Python 2.7
Этот подход использует следующие соображения:
Любое целое число может быть представлено как сумма степеней двух. Показатели в степени двух могут также быть представлены как степени двух. Например:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
Эти выражения, которые мы заканчиваем, могут быть представлены как наборы множеств (в Python я использовал встроенный frozenset):
0становится пустым набором {}.2^aстановится набором, содержащим набор, представляющий a. Например: 1 = 2^0 -> {{}}и 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}.a+bстановится объединением множеств, представляющих aи b. Например,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
Оказывается, что выражения формы 2^2^...^2можно легко преобразовать в их уникальное представление набора, даже когда числовое значение слишком велико, чтобы его можно было сохранить как целое число.
Для n=20, это работает в 8.7s на CPython 2.7.5 на моей машине (немного медленнее в Python 3 и намного медленнее в PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(Концепция декоратора памятки скопирована с http://code.activestate.com/recipes/578231-probbly-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ .)
Выход:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
Сроки для разных n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
Любое значение nвыше 21 приводит к ошибке памяти на моей машине.
Мне было бы интересно, если бы кто-нибудь мог сделать это быстрее, переведя это на другой язык.
Редактировать: Оптимизирована get_resultsфункция. Кроме того, использование Python 2.7.5 вместо 2.7.2 заставило его работать немного быстрее.
2^n, и поэтому нет необходимости отслеживать что-либо кромеn. Т.е. просто использование правил возведения в степень кажется разумным. Тем не менее, безусловно, есть более умный и полностью алгебраический способ сделать это.