Вызов

Учитывая набор Tподмножеств конечного множества S={1,2,3,...,n}, определите, Tявляется ли топология или нет.

объяснение

Powerset P(S) некоторого множества Sявляется множество всех подмножеств S. Некоторые примеры:

S = {}, P(S) = {{}}
S = {1}, P(S) = {{}, {1}}
S = {1,2}, P(S) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}
S = {1,2,3}, P(S) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Топология T на множестве Sявляется подмножеством P(S)со следующими свойствами:

• {}находится в Tи Sнаходится вT
• Если Aи Bесть, Tто и их пересечениеA ∩ B
• Если Aи Bесть, Tто таков и их союз A ∪ B*

_{^{* Это определение не совсем верно, но оно верно для конечных множеств, что достаточно для целей этой задачи. Фактическая аксиома также учитывает бесконечные союзы, но это не имеет значения в конечном случае.}}

Детали

• Вы можете предположить, что S = {1,2,...,n}(или альтернативно S = {0,1,...,n}) где nнаибольшее целое число, которое появляется в наборах T.
• Формат ввода является гибким: вы можете использовать строку, список списков или набор списков или любой аналогичный формат, с которым может работать ваш язык. Вы также можете использовать наборы, как, S = {0,1,...,n}если это более удобно.
• Выход должен быть truthey или falsey.
• Вы можете принять n(или альтернативно n+1или n-1) в качестве дополнительного входа.
• Если вы работаете с упорядоченными списками, вы можете предположить, что числа в наборе отсортированы. Вы также можете предположить, что список имеет определенный порядок (например, лексикографический.
• Поскольку мы представляем наборы, вы можете предположить, что никакие две записи их списка-представления не равны.

Примеры

Топологии

{{}}  over {}
{{},{1}} over {1}
P(S) over S (see in the explanation)
{{},{1},{1,2}} over {1,2}
{{},{1},{2,3},{1,2,3}} over {1,2,3}
{{1}, {1,2,3}, {1,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6}, {}, {2,3}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}}
{{}, {1}, {2,3}, {2}, {4,5,6}, {5,6}, {5}, {2,5,6}, {2,5}, {1,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3}, {1,2}, {1,4,5,6}, {1,5,6}, {1,2,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,3,5,6}, {2,3,5}, {1,2,3,5}, {2,4,5,6}, {1,2,5}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}}
{{}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}
{{}, {1}, {1,2,3}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}

не-Топология

{{1}} because {} is not contained
{{},{2}} because {1,2} is not contained
{{},{1,2},{2,3}} because the union {1,2,3} is not contained
{{},{1},{1,2},{2,3},{1,2,3}} because the intersection of {1,2} and {2,3} is not contained
{{},{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3}} because the union of {1} and {3} is not contained
{{}, {1}, {2,3}, {2}, {4,5,6}, {5,6}, {5}, {2,5,6}, {2,5}, {1,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3}, {1,2}, {1,4,5,6}, {1,5,6}, {1,2,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,3,5,6}, {2,3,5}, {2,4,5,6}, {1,2,5}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}} because {1,2,3,5} is missing
{{}, {1}, {2}, {1,2,3}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}} because {1,2} is missing 

Python 2 , 117 99 97 91 байт

n,x=input();sum(set.union(*x))!=n*-~n/2>q
[map(x.index,(i-i,i|j,i&j))for i in x for j in x]

Попробуйте онлайн!

Выход через код выхода

Haskell , 95 89 74 78 байт

import Data.List
t#n=all(`elem`t)$sort<$>[1..n]:[]:([union,intersect]<*>t<*>t)

Попробуйте онлайн!

Объяснение:

                              ([union,intersect]<*>t<*>t) -- create all unions & intersections 
                    [1..n]:[]:                            -- add the empty list and the full list
             sort<$>                                --sort them all
                                -- (as 'union' does not necessarily produce sorted outputs)
all(`elem`t)$                   -- check whether they are all already contained

Mathematica, 87 73 66 63 байта

Outer[{#⋂#2,#⋃#2}&,#,#,1]~Flatten~2⋃{{},Range@#2}==#⋃#&

Принимает в [T, n]качестве ввода.

объяснение

{#⋂#2,#⋃#2}&

Функция, которая возвращает пересечение и объединение входов

Outer[ ... ,#,#,1]

Сопоставьте эту функцию со списком ввода на уровне 1.

... ~Flatten~2

Сгладить результат ( Outerчасть возвращает набор вложенных Lists).

... ⋃{{},Range@#2}

Возьмите союз между сплющенным списком и {{}, S}. Это удаляет дубликаты и добавляет {}и Sв результирующий список.

... ==#⋃#

Проверьте, совпадает ли список сверху с отсортированной версией ввода.

MATL , 38 байт

!t~hXAs1>GXBXH2Z^!"@Z}Z|1MZ&hHm]vAGn~+

Входные данные - это двоичная матрица, в которой каждая строка является набором, каждый столбец является элементом, и каждая запись указывает членство. Например, {{},{1},{1,2}}выражается как [0 0;1 0;1 1]. Используйте связанную программу Octave для конвертации в этот формат.

Попробуйте онлайн! Или проверьте все тестовые случаи .

объяснение

!        % Implicit input. Transpose
t~       % Push a negated copy
h        % Horizontally concatenate both matrices
XA       % All: true for columns containing only 1
s        % Sum
1>       % Does it exceed 1? If so, both the empty set and the total
         % set are in the input
G        % Push input again
XB       % Convert each row from binary to decimal. This gives a column
         % vector of numbers that encode each set's contents. Union and
         % intersection will be done as bitwise XOR and AND
XH       % Copy to clipboard H
2Z^!     % Cartesian square transposed: gives all pairs of numbers as
         % columns of a matrix
"        % For each column
  @      %   Push current column
  Z}     %   Split into the two numbers
  Z|     %   Bitwise XOR
  1M     %   Push the two numbers again
  Z&     %   Bitwise AND
  h      %   Concatenate the two results horizontally
  Hm     %   Are they members of the vector of encoded sets? This gives
         %   a row vector with the two results
]        % End
v        % Concatenate all stack contents into a vertical vector
A        % Does it only contain ones? This is the main result: true iff
         % input is a non-empty topology. The empty input gives false,
         % and so it needs to be special cased
G        % Push input again
n~       % Is it empty?
+        % Add thw two results. Implicit display

Python 2 , 92 71 122 байта

• Большое спасибо @ovs за большое сокращение на 19 байтов: &и |сокращенные строки для операций над множествами.
• Спасибо @ notjagan за 5 байтов
• Спасибо @ovs за 2 байта: set()какi-i

Лямбда, которая принимает список наборов в качестве входных данных и возвращает True / false. Просто проверяет, существует ли пустой набор, и существует ли объединение и пересечение каждого набора (два набора, повторяемые как iи j) в данном списке наборов.

lambda x:x.sort()or all(k in x[-1]for k in range(1,max(x[-1])))and all(a in x for i in x for j in x for a in[i-j,i|j,i&j])

Попробуйте онлайн!

CJam (23 байта)

{[,M2$2m*{_~&\~|$}/]^!}

Набор онлайн-тестов . Это анонимный блок (функция). Я предполагаю S = {0,1,...,n}; блок принимает массив отсортированных массивов и в n+1качестве параметров и оставляет 0или 1в стеке. В случае, {{}}если код и тестовая структура предполагают это n+1 = 0.

Pyth, 24 23 байта

q@aasm,@Fd{Ssd*QQYJUEyJ

Тестирование

Эта программа принимает вход как упорядоченный список упорядоченных списков. Внутренние списки должны быть в порядке возрастания, а список заказов должен быть отсортирован по длине, а затем лексикографически. Я подтвердил, что это разрешенный формат ввода. Числа начинаются с 0, а N + 1 также принимается за ввод.

Что касается того, как это работает, мы отфильтровываем все, что не в P (S), затем добавляем S, []пересечение каждой пары и объединение каждой пары, дедуплицируем и проверяем, что результат равен входному.

Аксиома, 358 байт

t(a,s)==(aa:=sort(removeDuplicates(a));ss:=sort(removeDuplicates(s));a:=sort(a);s:=sort(s);a~=aa or s~=ss=>false;a:=map(sort, a);~member?([],a) or ~member?(s,a)=>false;for x in a repeat(for j in x repeat if ~member?(j,s) then return false;for y in a repeat if ~member?(sort(setIntersection(x,y)),a) or ~member?(sort(setUnion(x,y)),a) then return false);true)

Разгул и результаты:

-- all the List have to be sorted because in list [1,2]~=[2,1]
-- So here "set" means: "List without duplicate, sorted with sort() function"
-- Return true if 
-- 1) a,s are set for above definition
-- 2) a is in P(s) 
-- 3) s,[] are in a
-- 4) for all x and y in a => xUy is in a and x intersect y is in a
t1(a:List List INT, s:List INT):Boolean==
    aa:=sort(removeDuplicates(a));ss:=sort(removeDuplicates(s))
    a :=sort(a);                  s :=sort(s)
    a~=aa          or s~=ss        =>false   -- they are not sets but list with element duplicate
    a:=map(sort, a)                          -- subset of a has to be sorted too
    ~member?([],a) or ~member?(s,a)=>false
    for x in a repeat
       for j in x repeat if ~member?(j,s) then return false 
       for y in a repeat if ~member?(sort(setIntersection(x,y)),a) or ~member?(sort(setUnion(x,y)),a) then return false
    true

(4) -> t([[]], [])
   (4)  true
                                                            Type: Boolean
(5) -> t([[],[1]], [1])
   (5)  true
                                                            Type: Boolean
(6) -> t([[],[1],[2,1]], [1,2])
   (6)  true
                                                            Type: Boolean
(7) -> t([[],[1],[2,3],[1,2,3]], [3,1,2])
   (7)  true
                                                            Type: Boolean
(8) -> t([[1], [1,2,3], [1,4,5,6], [1,2,3,4,5,6], [], [2,3], [4,5,6], [2,3,4,5,6]], [1,2,3,4,5,6])
   (8)  true
                                                            Type: Boolean
(9) -> t([[], [1], [2,3], [2], [4,5,6], [5,6], [5], [2,5,6], [2,5], [1,5], [1,2,3,4,5,6], [1,2,3], [1,2], [1,4,5,6], [1,5,6], [1,2,5,6], [2,3,4,5,6], [2,3,5,6], [2,3,5], [1,2,3,5], [2,4,5,6], [1,2,5], [1,2,3,5,6], [1,2,4,5,6]], [1,2,3,4,5,6])
   (9)  true
                                                            Type: Boolean
(10) -> t([[], [1], [1,2], [1,2,3], [1,2,3,4], [1,2,3,4,5], [1,2,3,4,5,6], [1,2,3,4,5,6,7], [1,2,3,4,5,6,7,8], [1,2,3,4,5,6,7,8,9]], [1,2,3,4,5,6,7,8,9])
   (10)  true
                                                            Type: Boolean
(11) -> t([[], [1], [1,2,3], [1,2,3,4,5], [1,2,3,4,5,6,7], [1,2,3,4,5,6,7,8,9]], [1,2,3,4,5,6,7,8,9])
   (11)  true
                                                            Type: Boolean
(2) -> t([[1]], [1])
   (2)  false
                                                            Type: Boolean
(4) -> t([[],[2]], [1,2])
   (4)  false
                                                            Type: Boolean
(5) -> t([[],[1,2],[2,3]], [1,2,3])
   (5)  false
                                                            Type: Boolean
(6) -> t([[],[1],[1,2],[2,3],[1,2,3]], [1,2,3])
   (6)  false
                                                            Type: Boolean
(7) -> t([[],[1],[2],[3],[1,2],[2,3],[1,2,3]] , [1,2,3])
   (7)  false
                                                            Type: Boolean
(8) -> t([[], [1], [2,3], [2], [4,5,6], [5,6], [5], [2,5,6], [2,5], [1,5],[1,2,3,4,5,6], [1,2,3], [1,2], [1,4,5,6], [1,5,6], [1,2,5,6], [2,3,4,5,6], [2,3,5,6], [2,3,5], [2,4,5,6], [1,2,5], [1,2,3,5,6], [1,2,4,5,6]], [1,2,3,4,5,6])
   (8)  false
                                                            Type: Boolean
(9) -> t([[], [1], [2], [1,2,3], [1,2,3,4,5], [1,2,3,4,5,6,7], [1,2,3,4,5,6,7,8,9]] , [1,2,3,4,5,6,7,8,9])
   (9)  false
                                                            Type: Boolean
(10) -> t([[], [1], [2,3], [2], [4,5,6], [5,6], [5], [2,5,6], [2,5], [1,5],[1,2,3,4,5,6], [1,2,3], [1,2], [1,4,5,6], [1,5,6], [1,2,5,6], [2,3,4,5,6], [2,3,5,6], [2,3,5], [2,4,5,6], [1,2,5], [1,2,3,5,6], [1,2,4,5,6]], [1,2,3,4,5,6])
   (10)  false
                                                            Type: Boolean