Мы хотели бы факторизовать полупервичное . Цель этой задачи состоит в нахождении два небольших целых чисел и такие , что может быть разложено тривиальным методом Ферма, что позволяет легко вычесть факторы . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

Задание

Для заданного полупростого числа и положительного целого числа мы определяем и как: $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Шаг № 1 - Найти $k$

Сначала вам нужно найти наименьшее возможное значение такое что - это квадратное число ( или идеальный квадрат). $k$ $y$

Это позволяет факторизовать за одну итерацию метода факторизации Ферма . Конкретнее, это сразу приводит к: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Обновление: эта последовательность теперь опубликована как A316780 )

Шаг № 2 - Факторизовать $k$

Затем вы должны найти два положительных целых числа и такие что: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

где и являются главными факторами . $c$ $d$ $N$

Резюме

Ваша задача - написать программу или функцию, которая принимает качестве входных данных и печатает или выводит и в любом порядке и в любом разумном формате. $N$ $u$ $v$

пример

Давайте рассмотрим $N = 199163$

Шаг 1

Наименьшее возможное значение составляет , что дает: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Шаг 2

Правильная факторизация равна , потому что: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

Таким образом, правильный ответ будет либо либо . $[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

правила

Не обязательно строго применять два шага, описанных выше. Вы можете использовать любой другой метод, если он находит правильные значения и . $u$ $v$
$uvN$
Вход гарантированно будет полупростым.
Это код-гольф, поэтому выигрывает самый короткий ответ в байтах.
Стандартные лазейки запрещены.

Контрольные примеры

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Пример реализации

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Показать фрагмент кода

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Развернуть фрагмент

code-golf number-theory primes

— Arnauld
источник

Гарантируем ли мы, что на Nсамом деле вход будет полупростым?

— Грег Мартин

@GregMartin Да, ты.

— Арно

8

Mathematica, 81 79 байт

Спасибо Мартину Эндеру за сохранение 2 байта!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Чистая функция, принимающая полупростую в качестве входных данных и возвращающая упорядоченную пару натуральных чисел. В Forреализует цикл точную процедуру , описанную в вопросе (используя #для ввода в месте n), с xтакими , как определено здесь, хотя мы хранить , j = k*nа не kсам по себе , и z=Sqrt[y]вместо того , yсамо по себе. Мы также вычисляем p={x+z,x-z}внутри Forцикла, который заканчивается сохранением одного байта (как при седьмой попытке). Тогда двумя желаемыми факторами являются (x+z)/GCD[#,x+z]и (x-z)/GCD[#,x-z], которые сжатое выражение p/#~GCD~pвычисляет непосредственно как упорядоченная пара.

Курьезы: мы хотим зациклить, пока zне будет целое число; но так как мы собираемся использовать Ceilingуже в коде, он экономит два байта, !IntegerQ@zчтобы определить c=Ceiling(что, как известно гольфистам Mathematica), стоит четыре байта, а затем проверить, есть ли c@z>z. Мы должны что-то инициализировать z, и что-то лучше не быть целым числом, чтобы цикл мог начаться; к счастью, Eэто лаконичный выбор.

— Грег Мартин
источник

4

JavaScript (ES7), 86 81 байт

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Редактировать: 4 байта сохранены благодаря @Arnauld.

— Нил
источник

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 байт

-1 байт благодаря Нейлу и -3 байта благодаря ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Попробуйте онлайн!

Неформат:

pинициализируется .5так, чтобы условие цикла было истинным на первой итерации. Обратите внимание, что его короче хранить p(как x+ sqrt(y)), чем хранить каждый из них xи yотдельно.

— математик наркоман
источник

x*xвместо x**2?

— Нил

@Neil Да, конечно. Спасибо

— математик наркоман

1

Аксиома, 131 115 байт

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

Функция, которая могла бы решить вопрос - это r (n) выше. разгрызть и проверить

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
источник

Помощник по факторизации Ферма