Как Кеплер «угадал» свой третий закон из данных?

Удивительно, что Кеплер определил свои три закона, просматривая данные без калькулятора и используя только ручку и бумагу. Можно предположить, как он доказал, что его законы описали данные после того, как он уже предположил их, но я не понимаю, как он угадал их в первую очередь.

Я остановлюсь, в частности, на третьем законе Кеплера, который гласит, что квадрат орбитального периода планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты.

Я предполагаю, что Кеплер работал с данными только о планетах, плюс наша собственная луна и солнце. Я делаю это предположение, потому что я не думаю, что у Кеплера были данные о других лунах, кометах или астероидах, которые еще не были обнаружены телескопом. Если это правда, зная, что Нептун, Уран и Плутон еще не были обнаружены, когда Кеплер был жив, это означает, что у Кеплера было менее 9 точек данных для работы.

Мой друг утверждает, что вполне понятно, как Кеплер догадался об этих отношениях (хотя он не предоставляет никакого метода того, как Кеплер мог это сделать), а также что наблюдения Кеплера "не так уж и сложны". В качестве задачи я дал своему другу таблицу данных с одним столбцом, помеченным , другим и 9 координатами которые соответствуют соотношению . Я сказал: «Пожалуйста, найдите связь между и », и, как вы могли ожидать, он не смог этого сделать.y ( x , y ) x 4 = y 3 x $x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Пожалуйста, объясните мне, как в мире Кеплер догадывался об этих отношениях, работая с таким небольшим количеством данных. И если мое предположение о том, что количество точек данных, которые Кеплер имел в своем распоряжении, мало, неверно, то я все же думаю, что довольно сложно угадать эти отношения без калькулятора.

Третий закон Кеплера тривиален (по моему мнению) по сравнению с его первым законом. Я весьма впечатлен, что он смог сделать вывод, что орбиты были эллипсами. Чтобы получить это, он должен был идти назад и вперед, прокладывая направление Марса от Земли и направление Земли от Марса. Он знал, сколько лет у обеих планет, поэтому наблюдения, взятые на расстоянии одного года от Марса, будут отличаться только потому, что Земля переместилась.

Но, возможно, не так тривиально. Свои первые два закона он опубликовал в 1609 году. Третий закон появился только через десять лет, в 1619 году. За десять лет работы над ним в конечном итоге будут найдены даже самые смутные отношения.

Чтобы обнаружить отношение отношения мощностей, нанесите логарифмы чисел. В вашем примере с журналы будут построены на прямой линии с наклоном . 3 /$x^4 = y^3$$3/4$

Время подходит. Нейпир опубликовал свою книгу о логарифмах в 1614 году. Кеплер, возможно, по прихоти применил этот блестящий новый математический инструмент к своим грубым старым данным.

Основным препятствием было то, что в то время было только шесть известных планет, поэтому у него не было обилия точек данных, а те, которые он имел, ни в коем случае не были точными.

Другая проблема Кеплера в том, что ни один из его законов не имел для него никакого смысла. Они соответствуют данным, но он понятия не имел, почему. У него не было законов движения Ньютона, из которых он работал, у него не было понимания силы, импульса, момента импульса и, конечно, не гравитации. Насколько он знал, планеты двигались так, как они это делали, потому что Бог постановил это, и ангелам было поручено толкать планеты по их орбитам. Внешние планеты двигались медленнее, потому что их толкали меньшие ангелы.

(Фейнман комментирует, что теперь мы понимаем намного больше. Теперь мы знаем, что ангелы снаружи стремятся к Солнцу.)

Кеплер рассказывает о том, как появился третий закон (Каспар, с. 286; выделение мое):

8 марта этого года, в 1618 году, если требуется точная информация о времени, она появилась у меня в голове. Но мне не повезло, когда я вставил его в расчет и отклонил как ложный. Наконец, 15 мая, оно пришло снова и с новым началом покорило темноту моего разума, после чего последовало такое превосходное согласие между моими семнадцатью годами работы над Тихоническим наблюдением и моим нынешним размышлением, что я сначала поверил, что у меня было мечтал и предполагал искомое в подтверждающих доказательствах. Но совершенно точно и точно, что пропорция между периодическими временами любых двух планет в полтора раза больше пропорции средних расстояний .

Хотя Кеплер на самом деле не описывает вдохновение, которое заставило его поверить в это, любопытная фраза дает очень сильную подсказку в сочетании с некоторой базовой биографической информацией:

1. Джон Нейпир опубликовал в 1614 году Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto, в котором содержалось новое изобретение логарифмов. Кеплер знал о работе Нейпира к 1617 году (Каспар, стр. 308), возможно, раньше.
2. Joost Bürgi опубликовал работу над логарифмами почти в то же время, что и Napier, и Кеплер также знал о Bürgi, даже восхваляя его математические способности как превосходство большинства профессоров математики.

Таким образом, утверждение Кеплера равносильно тому, что на графике log-log данные имеют наклон 1,5, что представляет собой очень простую линейную зависимость в этом масштабе.

Ссылки:

1. Каспар, Макс, Кеплер , (Довер, Нью-Йорк, 1993).