Просто зная количество зубьев на цепочке, можно ли определить точный диаметр?

Цепочка - это n-сторонний правильный многоугольник, где n - количество зубьев. Длина стороны s многоугольника - это расстояние от вершины до конца каждого зубца звена.

Формула для радиуса правильного многоугольника имеет вид:

_{(источник: mathopenref.com )}

Используя zenbike 12,75 мм выше для s , мы получаем 107,61 для радиуса или 215,22 мм для диаметра, что очень близко к его приближению.

Сравнение двух формул показывает, что длина члена, как и ожидалось, может быть исключена. Это оставляет нас с:

1 / грех ( пи / н ) против н / пи

Для больших n эти члены сходятся, внося ошибку всего 0,12 мм при n = 53. Это немного больше, поскольку n становится меньше, отличаясь на 0,64 мм для n = 11.

Для всех практических целей я бы просто использовал s * n / pi , даже для самого маленького винтика, который вы встретите, он будет в пределах миллиметра.

Если вы знаете только шаг цепи (стандартно для большинства велосипедов) и количество зубьев, то вы можете полностью описать круг (и n-gon) только через центры пальцев . Я сделаю все возможное, чтобы сделать математические формулы в удобочитаемом виде с текстом, но я полностью опишу каждый из четырех кругов / н-гонов:

Позволять:

n = количество зубов

L = шаг цепи (длина звена) (12,7 мм для большинства велосипедов)

См. Ниже размеры долины, валика и зуба. Обратите внимание, что зубные вершины могут различаться у разных производителей и будут меняться в течение всего срока службы кольца Альтернативный метод в нижней части, вероятно, самый простой метод для использования для очистки кадра.

Поскольку вы знаете, что шаг цепи (1/2 "или 12,7 мм - это цепь из 40 серий, обычно используемая на велосипеде), шпильки будут образовывать обычный n-угольник (многоугольник с n-сторонами равной длины). с каждой стороной, равной 12,7 мм. Формула для периметра этого n-гон довольно проста (ниже) и будет хорошо для большинства приближений. Обратите внимание, что это также равно длине цепи, которая будет обернута вокруг кольцо (цепь будет следовать за н-гон, а не круг).

Периметр н-гона, сделанный центрами булавки

Периметр н-гон = L * n = 12,7 * n мм

Однако описать окружность через центры штифтов не совсем точно . Более точные формулы приведены ниже:

Обведите через центры контактов

длина окружности = pi * L / (sin (180 / n)) = 39,8982 / (sin (180 / n)) мм

радиус = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) мм = 'pcRad' (радиус центра пальца)

диаметр = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) мм = 'pcD' (диаметр центра пальца)

Теперь нам понадобится дополнительная информация, чтобы описать два связанных круга / н-гона:

Для полов долины и вершин роликов нам необходимо знать радиус или диаметр роликов цепи вокруг штифта. Согласно http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , цепь серии 40 имеет диаметр ролика 0,312 "(7,92 мм). Поскольку расстояние от центра булавки до дна долины равно радиусу ролик:

Круг / н-гон о долинах дна

rRad = радиус ролика (3,96 мм для большинства велосипедов)

Периметр n-угольных долин = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) мм

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 мм

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 мм

Круг / н-г вершин роликов цепи

Периметр n-gon роликовых вершин = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) мм

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 мм

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 мм

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) мм

Теперь, чтобы описать последний круг / n-гон, нам нужна высота зуба над центрами штифтов. Я ожидаю, что это будет положительным на новом кольце цепи и отрицательным на изношенном:

Круг / н-гон кончиков зуба

t = высота кончика зуба над центрами штифтов (отрицательная, если ниже)

Периметр n-уг зубных вершин = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

В качестве альтернативы, чтобы сделать это вычисление немного проще (но немного менее точным на изношенном кольце цепи), вы можете измерить свой собственный интервал между зубами. В идеале они должны быть немного длиннее шага цепи, но это изменится по мере износа цепи:

Круг / н-гон кончиков зуба - альтернативный

tSpacing = среднее расстояние между кончиками зубов

Периметр n-gon кончиков зубьев = n * tSpacing

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я разместил этот вопрос на math.se и получил интересный ответ , который в основном подтверждает ответ Лантиуса как более точную математическую модель, а мой - как практическое приближение для велосипедного мира.

Только с количеством зубов нет.

Но, учитывая количество зубьев и требуемое расстояние от вершины до кончика каждого зуба, чтобы соответствовать цепи для марки используемого кольца цепи, вы можете легко определить длину окружности.

С окружностью, это просто математика, чтобы определить диаметр.

Разделите диаметр на число Пи (3,14159 до 5-го знака после запятой)

C = D / 3.14159

Таким образом, если число зубцов равно 53, а расстояние составляет 12,75 мм, мы имеем окружность 675,75 мм.

675,75 мм, разделенные на 3,14159, дают диаметр 215,1 мм. Преобразовано и округлено до 2 мест, это 8,46 дюймов.

Я измерил диаметр кольца зуба Shimano с 53 зубцами, и он составляет 8,51 дюйма. Поэтому я считаю, что моя математика должна быть такой же точной, как и допуски в моих измерениях.