Представьте , у вас есть две коробки B(x)и B(y), каждый из которых содержит неизвестный бит - 0 или 1, а машина , Fкоторая может , Рентгеновские их и производят третий ящик для B(x^y)( XOR ). Fтакже можно вычислить B(x*y)( и ). Фактически, это всего лишь особые случаи единственной операции, которую может выполнять машина - каждая из них - внутренний продукт , обозначенный F()ниже.

Для двух массивов одинаковой длины

[B(x[0]), B(x[1]), ..., B(x[n-1])]
[B(y[0]), B(y[1]), ..., B(y[n-1])]

внутренний продукт определяется как

B(x[0]*y[0] ^ x[1]*y[1] ^ ... ^ x[n-1]*y[n-1])

« Каждый » означает F()может обрабатывать несколько пар x[], y[]на одном дыхании. x[]И y[]от одной пары должны быть одинаковой длины; x[]-s и y[]-s из разных пар не обязательно.

Коробки представлены уникальными целочисленными идентификаторами.

Реализация внутреннего продукта каждый в JavaScript может выглядеть так

var H=[0,1];          // hidden values, indexed by boxId
function B(x) {       // seal x in a new box and return the box id
  return H.push(x)-1;
}
function F(pairs) {   // "inner product each"
  return pairs.map(function (pair) {
    var r = 0, x = pair[0], y = pair[1];
    for (var i = 0; i < x.length; i++) r ^= H[x[i]] * H[y[i]];
    return B(r);
  })
}

(Пожалуйста, переведите вышеперечисленное на свой язык.)

Если у вас есть доступ к F()реализации, соответствующей вашему языку (но нет доступа к Hили B()), а также есть два массива идентификаторов блоков, составляющих 16-битные двоичные представления двух целых чисел, aи bваша задача - создать идентификаторы блоков для 16-битного двоичного представления. из a+b(без переполнения) с минимальным количеством F()звонков.

Решение, которое вызывает F()наименьшее количество раз, побеждает. Связи будут разорваны, если подсчитать общее количество x[],y[]пар, F()с которыми был вызван - чем меньше, тем лучше. Если вы все еще связаны, размер вашего кода (без учета реализации F()и его помощников) определяет победителя в традиционном коде в гольф. Для ответа используйте заголовок, например «MyLang, 123 звонка, 456 пар, 789 байт».

Напишите функцию или полную программу. Ввод / вывод / аргументы / результат - это массивы int в любом приемлемом формате. Двоичное представление может быть с прямым или младшим порядком байтов - выберите один.

Приложение 1: Чтобы сделать задачу немного проще, вы можете предположить, что поля с идентификаторами 0 и 1 содержат значения 0 и 1. Это дает вам константы, полезные, например, для отрицания ( x^1«не»). Конечно, были способы обойти отсутствие констант, но в любом случае остальная задача достаточно сложна, поэтому давайте устраним это отвлечение.

Приложение 2: Чтобы получить награду, вы должны выполнить одно из следующих действий:

• опубликовать ваш счет (звонки, пары, байты) и ваш код до истечения срока

• опубликуйте свой счет и хэш кода sha256 до истечения срока; затем опубликовать действительный код в течение 23 часов после крайнего срока

Python 3 , 5 вызовов, 92 пары, 922 байта

Python 3 , 5 вызовов, 134 пары, 3120 байтов

Python 3 , 6 вызовов, 106 пар, 2405 байтов

[JavaScript (Node.js)], 9 вызовов, 91 пара, 1405 байтов

JavaScript (Node.js), 16 вызовов, 31 пара, 378 байтов

def add(F,a,b):r=[];p=lambda x:(x,x);q=lambda u,v,t:([u,v]+t[0],[u,v]+t[1]);s=lambda c,k,n:([e[j][n]for j in range(k,-1,-1)]+[f[n]],[c]+f[n-k:n+1]);t=lambda c,k,n:q(a[n],b[n],s(c,k,n-1));z=F([p([a[i],b[i]])for i in range(16)]+[([a[i]],[b[i]])for i in range(16)]);e=[z[0:16]];f=z[16:32];r+=[e[0][0]];c=f[0];z=F([p([a[1],b[1],c]),([e[0][1],f[1]],[c,f[1]])]+[([e[0][i]],[e[0][i-1]])for i in range(3,16)]);r+=[z[0]];c=z[1];e+=[[0]*3+z[2:15]];z=F([p([a[2],b[2],c]),t(c,0,3),s(c,1,3)]+[([e[j][i]],[e[1][i-j-1]])for j in range(2)for i in range(6+j,16)]);r+=z[0:2];c=z[2];e+=u(2,4,z[3:]);z=F([p([a[4],b[4],c])]+[t(c,i,i+5)for i in range(0,3)]+[s(c,3,7)]+[([e[j][i]],[e[3][i-j-1]])for j in range(4)for i in range(12+j,16)]);r+=z[0:4];c=z[4];e+=u(4,8,z[5:]);z=F([p([a[8],b[8],c])]+[t(c,i,i+9) for i in range(0,7)]);return r+z
def u(b,e,z):
	j=0;w=[0]*(e-b)
	for i in range(b,e):w[i-b]=[0]*(i+e)+z[j:j+16-(i+e)];j+=16-(i+e)
	return w

Попробуйте онлайн!

ПЕРВАЯ ВЕРСИЯ Хорошо, это не игра в гольф. Это просто адаптация кода @ ngn.

Единственная идея в том, что вам не нужно вычислять последний перенос, так как вы отбрасываете переполнение. Также звонки Fсгруппированы по двум. Может быть, они могут быть сгруппированы по-другому, но я сомневаюсь, что вы можете значительно сократить количество пар из-за природы основного алгоритма сложения.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Все еще не в гольф. Количество пар, конечно, можно уменьшить, и, возможно, количество звонков тоже. См. Https://gist.github.com/jferard/864f4be6e4b63979da176bff380e6c62 для «доказательства» с sympy.

РЕДАКТИРОВАТЬ 2 Переключился на Python, потому что он более читабелен для меня. Теперь у меня есть общая формула, я думаю, что могу достичь предела 5 (может быть, 4) вызовов.

РЕДАКТИРОВАТЬ 3 Вот основные кирпичи:

alpha[i] = a[i] ^ b[i]
beta[i] = a[i] * b[i]
c[0] = beta[0]
r[0] = alpha[0]

Общая формула:

c[i] = alpha[i]*c[i-1] ^ beta[i]
r[i] = a[i] ^ b[i] ^ c[i-1]

Расширенная версия:

c[0] = beta[0]
c[1] = alpha[1]*beta[0] ^ beta[1]
c[2] = alpha[2]*alpha[1]*beta[0] ^ alpha[2]*beta[1] ^ beta[2]
c[3] = alpha[3]*alpha[2]*alpha[1]*beta[0] ^ alpha[3]*alpha[2]*beta[1] ^ alpha[3]*beta[2] ^ beta[3]
...
c[i] = alpha[i]*...*alpha[1]*beta[0] ^ alpha[i]*...*alpha[2]*beta[1] ^ .... ^ alpha[i]*beta[i-1] ^ beta[i]

5 звонков кажутся мне пределом. Теперь у меня есть небольшая работа по удалению пар и игре в гольф!

РЕДАКТИРОВАТЬ 4 Я играл в гольф это.

Безголовая версия:

def add(F, a, b):
    r=[]
    # p is a convenient way to express x1^x2^...x^n
    p = lambda x:(x,x)
    # q is a convenient way to express a[i]^b[i]^carry[i-1]
    q = lambda u,v,t:([u,v]+t[0],[u,v]+t[1])

    # step1: the basic bricks
    z=F([p([a[i],b[i]]) for i in range(16)]+[([a[i]],[b[i]]) for i in range(16)])
    alpha=z[0:16];beta=z[16:32]
    r.append(alpha[0])
    c = beta[0]

    # step 2
    z=F([
        p([a[1],b[1],c]),
        ([alpha[1],beta[1]],[c,beta[1]])
        ]+[([alpha[i]],[alpha[i-1]]) for i in range(3,16)])
    r.append(z[0])
    c = z[1] # c[1]
    alpha2=[0]*3+z[2:15]
    assert len(z)==15, len(z)

    # step 3
    t0=([alpha[2],beta[2]],[c,beta[2]])
    t1=([alpha2[3],alpha[3],beta[3]],[c,beta[2],beta[3]])
    z=F([
        p([a[2],b[2],c]),
        q(a[3],b[3],t0),
        t1]+
        [([alpha[i]],[alpha2[i-1]]) for i in range(6,16)]+
        [([alpha2[i]],[alpha2[i-2]]) for i in range(7,16)])
    r.extend(z[0:2])
    c = z[2] # c[3]
    alpha3=[0]*6+z[3:13]
    alpha4=[0]*7+z[13:22]
    assert len(z)==22, len(z)

    # step 4
    t0=([alpha[4],beta[4]],[c,beta[4]])
    t1=([alpha2[5],alpha[5],beta[5]],[c,beta[4],beta[5]])
    t2=([alpha3[6],alpha2[6],alpha[6],beta[6]],[c,beta[4],beta[5],beta[6]])
    t3=([alpha4[7],alpha3[7],alpha2[7],alpha[7],beta[7]],[c,beta[4],beta[5],beta[6],beta[7]])
    z=F([
        p([a[4],b[4],c]),
        q(a[5],b[5],t0),
        q(a[6],b[6],t1),
        q(a[7],b[7],t2),
        t3]+
        [([alpha[i]],[alpha4[i-1]]) for i in range(12,16)]+
        [([alpha2[i]],[alpha4[i-2]]) for i in range(13,16)]+
        [([alpha3[i]],[alpha4[i-3]]) for i in range(14,16)]+
        [([alpha4[i]],[alpha4[i-4]]) for i in range(15,16)])
    r.extend(z[0:4])
    c = z[4] # c[7]
    alpha5 = [0]*12+z[5:9]
    alpha6 = [0]*13+z[9:12]
    alpha7 = [0]*14+z[12:14]
    alpha8 = [0]*15+z[14:15]
    assert len(z) == 15, len(z)

    # step 5
    t0=([alpha[8],beta[8]],[c,beta[8]])
    t1=([alpha2[9],alpha[9],beta[9]],[c,beta[8],beta[9]])
    t2=([alpha3[10],alpha2[10],alpha[10],beta[10]],[c,beta[8],beta[9],beta[10]])
    t3=([alpha4[11],alpha3[11],alpha2[11],alpha[11],beta[11]],[c,beta[8],beta[9],beta[10],beta[11]])
    t4=([alpha5[12],alpha4[12],alpha3[12],alpha2[12],alpha[12],beta[12]],[c,beta[8],beta[9],beta[10],beta[11],beta[12]])
    t5=([alpha6[13],alpha5[13],alpha4[13],alpha3[13],alpha2[13],alpha[13],beta[13]],[c,beta[8],beta[9],beta[10],beta[11],beta[12],beta[13]])
    t6=([alpha7[14],alpha6[14],alpha5[14],alpha4[14],alpha3[14],alpha2[14],alpha[14],beta[14]],[c,beta[8],beta[9],beta[10],beta[11],beta[12],beta[13],beta[14]])
    t7=([alpha8[15],alpha7[15],alpha6[15],alpha5[15],alpha4[15],alpha3[15],alpha2[15],alpha[15],beta[15]],[c,beta[8],beta[9],beta[10],beta[11],beta[12],beta[13],beta[14],beta[15]])

    z=F([
        p([a[8],b[8],c]),
        q(a[9],b[9],t0),
        q(a[10],b[10],t1),
        q(a[11],b[11],t2),
        q(a[12],b[12],t3),
        q(a[13],b[13],t4),
        q(a[14],b[14],t5),
        q(a[15],b[15],t6)
    ])
    r.extend(z)
    return r

Попробуйте онлайн!

Haskell, 1 вызов (измена ???), 32 пары (можно улучшить), 283 байта (то же самое)

Пожалуйста, не сердитесь на меня, я не хочу победить с этим, но я был воодушевлен в замечаниях к задаче объяснить, о чем я говорил.

Я пытался использовать монаду состояний для обработки полей добавления и подсчета вызовов и пар, и это сработало, но мне не удалось заставить мое решение работать в таких условиях. Поэтому я сделал то, что было предложено в комментариях: просто спрятать данные за конструктором данных и не заглядывать. (Чистым способом было бы использовать отдельный модуль, а не экспортировать конструктор.) Преимущество этой версии в том, что она намного проще.

Поскольку мы говорим о коробках с битами, я вкладываю Boolв них значения. Я определяю zeroкак данное поле с нулевым битом - a oneне требуется.

import Debug.Trace

data B = B { unB :: Bool }

zero :: B
zero = B False

f :: [([B],[B])] -> [B]
f pairs =  trace ("f was called with " ++ show (length pairs) ++ " pairs") $
           let (B i) &&& (B j) = i && j
           in map (\(x,y) ->  B ( foldl1 (/=) (zipWith (&&&) x y))) pairs

Мы используем функцию отладки, traceчтобы увидеть, как часто fвызывался и сколько пар. &&&смотрю в коробки по сопоставлению с образцом, неравенство /= используется на Boolзначениях xor.

bits :: Int -> [Bool]
bits n = bitsh n 16
  where bitsh _ 0 = []
        bitsh n k = odd n : bitsh (n `div` 2) (k-1)

test :: ( [B] -> [B] -> [B] ) -> Int -> Int -> Bool
test bba n m = let x = map B (bits n)
                   y = map B (bits m)
                   r = bba x y
                   res = map unB r
               in res==bits(n+m)

testФункция принимает слепой двоичный сумматор в качестве первого аргумента, а затем два числа , для которых испытывается дополнение. Возвращает Boolуказание, был ли тест успешным. Сначала создаются поля ввода, затем вызывается сумматор, результат распаковывается (с unB) и сравнивается с ожидаемым результатом.

Я реализовал два сумматора, пример решения simple, чтобы мы могли видеть, что выходные данные отладки работают правильно, и мое решение использует рекурсию значений valrec.

simple a b = let [r0] = f [([a!!0,b!!0],[a!!0,b!!0])]
                 [c]  = f [([a!!0],[b!!0])]
             in loop 1 [r0] c
             where loop 16 rs _ = rs
                   loop i  rs c = let [ri] = f [([a!!i,b!!i,c],[a!!i,b!!i,c])]
                                      [c'] = f [([a!!i,b!!i,c],[b!!i,c,a!!i])]
                                  in loop (i+1) (rs++[ri]) c'

valrec a b =
    let res = f (pairs res a b)
    in [ res!!i | i<-[0,2..30] ]
  where pairs res a b =
           let ts = zipWith3 (\x y z -> [x,y,z])
                             a b (zero : [ res!!i | i<-[1,3..29] ]) in
           [ p | t@(h:r) <- ts, p <- [ (t,t), (t,r++[h]) ] ]

Видишь, как я себя определяю res? Это также известно как завязывание узла .

Теперь мы можем видеть, как fвызывается только один раз:

*Main> test valrec 123 456
f was called with 32 pairs
True

Или замените valrec, simpleчтобы увидеть fвызов 32 раза.

Попробуйте онлайн! (вывод трассировки отображается в разделе «Отладка»)

JavaScript, 32 вызова, 32 пары, 388 байтов

Dyalog APL, 32 вызова, 32 пары, 270 байтов

Это простое примерное решение, которое может служить шаблоном.

Обратите внимание, что в число байтов должен входить только раздел, заключенный в «BEGIN / END SOLUTION».

Объяснение:

Я выбрал порядок x[0]младших битов (младший бит).

Заметьте, что однобитное сложение мод 2 может быть реализовано как F([[[x,y],[x,y]]])(то есть: x*x ^ y*y- умножение мод 2 идемпотентно) и двоичное умножение как F([[[x],[y]]]).

Мы перебираем биты от наименее значимого к наиболее значимому и на каждом этапе вычисляем бит результата и перенос.

#!/usr/bin/env node
'use strict'
let H=[0,1]
,B=x=>H.push(x)-1
,nCalls=0
,nPairs=0
,F=pairs=>{
  nCalls++;nPairs+=pairs.length
  return pairs.map(([x,y])=>{let s=0;for(let i=0;i<x.length;i++)s^=H[x[i]]*H[y[i]];return B(s)})
}

// -----BEGIN SOLUTION-----
var f=(a,b)=>{
  var r=[], c // r:result bits (as box ids), c:carry (as a box id)
  r[0]=F([[[a[0],b[0]],[a[0],b[0]]]])          // r0 = a0 ^ b0
  c=F([[[a[0]],[b[0]]]])                       // c = a0*b0
  for(var i=1;i<16;i++){
    r.push(F([[[a[i],b[i],c],[a[i],b[i],c]]])) // ri = ai ^ bi ^ c
    c=F([[[a[i],b[i],c],[b[i],c,a[i]]]])       // c = ai*bi ^ bi*c ^ c*ai
  }
  return r
}
// -----END SOLUTION-----

// tests
let bits=x=>{let r=[];for(let i=0;i<16;i++){r.push(x&1);x>>=1}return r}
,test=(a,b)=>{
  console.info(bits(a))
  console.info(bits(b))
  nCalls=nPairs=0
  let r=f(bits(a).map(B),bits(b).map(B))
  console.info(r.map(x=>H[x]))
  console.info('calls:'+nCalls+',pairs:'+nPairs)
  console.assert(bits(a+b).every((x,i)=>x===H[r[i]]))
}

test(12345,6789)
test(12,3)
test(35342,36789)

То же самое в Dyalog APL (но с использованием рандомизированных идентификаторов ящиков):

⎕io←0⋄K←(V←⍳2),2+?⍨1e6⋄B←{(V,←⍵)⊢K[≢V]}⋄S←0⋄F←{S+←1,≢⍵⋄B¨2|+/×/V[K⍳↑⍉∘↑¨⍵]}
⍝ -----BEGIN SOLUTION-----
f←{
  r←F,⊂2⍴⊂⊃¨⍺⍵        ⍝ r0 = a0 ^ b0
  c←⊃F,⊂,¨⊃¨⍺⍵        ⍝ c = a0*b0
  r,⊃{
    ri←⊃F,⊂2⍴⊂⍺⍵c     ⍝ ri = ai ^ bi ^ c
    c⊢←⊃F,⊂(⍺⍵c)(⍵c⍺) ⍝ c = ai*bi ^ bi*c ^ c*ai
    ri
  }¨/1↓¨⍺⍵
}
⍝ -----END SOLUTION-----
bits←{⌽(16⍴2)⊤⍵}
test←{S⊢←0⋄r←⊃f/B¨¨bits¨⍺⍵
      ⎕←(↑bits¨⍺⍵)⍪V[K⍳r]⋄⎕←'calls:' 'pairs:',¨S
      (bits⍺+⍵)≢V[K⍳r]:⎕←'wrong!'}
test/¨(12345 6789)(12 3)(35342 36789)