Изменить: это не работает, потому что я забыл об обнаруженных чеках. Тем не менее, я думаю, что этот прогресс заметен, поэтому я оставлю здесь ответ.
Повторение невозможно.
Во-первых, очевидно, что не может быть никаких ходов пешки, рокировки или захвата.
Далее я утверждаю, что не может быть никаких ходов короля. Чтобы доказать это, обратите внимание, что ход короля может дать чек, только если это обнаруженный чек. Таким образом, для того, чтобы ход короля дал чек, два короля должны быть в линии, вертикальной, горизонтальной или диагональной. Учитывая положение одного из королей, набор квадратов, на котором может находиться другой король, чтобы он мог дать проверку, представляет собой набор квадратов на одной линии с королем, а не на одном квадрате с королем или квадратами рядом с ним. эта площадь. Нет двух соседних квадратов, поэтому король не может перейти от одного такого квадрата к другому за один ход. Обратите внимание, что квадраты A и B находятся на одной линии в том и только в том случае, если квадраты B и A находятся на одной линии, поэтому, когда один из королей перемещается, они больше не находятся на одной линии, поэтому дальнейшие движения королей не могут дать чек. Таким образом, в цикле не более одного движения короля,
Следовательно, не может быть никаких проверок рыцаря, иначе король должен был бы двигаться, или рыцарь должен был быть захвачен.
Следовательно, все ходы являются движениями по частям, что означает, что они должны блокировать предыдущие проверки.
Предположим, что для любой метрики на множестве квадратов на шахматной доске верно, что для любого набора позиций для королей K1 и K2 и любого квадрата A, который находится на некоторой линии (вертикальной, горизонтальной или диагональной) с королем, любой блокирующий квадрат B не может увеличить сумму расстояний от квадрата до каждого из королей (то есть d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Тогда сумма расстояний до каждого из квадратов королей должна оставаться постоянной на протяжении всего цикла.
Нетрудно проверить, что следующие свойства удовлетворяют этому свойству: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | столбец (A) -колонка (B) | d (A, B) = | slope1diagonal (A) -slope1diagonal (B) | (К этому I среднего числа диагоналей, которые параллельны диагоналям A1H8 от 1-15) d (A, B) = | Наклон-1diagonal (А) -slope-1diagonal (В) | (То же самое, что и предыдущий, но параллельно другой диагонали)
На самом деле, легко увидеть, что для любой из вышеуказанных метрик, если квадрат блокировки не находится в двух параллельных линиях этих метрик (например, для первой метрики, внутри прямоугольника со сторонами, образованными строками каждой из цари и колонны по бокам доски), то сумма расстояний будет уменьшаться со следующего блокирующего квадрата. Что было бы противоречием, поэтому блокирующие квадраты ограничены, чтобы находиться внутри каждой из ограничивающих параллельных линий.
Если два короля находятся на одной и той же строке, столбце или диагонали, используя аргумент из пункта выше, показывает, что все блокирующие квадраты должны быть в этой строке, столбце или диагонали, очевидно, невозможно.
Поэтому, если мы рассматриваем позиции короля как две противоположные вершины прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам доски, используя первые две метрики, все блокирующие квадраты должны быть внутри или на ограничивающем прямоугольнике. Использование двух других метрик позволяет сократить это до ограничивающего параллелограмма.
Обратите внимание, что единственными возможными блокирующими квадратами являются те, которые являются пересечениями строк, столбцов и диагоналей через каждый из квадратов королей, потому что они должны дать проверку другому королю и заблокировать проверку. Легко видеть, что в ограничивающем параллелограмме всегда есть 2 возможных блокирующих квадрата: две другие вершины параллелограмма. Но тогда, если у нас есть один проверяющий элемент в каждом (что необходимо), то у них нет квадратов, на которые можно перейти, чтобы дать проверку, противоречие.