]))=>n<1?~r:f(n/2,r*2-~~a[n&=1],a[n]=r)

Контрольные примеры

f=(n,r=~(a=[]))=>n<1?~r:f(n/2,r*2-~~a[n&=1],a[n]=r)

console.log(f(1099511627775))   // 40
console.log(f(1099511627776))   // 81
console.log(f(911188917558917)) // 728765543
console.log(f(109260951837875)) // 447464738
console.log(f(43765644099))     // 5941674

Отформатировано и прокомментировано

f = (                      // f is a recursive function taking:
  n,                       //   n = integer
  r = ~(                   //   r = last result, initially set to -1
    a = []                 //   and using a[] = last results for 0 and 1,
  )                        //   implicitly initialized to [0, 0]
) =>                       //
  n < 1 ?                  // if n is less than 1:
    ~r                     //   we're done: return -(r + 1)
  :                        // else:
    f(                     //   do a recursive call with:
      n / 2,               //     n / 2
      r * 2 - ~~a[n &= 1], //     updated result = r * 2 - last result for this binary digit
      a[n] = r             //     update last result for this binary digit
    )                      //   end of recursive call

Нерекурсивная версия, 63 байта

Сохранено 3 байта благодаря @ThePirateBay

s=>[...s.toString(2)].map(l=c=>l[p=r,r=r*2-~~l[c],c]=p,r=1)|r-1

Контрольные примеры

let f =

s=>[...s.toString(2)].map(l=c=>l[p=r,r=r*2-~~l[c],c]=p,r=1)|r-1

console.log(f(1099511627775))   // 40
console.log(f(1099511627776))   // 81
console.log(f(911188917558917)) // 728765543
console.log(f(109260951837875)) // 447464738
console.log(f(43765644099))     // 5941674

Python 2 , 56 байт

f=lambda x,a=1,b=1:x and f(x/2,a+~x%2*b,x%2*a+b)or a+b-2

Попробуйте онлайн!

Принимая метод от NofP .

59 байтов итеративно:

x=input()
v=[1,1]
while x:v[x%2]=sum(v);x/=2
print sum(v)-2

Попробуйте онлайн!

Желе , 10 байт

B3;BSṛ¦/’S

При этом используется улучшение @ XNOR в на @ алгоритме NofP в .

Попробуйте онлайн!

Фон

Пусть (a ₁ , ..., a _n ) - конечная двоичная последовательность. Для каждого неотрицательного целого числа k ≤ n определите o _k как число уникальных подпоследовательностей (a ₁ , ..., a _k ) , которые либо пусты, либо заканчиваются на 1 , z _k как число уникальных подпоследовательностей, которые либо пусто, либо заканчивается 0 .

Ясно, что o ₀ = z ₀ = 1 , поскольку единственной подпоследовательностью пустой последовательности является пустая последовательность.

Для каждого индекса k общее число подпоследовательностей (a ₁ , ..., a _k ) равно o _k + z _k - 1 (вычитание 1 учитывает тот факт, что и o _k, и z _k считают пустую последовательность). Таким образом, общее число непустых подпоследовательностей составляет o _k + z _k - 2 . Задача просит вычислить o _n + z _n - 2 .

Всякий раз, когда k> 0 , мы можем вычислить o _k и z _k рекурсивно. Есть два случая:

• а _к = 1

  z _k = z _k-1 , так как (a ₁ , ..., a _k-1 ) и (a ₁ , ..., a _k-1 , 1) имеют те же подпоследовательности, которые заканчиваются на 0 .

  Для каждой непустой подпоследовательности o _k - 1 (a ₁ , ..., a _k ) , оканчивающейся на 1 , мы можем удалить завершающий 1, чтобы получить одну из o _k-1 + z _k-1 - 1 подпоследовательность (a ₁ , ..., a _k-1 ) . И наоборот, добавление 1 к каждой из последних последовательностей o _k-1 + z _k-1 - 1 приводит к одному из предыдущих последовательностей o _k - 1 . Таким образом, o _k - 1 = o_k-1 + z _k-1 - 1 и o _k = o _k-1 + z _k-1 .

• а _к = 0

  Как и в предыдущем случае, мы получаем рекурсивные формулы o _k = o _k-1 и z _k = z _k-1 + o _k-1 .

Как это устроено

B3;BSṛ¦/’S  Main link. Argument: n (positive integer)

B           Binary; convert n to base 2.
 3;         Prepend a 3.
   B        Binary; convert all integers in the resulting array to base 2, mapping
            0 to [0], 1 to [1], and the prepended 3 to [1, 1].
       /    Reduce the resulting array by the quicklink to the left, which will be 
            called with left argument [x, y] (integer pair) and right argument [j] 
            (either [0] or [1]).
      ¦     Sparse application.
    S           Compute the sum (x + y) and...
     ṛ          for each index in the right argument (i.e., for j)...
            replace the element of [x, y] at that index with (x + y).
       ’    Decrement both integers in the resulting pair.
        S   Take the sum.

05AB1E , 12 байтов

0¸sbvDO>yǝ}O

Попробуйте онлайн! Объяснение: Как указано в других ответах, число подпоследовательностей для двоичной строки a..y0, заканчивающейся цифрой 1, совпадает с числом для двоичной строки a..y, а число, заканчивающееся символом a, 0является общим числом подпоследовательностей для двоичной строки. строка a..y(каждый из которых получает 0суффикс) плюс один для 0себя. В отличие от других ответов я не включаю пустую подпоследовательность, поскольку это сохраняет байт, создающий начальное состояние.

0¸s             Push [0] under the input
   b            Convert the input to binary
    v     }     Loop over the digits
     D          Duplicate the array
      O         Take the sum
       >        Increment
        yǝ      Replace the index corresponding to the binary digit
           O    Take the sum of the final array

Java 8, 97 байт

n->f(n,1,1)long f(long n,long a,long b){return n>0?f(n/2,a+Math.floorMod(~n,2)*b,n%2*a+b):a+b-2;}

Порт ответа @xnor на Python 2 , что, в свою очередь, является улучшением ответа @NofP на Python 3 .

Попробуй это здесь.

Может быть, это хорошо, что присутствовал тэг ограниченного времени , потому что у меня изначально было следующее, чтобы перехватить все подпоследовательности:

import java.util.*;n->p(n.toString(n,2)).size()-1;Set p(String s){Set r=new HashSet();r.add("");if(s.isEmpty())return r;Set q=p(s.substring(1));r.addAll(q);for(Object o:q)r.add(""+s.charAt(0)+o);return r;}

Попробуй это здесь.

Что также сработало, но заняло слишком много времени для последних трех тестовых случаев. Не говоря уже о том, что он намного длиннее ( 208 204 байта ).

6502 машинный код (C64), 321 байт

00 C0 20 FD AE A2 00 9D 4F C1 E8 20 73 00 90 F7 9D 4F C1 A0 FF C8 B9 4F C1 D0
FA A2 15 CA 88 30 0A B9 4F C1 29 0F 9D 4F C1 10 F2 A9 00 9D 4F C1 CA 10 F8 A9
00 A0 07 99 64 C1 88 10 FA A0 40 A2 6C 18 BD E4 C0 90 02 09 10 4A 9D E4 C0 E8
10 F2 A2 07 7E 64 C1 CA 10 FA 88 F0 13 A2 13 BD 50 C1 C9 08 30 05 E9 03 9D 50
C1 CA 10 F1 30 D1 A2 0F A9 00 9D 3F C1 CA D0 FA A9 01 8D 3F C1 8D 47 C1 A2 08
CA BD 64 C1 F0 FA A0 09 1E 64 C1 88 90 FA B0 0A CA 30 28 A0 08 1E 64 C1 90 04
A9 47 B0 02 A9 4F 8D AF C0 86 FE A2 F8 18 BD 47 C0 7D 4F C0 9D 47 C0 E8 D0 F4
A6 FE 88 D0 DC F0 D5 A2 F8 BD 47 C0 7D 4F C0 9D 6C C0 E8 D0 F4 AD 64 C1 E9 01
8D 64 C1 A2 F9 BD 6C C0 E9 00 9D 6C C0 E8 D0 F5 A0 15 A9 00 99 4E C1 88 D0 FA
A0 40 A2 13 BD 50 C1 C9 05 30 05 69 02 9D 50 C1 CA 10 F1 0E 64 C1 A2 F9 3E 6C
C0 E8 D0 FA A2 13 BD 50 C1 2A C9 10 29 0F 9D 50 C1 CA 10 F2 88 D0 D1 E0 14 F0
06 E8 BD 4F C1 F0 F6 09 30 99 4F C1 C8 E8 E0 15 F0 05 BD 4F C1 90 F0 A9 00 99
4F C1 A9 4F A0 C1 4C 1E AB

Онлайн демо

Демо онлайн с проверкой ошибок (346 байт)

Использование: sys49152,[n] напримерsys49152,911188917558917 .

Ограничение по времени и контрольные примеры требуют решений для расчета в 64-битных числах, поэтому время доказать, что C64 квалифицируется как « современная машина» »;)

Конечно, для этого нужно немного кода, ОС не предоставляет ничего для целых чисел, более 16-битных. Хромая часть здесь: это еще одна реализация (немного измененная) алгоритма NofP, соответственно. улучшенный вариант xnor . Спасибо за идею;)

объяснение

Вот закомментированный список разборки соответствующей части, выполняющей алгоритм:

.C:c06c  A2 0F       LDX #$0F           ; 15 bytes to clear
.C:c06e  A9 00       LDA #$00
.C:c070   .clearloop:
.C:c070  9D 3F C1    STA .num_a,X
.C:c073  CA          DEX
.C:c074  D0 FA       BNE .clearloop
.C:c076  A9 01       LDA #$01           ; initialize num_a and num_b
.C:c078  8D 3F C1    STA .num_a         ; to 1
.C:c07b  8D 47 C1    STA .num_b
.C:c07e  A2 08       LDX #$08           ; 8 bytes of input to check,
.C:c080   .findmsb:                     ; start at most significant
.C:c080  CA          DEX
.C:c081  BD 64 C1    LDA .nc_num,X
.C:c084  F0 FA       BEQ .findmsb       ; repeat until non-0 byte found
.C:c086  A0 09       LDY #$09           ; 8 bits to check (+1 for pre dec)
.C:c088   .findbit:
.C:c088  1E 64 C1    ASL .nc_num,X      ; shift left, highest bit to carry
.C:c08b  88          DEY
.C:c08c  90 FA       BCC .findbit       ; bit was zero -> repeat
.C:c08e  B0 0A       BCS .loopentry     ; jump into calculation loop
.C:c090   .mainloop:
.C:c090  CA          DEX                ; next byte
.C:c091  30 28       BMI .done          ; index -1? -> done calculating
.C:c093  A0 08       LDY #$08           ; 8 bits to check
.C:c095   .bitloop:
.C:c095  1E 64 C1    ASL .nc_num,X      ; shift left, highest bit to carry
.C:c098  90 04       BCC .tgt_b         ; if 0, store addition result in num_b
.C:c09a   .loopentry:
.C:c09a  A9 47       LDA #$47
.C:c09c  B0 02       BCS .tgt_a         ; ... else store in num_a ...
.C:c09e   .tgt_b:
.C:c09e  A9 4F       LDA #$4F
.C:c0a0   .tgt_a:
.C:c0a0  8D AF C0    STA $C0AF          ; ... using self-modification.
.C:c0a3  86 FE       STX $FE            ; save byte index
.C:c0a5  A2 F8       LDX #$F8           ; index for adding
.C:c0a7  18          CLC
.C:c0a8   .addloop:
.C:c0a8  BD 47 C0    LDA $C047,X        ; load byte from num_a
.C:c0ab  7D 4F C0    ADC $C04F,X        ; add byte from num_b
.C:c0ae  9D 47 C0    STA $C047,X        ; store to num_a or num_b
.C:c0b1  E8          INX                ; next index
.C:c0b2  D0 F4       BNE .addloop       ; done if index overflown
.C:c0b4  A6 FE       LDX $FE            ; restore byte index
.C:c0b6  88          DEY                ; decrement bit index
.C:c0b7  D0 DC       BNE .bitloop       ; bits left in current byte -> repeat
.C:c0b9  F0 D5       BEQ .mainloop      ; else repeat main loop
.C:c0bb   .done:
.C:c0bb  A2 F8       LDX #$F8           ; index for adding
.C:c0bd   .addloop2:
.C:c0bd  BD 47 C0    LDA $C047,X        ; load byte from num_a
.C:c0c0  7D 4F C0    ADC $C04F,X        ; add byte from num_b
.C:c0c3  9D 6C C0    STA $C06C,X        ; store to nc_num (result)
.C:c0c6  E8          INX                ; next index
.C:c0c7  D0 F4       BNE .addloop2      ; done if index overflown
.C:c0c9  AD 64 C1    LDA .nc_num        ; load least significant result byte
.C:c0cc  E9 01       SBC #$01           ; subtract 2 (1 + negated carry)
.C:c0ce  8D 64 C1    STA .nc_num        ; store least significant result byte
.C:c0d1  A2 F9       LDX #$F9           ; index for subtract
.C:c0d3   .subloop:
.C:c0d3  BD 6C C0    LDA $C06C,X        ; subtract 0 from all other bytes
.C:c0d6  E9 00       SBC #$00           ; for handling carry if necessary
.C:c0d8  9D 6C C0    STA $C06C,X
.C:c0db  E8          INX
.C:c0dc  D0 F5       BNE .subloop       

Остальное - ввод / вывод и преобразование между строковым и 64-битным целым числом без знака (little-endian) с использованием некоторого алгоритма двойного дублирования. Если вам интересно, вот полный источник сборки для версии с проверкой ошибок - версия «в гольф» находится в ветке «гольф».