В этом задании вам дадут квадратную матрицу A, вектор vи скаляр λ. Вам необходимо будет определить, соответствует ли (λ, v)собственная пара A; то есть, или нет Av = λv.
Скалярное произведение
Точечное произведение двух векторов является суммой поэлементного умножения. Например, скалярное произведение следующих двух векторов:
(1, 2, 3) * (4, 5, 6) = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
Обратите внимание, что скалярное произведение определяется только между двумя векторами одинаковой длины.
Матрично-векторное умножение
Матрица - это двумерная сетка значений. Матрица mх nимеет mстроки и nстолбцы. Мы можем представить матрицу mx nкак mвекторы длины n(если взять строки).
Умножение матрицы на вектор определяется между матрицей mx nи nвектором размера . Если мы умножим матрицу mx nна nвектор размеров , мы получим mвектор размеров . Значение i-th в векторе результатов является точечным произведением i-ой строки матрицы и исходного вектора.
пример
1 2 3 4 5
Let A = 3 4 5 6 7
5 6 7 8 9
1
3
Let v = 5
7
9
Если мы умножим матрицу и вектор Av = x, мы получим следующее:
x 1 = A T 1 * v /* AT1 means the first row of A; A1 would be the first column */= (1,2,3,4,5) * (1,3,5,7,9) = 1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 = 1 + 6 + 15 + 28 + 45 = 95
x 2 = A T 2 * v = (3,4,5,6,7) * (1,3,5,7,9) = 3 * 1 + 4 * 3 + 5 * 5 + 6 * 7 + 7 * 9 = 3 + 12 + 25 + 42 + 63 = 145
x 3 = A T 3 * v = (5,6,7,8,9) * (1,3,5,7,9) = 5 * 1 + 6 * 3 + 7 * 5 + 8 * 7 + 9 * 9 = 5 + 18 + 35 + 56 + 81 = 195
Итак, мы получаем Av = x = (95, 145, 195).
Скалярное Умножение
Умножение скаляра (одного числа) и вектора - просто поэлементное умножение. Например, 3 * (1, 2, 3) = (3, 6, 9). Это довольно просто.
Собственные значения и собственные векторы
Учитывая матрицу A, мы говорим, что λявляется собственным значением, соответствующим vи vявляется собственным вектором, соответствующим λ тогда и только тогда, когда Av = λv . (Где Avматрично-векторное умножение и λvскалярное умножение).
(λ, v) это собственная пара.
Технические требования
вход
Входные данные будут состоять из матрицы, вектора и скаляра. Они могут быть приняты в любом порядке в любом разумном формате.
Выход
Вывод будет истинным / ложным значением; правда тогда и только тогда, когда скаляр и вектор являются собственной парой с указанной матрицей.
правила
- Применяются стандартные лазейки
- Если на вашем языке существует встроенная система проверки собственной пары, вы не можете ее использовать.
- Вы можете предположить, что все числа являются целыми числами
Тестовые случаи
MATRIX VECTOR EIGENVALUE
2 -3 -1 3
1 -2 -1 1 1 -> TRUE
1 -3 0 0
2 -3 -1 1
1 -2 -1 1 -2 -> TRUE
1 -3 0 1
1 6 3 1
0 -2 0 0 4 -> TRUE
3 6 1 1
1 0 -1 2
-1 1 1 1 7 -> FALSE
1 0 0 0
-4 3 1
2 1 2 2 -> TRUE
2 1 2 -> TRUE
Я добавлю 4x4 позже.