n * k = dd0d00d, где d =…?

14

Учитывая положительное целое число n ≤ 500 :

  • Найдите наименьшее положительное целое число k , чтобы все цифры в десятичном представлении n * k были либо 0, либо d , причем 1 ≤ d ≤ 9 .

  • Напечатайте или верните d менее чем за 30 секунд (подробнее об этом в разделе « Разъяснения и правила »).

Простые примеры

Вот первые 30 значений d .

+----+-------+---------+---+    +----+-------+---------+---+
|  n |     k |   n * k | d |    |  n |     k |   n * k | d |
+----+-------+---------+---+    +----+-------+---------+---+
|  1 |     1 |       1 | 1 |    | 16 |     5 |      80 | 8 |
|  2 |     1 |       2 | 2 |    | 17 |   653 |   11101 | 1 |
|  3 |     1 |       3 | 3 |    | 18 |     5 |      90 | 9 |
|  4 |     1 |       4 | 4 |    | 19 |   579 |   11001 | 1 |
|  5 |     1 |       5 | 5 |    | 20 |     1 |      20 | 2 |
|  6 |     1 |       6 | 6 |    | 21 |    37 |     777 | 7 |
|  7 |     1 |       7 | 7 |    | 22 |     1 |      22 | 2 |
|  8 |     1 |       8 | 8 |    | 23 |  4787 |  110101 | 1 |
|  9 |     1 |       9 | 9 |    | 24 |    25 |     600 | 6 |
| 10 |     1 |      10 | 1 |    | 25 |     2 |      50 | 5 |
| 11 |     1 |      11 | 1 |    | 26 |    77 |    2002 | 2 |
| 12 |     5 |      60 | 6 |    | 27 |    37 |     999 | 9 |
| 13 |    77 |    1001 | 1 |    | 28 |    25 |     700 | 7 |
| 14 |     5 |      70 | 7 |    | 29 | 37969 | 1101101 | 1 |
| 15 |     2 |      30 | 3 |    | 30 |     1 |      30 | 3 |
+----+-------+---------+---+    +----+-------+---------+---+

Не очень простые примеры

Одна особенность этой проблемы заключается в том, что некоторые ценности найти гораздо сложнее, чем другие, - по крайней мере, с использованием подхода грубой силы. Ниже приведены некоторые примеры n, которые приводят к высокому значению k .

+-----+------------+---------------+---+    +-----+------------+---------------+---+
|   n |          k |         n * k | d |    |   n |          k |         n * k | d |
+-----+------------+---------------+---+    +-----+------------+---------------+---+
|  81 |   12345679 |     999999999 | 9 |    | 324 |   13717421 |    4444444404 | 4 |
| 157 |   64338223 |   10101101011 | 1 |    | 353 |   28615017 |   10101101001 | 1 |
| 162 |   13717421 |    2222222202 | 2 |    | 391 |  281613811 |  110111000101 | 1 |
| 229 |   43668559 |   10000100011 | 1 |    | 405 |   13717421 |    5555555505 | 5 |
| 243 |   13717421 |    3333333303 | 3 |    | 439 |   22781549 |   10001100011 | 1 |
| 283 |   35371417 |   10010111011 | 1 |    | 458 |   43668559 |   20000200022 | 2 |
| 299 |   33478599 |   10010101101 | 1 |    | 471 |   64338223 |   30303303033 | 3 |
| 307 |   32576873 |   10001100011 | 1 |    | 486 |   13717421 |    6666666606 | 6 |
| 314 |   64338223 |   20202202022 | 2 |    | 491 |  203871711 |  100101010101 | 1 |
| 317 | 3154574483 | 1000000111111 | 1 |    | 499 |   22244489 |   11100000011 | 1 |
+-----+------------+---------------+---+    +-----+------------+---------------+---+

Разъяснения и правила

  • n * k всегда будет содержать хотя бы одну цифру d , но может не содержать ноль вообще.
  • Это код-гольф , поэтому выигрывает самый короткий код в байтах. Тем не менее, ваша программа или функция должна быть в состоянии вернуть результат для любых 1 ≤ N ≤ 500 в менее чем за 30 секунд на оборудовании среднего диапазона.
  • Имейте в виду, что некоторые ценности труднее найти, чем другие. Программа, которая будет пытаться обмануть ценность k , вряд ли будет соответствовать ограничению по времени (хороший тестовый пример - n = 317 ). Существуют значительно более быстрые способы найти d .

Справочная таблица

Все значения d для 1 ≤ n ≤ 500 перечислены ниже.

n       | d
--------+--------------------------------------------------
001-025 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 6 1 7 3 8 1 9 1 2 7 2 1 6 5
026-050 | 2 9 7 1 3 1 8 3 2 7 9 1 2 3 4 1 6 1 4 9 2 1 6 7 5
051-075 | 3 4 1 9 5 7 1 2 1 6 1 2 9 8 5 6 1 4 3 7 1 9 1 2 3
076-100 | 4 7 6 1 8 9 2 1 4 5 2 3 8 1 9 1 4 3 2 5 6 1 7 9 1
101-125 | 1 6 1 8 7 2 1 9 1 1 1 7 1 2 5 4 9 2 7 6 1 2 3 4 5
126-150 | 6 1 8 3 1 1 6 7 2 9 8 1 6 1 7 1 2 1 9 5 2 7 4 1 3
151-175 | 1 8 9 7 5 4 1 2 1 8 7 2 1 4 3 2 1 8 1 1 3 4 1 6 7
176-200 | 8 3 2 1 9 1 2 1 8 5 6 1 4 9 1 1 6 1 2 3 7 1 9 1 2
201-225 | 3 2 7 4 5 2 9 8 1 7 1 4 1 2 5 9 7 2 3 2 1 2 1 7 9
226-250 | 2 1 4 1 1 3 8 1 6 5 4 3 7 1 6 1 2 3 4 7 6 1 8 3 5
251-275 | 1 6 1 2 3 8 1 6 7 2 9 2 1 6 5 7 3 4 1 9 1 8 3 2 5
276-300 | 6 1 2 9 7 1 2 1 4 5 2 7 9 1 1 3 4 1 7 5 8 9 2 1 3
301-325 | 7 2 3 8 5 6 1 4 3 1 1 8 1 2 9 4 1 2 1 8 1 7 1 4 5
326-350 | 2 1 8 7 3 1 4 3 2 5 8 1 2 3 2 1 6 1 8 3 2 1 4 1 7
351-375 | 9 8 1 6 5 4 7 2 1 9 1 2 3 4 5 2 1 8 9 1 7 6 1 2 3
376-400 | 8 1 9 1 2 3 2 1 6 7 2 9 4 1 3 1 7 1 2 5 9 1 2 7 4
401-425 | 1 6 1 4 5 2 1 8 1 1 3 4 7 9 5 8 1 2 1 6 1 2 3 8 5
426-450 | 2 7 4 3 1 1 9 1 7 3 4 1 6 1 4 3 2 1 4 5 2 3 7 1 9
451-475 | 1 4 3 2 5 8 1 2 9 2 1 6 1 8 3 2 1 6 7 1 3 8 1 6 5
476-500 | 7 3 2 1 6 1 2 3 4 5 6 1 8 3 7 1 6 1 2 9 8 7 6 1 5
code-golf  arithmetic 
— Arnauld
источник
1
Сильно вдохновленный (но весьма отличающийся от) этим недавним испытанием .
— Арно
n = 6669666 -> d = 9
— J42161217
Интересные диагонали в этой таблице.
— Джеймс
@ Джеймс Действительно. Шаблоны выглядят немного более четко при форматировании MOD 24. В MOD 25 вместо этого мы получаем несколько диагоналей. :-)
— Арно

Ответы:

3

Желе , 16 15 14 байт

²B€Ḍ9×þF%Þ¹ḢQS

Квадратичное время выполнения (до 25 секунд на TIO).

Попробуйте онлайн!

Альтернативная версия, 15 байт

2ȷB€Ḍ9×þF%Þ¹ḢQS

Постоянное время работы (около 1 секунды на TIO).

Попробуйте онлайн!

Как это устроено

²B€Ḍ9×þF%Þ¹ḢQS  Main link. Argument: n

²               Take the square of n.
                This bound is high enough for all integers up to 500. 
                In fact, The highest value we need is 1387 for input 471, so
                2000 (2ȷ) is also enough (and a lot faster).

 B€             Binary; convert 1, ..., 4159 to base 2.
   Ḍ            Undecimal; convert each digit array from base 10 to integer.
                This generates the array A of all positive integers up to n²
                whose decimal representations consist entirely of 1's and 0's.
    9×þ         9 multiply table; for each x in A, yield [x, 2x, ..., 8x, 9x].
       F        Flatten; concatenate the resulting arrays, yielding the vector
                V. Note that V contains all numbers that match the regex ^d[0d]*$
                in base 10, in ascending order.
          ¹     Identity; yield n.
        %Þ      Sort the entries for V by their remainders modulo n. This places
                multiples of n at the beginning. The sorting algorithm in stable,
                so the first element of sorted V is the smallest multiple of n.
           Ḣ    Head; extract the first element.
            Q   Unique; deduplicate its digits in base 10. This yields [d, 0].
             S  Take the sum, yielding d.
— Деннис
источник
5

JavaScript (ES6), 83 байта

n=>{for(p=1;;p=k)for(d=0;d++<9;)for(k=p;k<p+p;k++)if(k.toString(2)*d%n<1)return d;}

Теперь возвращается 6за n=252! Я попробовал рекурсивный подход, но это также 83 байта и вылетает для меня для более сложных чисел:

f=(n,p=1,d=1,k=p)=>k<p+p?k.toString(2)*d%n<1?d:f(n,p,d,k+1):d>8?f(n,p+p):f(n,p,d+1)
— Нил
источник
4

Mathematica, 103 100 97 байт

#&@@IntegerDigits[Sort[Join@@Table[Cases[FromDigits/@{0,i}~Tuples~13/#,_Integer],{i,9}]][[10]]#]&


находит 317 за 0,39 с

Попробуйте онлайн скопируйте / вставьте код, добавьте [317] в конце и нажмите shift + enter для запуска

-3 байта от @JungHwan Мин.
-3 байта от @Keyu Gan

— J42161217
источник
Вы можете избавиться от *дюйма *#, и Tuples[{0,i},13]это{0,i}~Tuples~13
— JungHwan Мин
да, конечно. сделано!
— J42161217,
Да, и еще один: [[1]]в конце то же самое, что положить #&@@в начале
— JungHwan Мин
... и мы сделали это до 100! спасибо за -3 байта
— J42161217
Вы можете использовать Join@@вместоFlatten@
— Кейу Ган
2

Python 2/3, 129 128 127 байтов

from itertools import*
lambda n:next(d for p in count()for d in range(1,10)for k in range(2**p,2*2**p)if d*int(bin(k)[2:])%n<1)

-1 байт: count(0)→ count()
-1 байт: ==0→, <1поскольку он не может быть отрицательным

— Score_Under
источник
2

Желе , 21 байт

9Rṭ€0ṗ€⁴ẎḌḍ@Ðf⁸ṢDFḟ0Ḣ

Монадическая ссылка, возвращающая число ИЛИ полная программа, печатающая его.

Брут-форсер с ограниченным диапазоном действия, который занимает менее 20 секунд для любого 1 ≤ n ≤ 500 (менее 3 секунд для стоимости 1-байтового кода - замените ⁴на 13).

Попробуйте онлайн!

Как?

9Rṭ€0ṗ€⁴ẎḌḍ@Ðf⁸ṢDFḟ0Ḣ - Link: number, n
9R                    - range of 9 = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
  ṭ€0                 - tack €ach to 0 -> [[0,1],[0,2],[0,3],[0,4],[0,5],[0,6],[0,7],[0,8],[0,9]]
       ⁴              - literal 16
     ṗ€               - Cartesian product for €ach
        Ẏ             - tighten (flatten by 1 level)
         Ḍ            - covert from decimal list to number (vectorises)
              ⁸       - chain's left argument (n)
            Ðf        - filter keep items for which this yields a truthy value:
          ḍ@          -   divisible? with swapped @rguments
               Ṣ      - sort
                D     - convert to decimal list (vectorises)
                 F    - flatten into a single list
                  ḟ0  - filter out zeros
                    Ḣ - head (get the first value)
— Джонатан Аллан
источник
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.