Многие языки позволяют «добавлять» строки в +. Однако это действительно конкатенация, истинное дополнение будет следовать аксиомам группы:

• Он закрыт (добавление любых двух строк всегда является строкой)

• Это ассоциативно ( (a + b) + c = a + (b + c) )

• Есть тождество ( ∃e: a + e = a )

• Каждый элемент имеет обратное ( ∀a: ∃b: a + b = e )

^{(конкатенация нарушает аксиому 4-й группы)}

Поэтому моя задача для вас - реализовать истинное сложение строк, то есть функцию, которая принимает две последовательности байтов, представляющих строки, и возвращает третью так, чтобы ваша функция удовлетворяла всем групповым аксиомам на последовательностях байтов.

Он должен работать со всей последовательностью байтов, представляющих строки, включая строки с нулевыми байтами.

Это код-гольф, поэтому ответы будут оцениваться в байтах, причем меньше байтов будет лучше.

Python 3 , 177 170 163 130 байт

lambda a,b:s(d(a)^d(b))
def s(n,x=0,s=''):
 while n:n-=1;s+=chr(n%256);n>>=8
 return s
def d(n,c=0):
 while s(c)!=n:c+=1
 return c

Попробуйте онлайн!

-14 байт благодаря нотаджану

-33 байта благодаря Leaky Nun (и переключаемому порядку байтов)

Я не имею никакого дела, пытаясь играть в гольф на Python, но я не хотел использовать Lua, так как этот метод требует больших точных целых чисел, чтобы работать с жалами разумной длины. (Примечание: алгоритм все еще очень медленный при увеличении длины строки.) Это в основном просто для предоставления ответа;)

Каждая строка является самообращенной, а пустая строка является идентификатором. Это просто выполняет xor при простой биекции между строками и неотрицательными целыми числами. sявляется вспомогательной функцией, которая вычисляет биекцию (только в одну сторону) и dявляется обратной.

Немедленная версия (148 байт, предоставлено Leaky Nun):

lambda a,b:s(d(a)^d(b))
def s(n,x=0,s=''):
 while n:n-=1;s=chr(n%256)+s;n>>=8
 return s
def d(n,c=0):
 while n:c=c*256+ord(n[0])+1;n=n[1:]
 return c

Попробуйте онлайн!

Я собираюсь угнать это и для учебника по теории групп.

Любое право обратного левая обратный: INV (а) + а = (INV (а) + а) + е = (INV (а) + а) + (INV (а) + INV (INV (а))) = inv (a) + (a + inv (a)) + inv (inv (a)) = (inv (a) + e) ​​+ inv (inv (a)) = inv (a) + inv (inv (a) ) = е

Это также означает, что a является инверсией inv (a) .

Любое правое тождество является левым тождеством: e + a = (a + inv (a)) + a = a + (inv (a) + a) = a

Идентичность уникальна, учитывая другую идентичность f : e = e + f = f

Если a + x = a, то x = e : x = e + x = (inv (a) + a) + x = inv (a) + (a + x) = inv (a) + a = e

Инверсии уникальны, если a + x = e, то: x = e + x = (inv (a) + a) + x = inv (a) + (a + x) = inv (a) + e = inv (a )

Следование доказательствам должно облегчить построение контрпримеров для предложенных решений, которые не удовлетворяют этим предложениям.

Вот более естественный алгоритм, который я реализовал (но не играл в гольф) в Lua . Может быть, это даст кому-то идею.

function string_to_list(s)
  local list_val = {}
  local pow2 = 2 ^ (math.log(#s, 2) // 1) -- // 1 to round down
  local offset = 0
  list_val.p = pow2
  while pow2 > 0 do
    list_val[pow2] = 0
    if pow2 & #s ~= 0 then
      for k = 1, pow2 do
        list_val[pow2] = 256 * list_val[pow2] + s:byte(offset + k)
      end
      list_val[pow2] = list_val[pow2] + 1
      offset = offset + pow2
    end
    pow2 = pow2 // 2
  end
  return list_val
end

function list_to_string(list_val)
  local s = ""
  local pow2 = list_val.p
  while pow2 > 0 do
    if list_val[pow2] then
      local x = list_val[pow2] % (256 ^ pow2 + 1)
      if x ~= 0 then
        x = x - 1
        local part = ""
        for k = 1, pow2 do
          part = string.char(x % 256) .. part
          x = x // 256
        end
        s = s .. part
      end
    end
    pow2 = pow2 // 2
  end
  return s
end

function list_add(list_val1, list_val2)
  local result = {}
  local pow2 = math.max(list_val1.p, list_val2.p)
  result.p = pow2
  while pow2 > 0 do
    result[pow2] = (list_val1[pow2] or 0) + (list_val2[pow2] or 0)
    pow2 = pow2 // 2
  end
  return result
end

function string_add(s1, s2)
  return list_to_string(list_add(string_to_list(s1), string_to_list(s2)))
end

Идея в основном состоит в том, чтобы разделить строку на основе степеней двух компонентов ее длины, а затем обработать их как поля с отсутствующим компонентом, представляющим ноль, и каждый не пропущенный компонент, представляющий числа от 1 до 256 ^ n, итого 256 ^ n + 1 значений. Затем эти представления могут быть добавлены компонентно по модулю 256 ^ n + 1.

Примечание. Эта реализация Lua будет иметь проблемы с переполнением чисел для строк размером более 7. Но набор строк длиной 7 или меньше закрыт при этом добавлении.

Попробуйте онлайн!

Желе , 8 байт

‘ḅ⁹^/ḃ⁹’

При этом используется биективное отображение φ из байтовых массивов в неотрицательные целые числа, XOR - результат применения φ к двум входным строкам, затем применяет φ ^-1 к результату.

Пустой массив является нейтральным элементом, и каждый байтовый массив имеет свой собственный обратный.

Попробуйте онлайн!

Как это работает

‘ḅ⁹^/ḃ⁹’  Main link. Argument: [A, B] (pair of byte arrays)

‘         Increment all integers in A and B.
 ḅ⁹       Convert from base 256 to integer.
   ^/     XOR the resulting integers.
     ḃ⁹   Convert from integer to bijective base 256.
       ’  Subtract 1.

Python 2 , 114 байт

lambda a,b:s(d(a)^d(b))
d=lambda s:s and d(s[1:])*256+ord(s[0])+1or 0
s=lambda d:d and chr(~-d%256)+s(~-d/256)or''

Попробуйте онлайн! Работы по XORing строк интерпретируются как байтовое основание с прямым порядком байтов 256.

Python 2 , 197 байт

def n(s):
 n=s and ord(s[0])+1 or 0
 for c in s[1:]:n=n*256+ord(c)
 return(-1)**n*n/2
def f(l,r,s=""):
 i=n(l)+n(r)
 i=abs(i*2+(i<=0))
 while i>257:s=chr(i%256)+s;i/=256
 return["",chr(i-1)+s][i>0]

Попробуйте онлайн!

Превращает строку в число (с уменьшением на код), отрицает, если нечетное, затем делится на два Не так как в гольфе, как другой, но быстрее: P