Многочлены Чебышёва (Чебышевские полиномы)

26

Многочлены Чебышева - это семейство ортогональных многочленов, которые всплывают в разных местах математики, и у них много интересных свойств. Одной из характеристик их является то, что они являются уникальными полиномами, которые удовлетворяют .Tn(cos(x)) = cos(n*x)

Вызов

Учитывая неотрицательное целое число n, вы должны вывести n-ый полином Чебышева. ,Tn(x)

Определение

n-М Чебышёвой даются следующими три термин рекурсии:

T0(x) = 1
T1(x) = x
Tn+1(x) = 2*x*Tn(x) - Tn-1(x)

Детали

Если ваш язык имеет собственный тип полинома, вы можете использовать его в качестве выходного, в противном случае вы должны вывести список коэффициентов в порядке возрастания или убывания или в виде строки, представляющей полином.

Примеры

T0(x) = 1
T1(x) = x 
T2(x) = 2x^2 - 1
T3(x) = 4x^3 - 3 x
T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T10(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

В формате списка степеней по убыванию мы получим, а в формате степеней по возрастанию мы получимT3(x) = [4,0,-3,0]T3(x) = [0,-3,0,4]

code-golf  math  sequence  polynomials  recursion 
— flawr
источник
Если я выведу список, могу ли я вывести 0 1(т.е. 0*x+1) для T_0?
— Луис Мендо
Пока порядок мономов постоянен, это нормально!
— flawr
@flawr в 2*x*(2*x**2 - 1) - xпорядке вывода для 3 для lang, поддерживающего полином, или нам нужно представление в виде desc coeffs?
— Уриэль
11
— Mego
2
Допустимы ли неточности с плавающей точкой? то естьT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]
— миль

Ответы:

15

Mathematica, 15 байт

#~ChebyshevT~x&

Конечно, у Mathematica есть встроенная функция.

Если разрешена альтернативная форма ввода (10 байт):

ChebyshevT

принимает целое число nи переменную.

— Юнг Хван Мин
источник
3
Не мог догадаться, а? : P
— HyperNeutrino
14

Октава , 39 байт

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

Попробуйте онлайн!

объяснение

cos((.5:n)/n*pi)строит вектор с корнями полинома , заданного

введите описание изображения здесь

polyдает монический полином с этими корнями. Умножение на 2^n/2весы коэффициентов по мере необходимости. roundгарантирует, что результаты являются целыми числами, несмотря на числовую точность.

— Луис Мендо
источник
1
Умный как всегда :)
— flawr
11

Пари / ГП , 12 байт

Да, встроенный. Короче, чем Mathematica.

polchebyshev

Попробуйте онлайн!

Без встроенного:

Par / GP , 34 байта

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

Попробуйте онлайн!

— alephalpha
источник
Принимает ли polchebyshevтолько один вход и возвращает полином?
— JungHwan Мин.
@JungHwanMin Да. xпо умолчанию неопределенный.
— алефальфа
10

Haskell , 62 байта

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

Попробуйте онлайн!

Flawr сохранил байт.

— Линн
источник
Это очень элегантно! (Я постоянно забываю про zipWithвекторные операции.)
— flawr
1
Я думаю, что вы даже можете сохранить еще один байт, используя охрану: t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2)таким образом вы можете удалить среднюю пару скобок в последней строке :)
— flawr
Я думаю, что вы должны перейти 0:на ... 0:0:OP просто запретил этот вид пропуска нулей.
— Эрджан Йохансен,
5

MATL , 17 байт

lFTi:"0yhEbFFh-]x

Коэффициенты выводятся в порядке возрастания степени.

Попробуйте онлайн! Или проверьте все тестовые случаи .

объяснение

Для ввода n код применяет рекурсивное отношение n раз. Два последних полинома всегда хранятся в стеке. Когда вычисляется новый многочлен, самый старый удаляется.

В конце отображается второй по счету многочлен (последний многочлен удален), так как мы выполнили слишком много итераций.

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display
— Луис Мендо
источник
4

Желе , 18 байт

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

Попробуйте онлайн!

Возвращает список коэффициентов в порядке возрастания.

Существует еще одно решение для 17 байтов с неточностями с плавающей точкой.

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

Попробуйте онлайн!

объяснение

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively
— миль
источник
— Утренняя монахиня
2

J , 33 байта

(0>.<:)2&*1:p.@;9:o._1^+:%~1+2*i.

Попробуйте онлайн!

Предполагается, что неточности с плавающей точкой являются приемлемыми и создает смайлики (0>.<:)

Для 41 байта существует другое решение, которое позволяет избежать операций с плавающей запятой.

(0&,1:)`(-&2((-,&0 0)~2*0&,)&$:<:)@.(>&1)

Попробуйте онлайн!

— миль
источник
2

Аксиома, 40 байт

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

полученные результаты

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

можно определить один закон подстановки для формулы в использовании Аксиомы выше функции f () для разложения cos (n * x), где n - одно целое число

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec
— RosLuP
источник
1

C # (.NET Core) , 126 байт

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

Количество байтов также включает в себя:

using System.Linq;

Попробуйте онлайн!

Функция возвращает полином в виде массива коэффициентов в порядке возрастания (от x^0доx^n )

Объяснение:

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference
— Гжегож Пулавски
источник
1

JavaScript (ES6), 65 байт

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

Неэффективно для большого n. Интересно, но, к сожалению, также неэффективно:

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

Очень эффективно для 68 байтов:

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

Возвращает массив коэффициентов в порядке возрастания.

— Нил
источник
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.