Игнорируя расширение вселенной, энтропию, распадающиеся орбиты и помехи от любых тел, сталкивающихся или иным образом мешающих их орбитам , будут ли когда-либо выравниваться восемь известных планет в нашей солнечной системе?

Что такое «период» планет; как часто они будут идеально совмещаться? И, исходя из их нынешних позиций, как далеко в будущем находится их следующее теоретическое выравнивание?

Это низкая точность - но простой - ответ

Позволяет рассчитывать только радиальную конфигурацию выравнивания планет.

Если вам нужно приближение, скажем, вы аппроксимируете положение планет в виде стрелок на часах, вы можете решить математику примерно так.

Предположим, что - начальный угол для планеты i в момент времени t 0, измеренный от произвольного, но фиксированного положения, а l i - длина года в днях для планеты i .$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Затем он приступает к решению этой системы уравнений:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Отсюда вы просто применили бы теорему об остатках в Китае .

Нахождение минимума x даст вам угол, по которому планета, которая в момент времени имела угол θ i = 0 , путешествовала бы до достижения конфигурации выравнивания . Предполагая, что вы выбрали Землю в качестве упомянутой планеты, затем разделите этот угол на полный оборот ( 360 o ), и вы получите количество лет для достижения этой конфигурации - из конфигурации t 0 .$t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

Различная в градусах для всех планет на 01 января 2014 года - вы можете использовать это в качестве т 0 :$\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

Источник

Различная в днях для всех планет:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

$x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Редактировать 1

Только что нашел этот сайт, с которым вы можете поиграть. Это интерактивное флеш-приложение с точным расположением планет.

Я также знаю, что всю информацию можно получить с этой страницы НАСА, и это настолько точно, насколько это возможно, но сейчас это просто непонятно для меня. Я постараюсь пересмотреть его позже, когда найду время.

Также эта книга Жана Миуса под названием «Астрономические алгоритмы» охватывает все фундаментальные уравнения и формулы - хотя она не имеет ничего общего с алгоритмами программирования.

Редактировать 2

$\tt{telnet}$

Правильный ответ « никогда » по нескольким причинам. Во-первых , как указано в комментарии Флорина, орбиты планеты не копланарны и, следовательно, не могут быть выровнены, даже если каждая планета может быть произвольно размещена в своей орбитальной плоскости. Во-вторых , даже чистое радиальное выравнивание никогда не происходит, потому что периоды планеты несопоставимы - их отношения не являются рациональными числами. Наконец , орбиты планет развиваются в течение миллионов лет, главным образом благодаря их взаимному гравитационному притяжению. Эта эволюция (слабо) хаотична и поэтому непредсказуема в течение очень долгого времени.

Неправильный ответ на harogaston существенно приближает орбитальные периоды от ближайших соизмеримых чисел, дающих очень долго (хотя он получил , что неправильно с коэффициентом лишь ).$10^{16}$

Гораздо более интересный вопрос (и, возможно, тот, который вас на самом деле интересовал) заключается в том, как часто эти 8 планет почти совпадают радиально . Здесь « почти » может просто означать « с точностью до Солнца$10^\circ$ ». В таком случае взаимное гравитационное притяжение планет будет выравниваться и, следовательно, приведет к более сильным орбитальным изменениям, чем в среднем.

Существует гораздо более простой способ сделать это.

1) Посмотрите на длину солнечного года в земных днях

2) умножьте длину лет следующим образом: год Меркурия * год Венеры * год Земли * марсианский год * год Юпитера * год Сатурна * год Урана * год Нептуна

3) Разделите на 365, чтобы получить земные годы.

И у вас есть время, когда они снова выровняются в продольном направлении (то есть углы будут другими, но на виде сверху они будут образовывать линию). Он не будет выравниваться с большей частотой, потому что некоторые из этих планет имеют десятичное число земных дней в году.

Технически верный способ найти период между выравниванием всех 8 планет состоит в том, чтобы найти LCM всех 8 их длин года.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Я понимаю, что это приблизительная оценка, поскольку они округлены до ближайшего целого числа, но дают хорошее представление о количестве дней взял бы.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Вот сколько лет.

Любая оценка общего периода более чем двух планет (т. Е. Через сколько времени они снова приблизительно выравниваются по гелиоцентрической долготе?) Очень сильно зависит от того, насколько допустимо отклонение от идеального выравнивания.

Если период планеты равен , и если допустимое отклонение по времени равно (в тех же единицах, что и ), то объединенный период всех планет составляет приблизительно поэтому уменьшение допустимого отклонения в 10 раз означает увеличение общего периода в$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$, что для 8 планет является фактором 10 000 000. Таким образом, бессмысленно указывать общий период, если вы также не укажете, какое отклонение было приемлемым. Когда допустимое отклонение уменьшается до 0 (для достижения «идеального выравнивания»), тогда общий период увеличивается до бесконечности. Это соответствует утверждениям нескольких комментаторов о том, что общего периода нет, потому что эти периоды несопоставимы.

Для периодов планет, перечисленных harogaston, когда измеряются в юлианских годах по 365,25 дней каждый, поэтому общий период в годах составляет приблизительно если измеряется и в годах. Если периоды приближены к ближайшему дню, то года и лет. Если периоды аппроксимируются с точностью до 0,01 дня, то и лет.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

Вывод вышеуказанной формулы выглядит следующим образом:

периоды планет к кратным базовой единицы : где - целое число. Тогда общий период не больше, чем произведение всех . Этот продукт все еще измеряется в единицах ; мы должны умножить на чтобы вернуться к исходным единицам. Таким образом, общий период составляет примерно$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

Приведенный выше вывод не учитывает, что может иметь общие факторы, поэтому выравнивание происходит раньше, чем предполагает . Однако то, будут ли какие-либо два иметь общие факторы, сильно зависит от выбранного базового периода , так что это фактически случайная величина и не влияет на глобальную зависимость от .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Если вы выражаете приемлемое отклонение с точки зрения угла, а не времени , то я ожидаю, что вы получите ответы, которые зависят от величины допустимого отклонения так же сильно, как и для приведенной выше формулы.

Смотрите http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html график как функцию для всех планет, включая Плутон.$P$$b$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Вот оценка с допустимым отклонением по углу . Мы хотим, чтобы все планеты находились в пределах долготы ширины центром в долготе первой планеты; долгота первой планеты свободна. Мы предполагаем, что все планеты движутся в одном направлении по копланарным круговым орбитам вокруг Солнца.$δ$

Поскольку периоды планет несоизмеримы, все комбинации долгот планет происходят с одинаковой вероятностью. Вероятность что в определенный момент времени долгота планеты находится в пределах сегмента ширины центром в долготе планеты 1, равна i > 1 $q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

Вероятность что планеты с 2 по все находятся в пределах одного и того же сегмента долготы с центром на планете 1, тогда равна$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Чтобы перевести эту вероятность в средний период, нам нужно оценить, сколько времени все планеты выровнены (с точностью до ) каждый раз, когда все они выровнены.$δ$

Первые две планеты, потерявшие взаимное выравнивание, являются самыми быстрыми и медленными из планет. Если их синодический период равен , то они будут выровнены в течение интервала а затем не будут выровнены в течение некоторого времени, прежде чем снова придут в выравнивание. Таким образом, каждое выравнивание всех планет длится около интервала , и все эти выравнивания вместе охватывают долю всего времени. Если средний период, после которого происходит другое выравнивание всех планет, равен , то мы должны иметь , поэтому$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Если есть только две планеты, то независимо от , как и ожидалось.$P = P_*$$δ$

Если существует много планет, то самая быстрая планета намного быстрее самой медленной, поэтому почти равен периоду обращения самой быстрой планеты.$P_*$

Здесь также оценка среднего времени между последовательными выравниваниями очень чувствительна к выбранному пределу отклонения (если задействовано более двух планет), поэтому бессмысленно указывать такой комбинированный период, если вы также не упомянете, что отклонение было разрешено.

Также важно помнить, что (если существует более двух планет), эти (почти) выравнивания всех из них не происходят через равные промежутки времени.

Теперь давайте подключим некоторые цифры. Если вы хотите, чтобы все 8 планет были выровнены с точностью до 1 градуса долготы, то среднее время между двумя такими выравниваниями примерно равно орбит самой быстрой планеты. Для Солнечной системы Меркурий является самой быстрой планетой с периодом около 0,241 года, поэтому среднее время между двумя рядами всех 8 планет с точностью до 1 градуса долготы составляет около лет.$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Если вы уже удовлетворены выравниванием с точностью до 10 градусов долготы, то средний период между двумя такими выравниваниями примерно равен орбит Меркурия, что составляет около 500 миллионов лет.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Какое лучшее выравнивание мы можем ожидать в ближайшие 1000 лет? 1000 лет - это около 4150 орбит Меркурия, поэтому , поэтому . В произвольно выбранном интервале 1000 лет в среднем происходит одно выравнивание всех 8 планет с шагом 90 °.$(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$