Найти реальные корни многочлена

Напишите автономную программу, которая при задании полинома и границы найдет все действительные корни этого полинома для абсолютной ошибки, не превышающей границы.

Ограничения

Я знаю, что Mathematica и, возможно, некоторые другие языки имеют односимвольное решение, и это скучно, поэтому вам следует придерживаться примитивных операций (сложение, вычитание, умножение, деление).

Существует определенная гибкость в форматах ввода и вывода. Вы можете принимать ввод через аргументы stdin или командной строки в любом приемлемом формате. Вы можете разрешить использование чисел с плавающей запятой или требовать использования некоторого представления рациональных чисел. Вы можете взять границу или обратную величину границы, и если вы используете плавающую точку, вы можете предположить, что граница будет не менее 2 ulp. Полином должен быть выражен в виде списка мономиальных коэффициентов, но он может быть старшим или младшим.

Вы должны быть в состоянии объяснить, почему ваша программа всегда будет работать (по модулю числовые проблемы), хотя нет необходимости предоставлять полные доказательства в строке.

Программа должна обрабатывать многочлены с повторяющимися корнями.

пример

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

Ввод может быть, например,

-2 0 1 0.01
100 1 0 -2
1/100 ; x^2-2

Вывод может быть, например,

-1.41 1.42

но нет

-1.40 1.40

поскольку это имеет абсолютные ошибки около 0,014 ...

Контрольные примеры

Просто:

x^2 - 2 = 0 (error bound 0.01)

x^4 + 0.81 x^2 - 0.47 x + 0.06 (error bound 10^-6)

Многократный корень:

x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27 (error bound 10^-6)

Полином Уилкинсона:

x^20 - 210 x^19 + 20615 x^18 - 1256850 x^17 + 53327946 x^16 -1672280820 x^15 +
    40171771630 x^14 - 756111184500 x^13 + 11310276995381 x^12 - 135585182899530 x^11 +
    1307535010540395 x^10 - 10142299865511450 x^9 + 63030812099294896 x^8 -
    311333643161390640 x^7 + 1206647803780373360 x^6 -3599979517947607200 x^5 +
    8037811822645051776 x^4 - 12870931245150988800 x^3 + 13803759753640704000 x^2 -
    8752948036761600000 x + 2432902008176640000  (error bound 2^-32)

NB. Этот вопрос был в Песочнице в течение приблизительно 3 месяцев. Если вы думаете, что это нужно улучшить перед публикацией, посетите Песочницу и прокомментируйте другие предложенные вопросы, прежде чем они будут опубликованы на Главном.

Математика, 223

r[p_,t_]:=Module[{l},l=Exponent[p[x],x];Re@Select[NestWhile[Table[#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}],{i,l}]&,Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}],2*Max[Table[Abs[#1[[i]]-#2[[i]]],{i,l}]]>t&,2],Abs[Im[#]]<t^.5&]]

Это решение реализует метод Дюранда – Кернера для решения полиномов. Обратите внимание, что это не полное решение (как будет показано ниже), потому что я пока не могу обработать полином Уилкинсона с заданной точностью. Сначала объяснение того, что я делаю:

#[[i]]-p[#[[i]]]/Product[If[i!=j,#[[i]]-#[[j]],1],{j,l}]&: Таким образом, функция вычисляет для каждого индекса iследующее приближение Дюранда-Кернера. Затем эта строка инкапсулируется в таблицу и применяется с помощью NestWhile к входным точкам, созданным с помощью Table[(0.9+0.1*I)^i,{i,l}]. Условием для NestWhile является то, что максимальное изменение (по всем терминам) от одной итерации к следующей больше, чем указанная точность. Когда все термины изменились меньше, чем NestWhile заканчивается и Re@Selectудаляет нули, которые не попадают на реальную линию.

Пример вывода:

> p[x_] := x^2 - 2
> r[p, .01]
{1.41421, -1.41421}

> p[x_] := x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 - 27
> r[p, 10^-6]
{2.99999, 3., 3.00001, -1.}

> p[x_] := x^20 - 210 x^19 + ... + 2432902008176640000 (Wilkinson's)
> Sort[r[p, 2^-32]]
{1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.00001, 7.99994, 9.00018, 10.0002, 11.0007, \
11.9809, 13.0043, 14.0227, 14.9878, 16.0158, 16.9959, 17.9992, \
19.0001, 20.}

Как вы, вероятно, можете видеть, когда степень возрастает, этот метод начинает отражаться вокруг правильных значений, никогда не возвращаясь полностью. Если я установлю условие остановки моего кода на что-то более строгое, чем «от одной итерации к следующей, догадки меняются не более, чем на эпсилон», тогда алгоритм никогда не останавливается. Я полагаю, я должен просто использовать Дюран-Кернер в качестве входных данных для метода Ньютона?