Если вы не знакомы с теорией кос, я рекомендую вам сначала прочитать это . Этот вопрос предполагает, что вы по крайней мере знакомы с имеющимися понятиями, и предполагает, что вы хорошо знакомы с теорией групп

Определим σ _n как косу, в которой n- я нить (индексированная) сверху пересекает n + 1- ю прядь, а σ _n ^- как противоположность σ _n (то есть n + 1- й нить пересекает н- ную нить).

Группа кос В _п затем генерируется <сг ₁ , σ ₂ , σ ₃ ,. , , , _n-1 > . Таким образом, каждая коса на B _n может быть записана как произведение σ-кос. ¹

Определить, равны ли две косы в группе, - непростая задача. Может быть довольно очевидно, что σ ₁ σ ₃ = σ ₃ σ ₁ , но немного менее очевидно, что, например, σ ₂ σ ₁ σ ₂ = σ ₁ σ ₂ σ ₁ . ²

Таким образом, вопрос «Как мы можем определить, являются ли две косы одинаковыми?». Хорошо два примера выше представляют немного этого. В общем случае справедливы следующие отношения, называемые отношениями Артина:

• σ _i σ _j = σ _j σ _i ; я -> 1

• σ _i σ _{i + 1} σ _i = σ _{i + 1} σ _i σ _{i + 1}

Мы можем использовать эти два отношения в сочетании с аксиомами группы, чтобы доказать, что любые равные косы равны. Таким образом, две косы равны, если повторное применение этих соотношений и групповые аксиомы могут продемонстрировать это.

задача

Вы напишете программу или функцию для двух кос и определите, равны они или нет. При желании вы также можете взять положительное целое число, представляющее порядок группы.

Это вопрос кода игры в гольф, поэтому ответы будут оцениваться в байтах, причем меньше байтов будет лучше.

Вход и выход

Вы должны представлять Braid как упорядоченный список генераторов (или любой эквивалентной структуры, например, вектора). Вы можете представлять генераторы в любой разумной форме (например, целое число, два набора положительного целого числа и логическое значение).

В соответствии со стандартными правилами задачи решения вы должны вывести одно из двух различных значений: принять или отклонить.

Тестовые случаи

[],       []              -> True
[1,-1],   []              -> True
[1,2,1],  [2,1,2]         -> True
[1,3],    [3,1]           -> True
[1,3,2,1],[3,2,1,2]       -> True
[1,4,-4,3,2,1], [3,2,1,2] -> True
[2,2,1],  [2,1,2]         -> False
[1,2,-1], [-1,2,1]        -> False
[1,1,1,2],[1,1,2]         -> False

^{1: обратите внимание, что хотя B _n удовлетворяет всем свойствам группы, операция над нашей группой кос не является коммутативной, и, следовательно, наша группа не является абелевой.}

^{2: Если вы хотите убедиться в этом сами, я предлагаю применить σ ₁ - к обеим сторонам. Если вы нарисуете два на бумаге или смоделируете их с реальными строками, должно стать понятно, почему это так.}

Haskell , 190 байт

i!j|j<0=reverse$map(0-)$i!(-j)|i==j=[i,i+1,-i]|i+1==j=[i]|i+j==0=[j+1]|i+j==1=[-j,-i,j]
_!j=[j]
j%(k:a)|j+k==0=a
j%a=j:a
i&a=foldr(%)[]$foldr((=<<).(!))[i]a
a?n=map(&a)[1..n]
(a#b)n=a?n==b?n

Попробуйте онлайн!

Как это устроено

Пусть F _n - свободная группа на n образующих x ₁ ,…, x _n . Одним из первых результатов в теории кос (Эмиль Артин, Теория дер Зопфе , 1925) является то, что у нас есть инъективный гомоморфизм f : B _n → Aut ( F _n ), где действие f _{σ i} в σ _i определяется как

f _{σ i} ( x _i ) = x _i x _{i + 1} x _i ⁻¹ ,
f _{σ i} ( x _{i + 1} ) = x _i ,
f _{σ i} ( x _j ) = x _j для j ∉ { i , i + 1}.

Обратное f _{σ i ⁻¹} определяется как

f _{σ i − ¹} ( x _i ) = x _{i + 1} ,
f _{σ i − ¹} ( x _{i + 1} ) = x _{i + 1} ⁻¹ x _i x _{i + 1} ,
f _{σ i − ¹} ( x _j ) = x _j для j ∉ { i , i + 1}

и, конечно, состав дается выражением f _ab = f _a ∘ f _b .

Чтобы проверить, является ли a = b ∈ B _n , достаточно проверить, что f _a ( x _i ) = f _b ( x _i ) для всех i = 1,…, n . Это гораздо более простая проблема в F _n , где нам нужно только знать, как отменить x _i на x _i ⁻¹ .

В коде:

• i!jвычисляет f _{σ i} ( x _j ) (где iили jможет быть отрицательным, представляя обратное),
• foldr(%)[] выполняет сокращение в свободной группе,
• i&aвычисляет f _a ( x _i ),
• a?nвычисляет [ f _a ( x ₁ ),…, f _a ( x _n )],
• и (a#b)nявляется критерием равенства для a = b в B _n .

Python 2 , 270 263 260 250 249 241 байт

def g(b,i=0):
 while i<len(b)-1:
  R,s=b[i:i+2]
  if R<0<s:b[i:i+2]=[[],[s,-R,-s,R],[s,R]][min(abs(R+s),2)];i=-1
  i+=1
 return b
def f(a,b):
 b=g(a+[-v for v in b][::-1]);i=0
 while i<len(b)and b[0]>0:b=b[1:]+[b[0]];i+=1   
 return g(b)==[]

Попробуйте онлайн!

Реализация метода «реверсирования подслов» для решения проблемы изотопии кос: a = b тогда и только тогда, когда ab ^ -1 = тождество.

Алгоритм взят из: Эффективные решения проблемы изотопии кос, Патрик Дехорной ; он описывает несколько других алгоритмов, которые могут представлять интерес ...

Этот алгоритм работает, двигаясь слева направо в списке, ища отрицательное число, за которым следует положительное число; то есть подслово вида x _i ^-1 x _j с i, j> 0.

Он использует следующие эквивалентности:

x _i ^-1 x _j = x _j x _i x _j ^-1 x _i ^-1, если i = j + 1 или j = i + 1

x _i ^-1 x _j = идентичность (пустой список), если i == j

x _i ^-1 x _j = x _j x _i ^{-1 в} противном случае.

При повторном применении мы получаем список в форме w1 + w2, где каждый элемент w1является положительным, а каждый элемент w2- отрицательным. (Это действие функции g).

Затем мы применяем gвторой раз к списку w2 + w1; результирующий список должен быть пустым, если исходный список был эквивалентен идентичности.