В течение большей части моей неосведомленной жизни я сомневался в существовании гравитонов или даже в том, что гравитация является действительной «силой» (наподобие электромагнетизма). Это потому, что мое видение общей теории относительности состояло в том, что масса искривляет пространство так, что объекты все еще движутся по «прямой линии», когда на них действует «гравитация», так что «сила» не нужна. Теперь я знаю, что это наивный взгляд, но я не уверен на 100%, почему. На днях я думал, что сам факт того, что гравитация следует закону обратных квадратов, подразумевает, что это сила, переносимая частицами (уменьшающаяся в интенсивности потока из-за геометрии трехмерного пространства).

Мой вопрос: будет ли факт, что гравитация по закону обратных квадратов естественным образом выпадает из общих уравнений относительности, или это предположение используется при разработке уравнений?

И только сейчас у меня возникла мысль, что другие силы также могут искривлять пространство (только в более высоких измерениях).

В течение большей части моей неосведомленной жизни я сомневался в существовании гравитонов или даже в том, что гравитация является действительной «силой» (наподобие электромагнетизма).

Гравитация - это сила, подобная электромагнетизму, но она обладает особым свойством, заключающимся в том, что все пробные частицы падают одинаково в гравитационном поле, независимо от их состава. Это означает, что инерционные массы и гравитационные массы одинаковы (или, по крайней мере, универсально пропорциональны, поэтому мы можем использовать единицы, в которых они равны), и мы можем интерпретировать гравитационное свободное падение как инерционное движение.

С точки зрения квантовой теории поля, это на самом деле теорема о том, что при низких энергиях безмассовые частицы со спином 2 должны одинаково соединяться со всеми энергиями-импульсами, независимо от вида частиц. Другими словами, принцип эквивалентности общей теории относительности является доказуемой теоремой для гравитонов.

И наоборот, мы можем также интерпретировать общую относительность как безмассовое поле со спином 2 на плоском фоне пространства-времени, но из-за этой универсальности фон будет ненаблюдаемым в любом эксперименте. Вот почему релятивисты не склонны делать это, поскольку это делает геометрическую интерпретацию более удобной.

К сожалению, квантовая общая теория относительности очень плохо ведет себя, если кто-то пытается привести их к произвольным энергетическим масштабам. Физически это означает, что какая-то новая физика должна прийти раньше, чтобы это исправить. Однако такая ситуация вряд ли уникальна для гравитации, квантование которой все еще имеет смысл как эффективная теория поля при низких энергиях; ср живой обзор Клифф П. Берджесс . Напряжение между общей теорией относительности и квантовой механикой часто преувеличивается в популярных описаниях.

Мой вопрос: будет ли факт, что гравитация по закону обратных квадратов естественным образом выпадает из общих уравнений относительности, или это предположение используется при разработке уравнений?

Обратно-квадратная часть выпадает сама по себе, но конкретная константа пропорциональности нуждается в дополнительном допущении.

Если рассматривать общее уравнение поля , где - тензор энергии-импульса, который предполагается симметричным и ковариантно сохраняемым, то тензор Эйнштейна - единственное масштабно-инвариантное решение, которое можно построить из метрики. Это требование означает, что допускаются только члены второго порядка в производных метрики, и оно нарушается, например, термином космологической константы , так как это вводит длину в теорию. T μ ν G μ ν ≡ R μ ν - $G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$$T_{\mu\nu}$ЛгцNЛ-1/2~10$G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$$\Lambda g_{\mu\nu}$$\Lambda^{-1/2}\sim 10^{10}\,\mathrm{ly}$

Существуют и другие способы разработки уравнения поля Эйнштейна, например, посредством действия Эйнштейна-Гильберта, которые не нуждаются в конкретных предположениях о тензоре энергии-импульса. Несмотря на это, роль ньютоновского предела заключается в фиксировании значения иначе неопределенной константы . Если вас интересуют только отношения обратных квадратов, подобные ньютону, то для этого не нужно никаких дополнительных предположений о попытках сопоставить ньютоновскую гравитацию.$\kappa = 8\pi G/c^4$

Учитывая времяподобное векторное поле , которое можно интерпретировать как четыре скорости некоторого семейства наблюдателей, мы можем записать проекцию времени-времени эквивалентной формы уравнения поля Эйнштейна, , а где - плотность энергии, а - среднее значение главных напряжений, измеренное наблюдателем с четырьмя скоростями . Для нерелятивистской материи члены напряжения незначительны по сравнению с плотностью энергии.R μ ν = κ ( T μ ν - $u$R00≡Rμνuμuν=$R_{\mu\nu} = \kappa(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T)$ρp

$$R_{00} \equiv R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu = \frac{1}{2}\kappa(\rho+3p)\text{,}$$ $\rho$$p$$u$

Как обычно обсуждается ньютоновский предел, это использование приближения слабого поля, с , чтобы показать, что который затем имеет форму уравнения Пуассона для ньютоновского гравитационного потенциала в терминах плотности вещества , т.е. . Для медленно движущихся пробных частиц геодезическое уравнение сводит к Ньютону уравнение движения: | h μ ν | ≪ 1 $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$|h_{\mu\nu}|\ll 1$ρm∇2Φ=4πGρm d 2

$$\frac{1}{2}\kappa\rho\approx R_{00} = R^\alpha{}_{0\alpha 0}\approx\partial_\alpha\Gamma^{\alpha}_{00}\approx-\frac{1}{2}\nabla^2h_{00}\text{,}$$ $\rho_\text{m}$$\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho_\text{m}$∫( $$\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{x}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{1}{2}\nabla h_{00} = -\nabla\Phi\text{.}$$ Еще один способ подумать об этом - записать правильное время свободного падения частицы и показать, что ее экстремизация эквивалентна экстремизации , который является действием действия (на массу) частицы, подверженной ньютоновской гравитации, всякий раз, когда .ч00≈-2Ф/с$\int\left(\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{2}h_{00}\right)\mathrm{d}t$$h_{00} \approx -2\Phi/c^2$

Возможно, вас заинтересует этот более простой вывод закона тяготения Ньютона вокруг сферически-симметричного тела, основанный на геометрической интерпретации кривизны Риччи как ускорения объема маленького шарика первоначально сопутствующих пробных частиц.

И только сейчас у меня возникла мысль, что другие силы также могут искривлять пространство (только в более высоких измерениях).

Это было сделано для электромагнетизма Калуцей и Кляйном вскоре после ОТО, но оказалось, что это не совсем полезный способ думать о других силах.

Вместо этого мы можем рассматривать кривизну Римана в общей теории относительности как форму кривизны связности Леви-Чивиты на касательном расслоении данного многообразия со структурной группой . Но на этом языке напряженность электромагнитного поля - это кривизна связи над линейным расслоением со структурной группой . Другие негравитационные силы аналогично описываются теорией Янга-Миллса .$\mathrm{O}(1,n)$$ieA_\mu$$\mathrm{U}(1)$

Другими словами, у других сил уже есть описание, в котором они вызваны искривлением, а не пространством-временем. Таким образом, хотя гравитация отличается от них, она не настолько отличается, чтобы считать ее в некотором смысле «менее реальной», чем другие.

На самом деле гравитация - это фиктивная сила , очень похожая на центробежную силу. В свободно падающей системе отсчета она исчезает. В общей теории относительности (ОТО) гравитация является просто результатом (дифференциальной) геометрии: искривления пространства-времени. Закон обратных квадратов является лишь приближением низкой энергии, но фактическое уравнение для гравитации, полученное из GR, является более сложным, чем это. Массовый успех ньютоновской гравитации говорит нам, что любая модель гравитации должна быть аппроксимирована классическим законом обратных квадратов при низких энергиях.

Делает ли это GR по замыслу (Эйнштейна) или что-то еще - вопрос личного мнения. Эйнштейн определенно знал, что он должен получить приблизительно ньютоновскую гравитацию при низких энергиях, поэтому он отбросил бы или изменил любые идеи, которые не соответствовали этому критерию. Однако существуют стандартные аргументы в пользу того, почему гравитация должна подчиняться закону обратных квадратов , по крайней мере, в ситуациях с низкой энергией.

$E=mc^2$

Сама GR не делает никаких предсказаний (или требований) о существовании каких-либо новых частиц вне стандартной модели, таких как гравитоны. GR и квантовая механика (QM) совершенно несовместимы: в экстремальных ситуациях, когда актуальны GR и QM (например, нейтронные звезды и образование черных дыр), они перестают иметь смысл довольно быстро. Особенно GR, «Гравитоны» и различные вариации - это гипотетические частицы, которые предложены для решения этой проблемы путем создания квантовой теории гравитации. Единственное «свидетельство», которое у нас есть для них на данном этапе, заключается в том, что наши две наиболее успешные теории о работе вселенной, GR и QM, настолько болезненно несовместимы. Итак, мы знаем, что эти теории ошибочны (или ошибочны), и что необходима какая-то другая теория, которая может справиться с этими ситуациями, а также включает в себя все успехи QM и GR - они удивительно точны, когда только одна из них особенно актуальна, в конце концов.

Именно то, что эта теория является постоянной и существенной областью исследования.

$1/r^2$

Метрика описывает кривизну пространства. Для пространства вокруг массивного объекта это метрика Шварцшильда

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \ \mathrm{d}\phi^2)$$

$r \gg r_s$

$$\mathrm{d}s^2=-\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}r^2+r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \ \mathrm{d}\phi^2)$$ $1/r^2$

Но откуда берется метрика Шварцшильда? Не вдаваясь в грубую математику, можно доказать, что это уникальная метрика, обладающая сферической симметрией, без которой ничего не имеет особого смысла. Это называется теорема Биркгофа.

Немного запоздалая мысль по вашему вопросу требует еще немного мысли

Я хочу поговорить о том, откуда взялись гравитоны, но сначала давайте поговорим о кривизне.

Если вы хотите измерить кривизну пространства, один из способов сделать это - двигаться по замкнутому циклу, заканчивая тем, что вы начали. Если пространство искривлено, вы не будете смотреть в одном направлении (эта идея называется параллельным переносом)

$D$

$$[D_\mu,D_\nu] = D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu\neq 0$$

Теперь давайте вернемся немного назад и поговорим о том, как электромагнетизм и другие силы обычно обсуждаются с использованием квантовой теории поля.

Мы опишем теорию в терминах лагранжиана, для фермиона (например, электрона) это выглядит так

$$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi$$

$\psi$

$$\psi\to\psi'=e^{i\xi(x)}\psi$$ $U(1)$$U(1)$$D_\mu$

$$[D_\mu,D_\nu] = -iF_{\mu\nu}\psi$$ $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$

$$\mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

$A_\mu$$U(1)$

Таким образом, вы находитесь на правильном пути, когда говорите, что другие силы могут искривлять пространство. Приятно, что гравитация искривляет пространство-время, она очень физическая и легко представляемая, для других сил ее не так просто представить, даже если она в основном такая же.

Во всяком случае, вернемся к GR

Если вы хотите получить полную картину гравитации Эйнштейна, вы делаете некоторые математические расчеты и получаете то, что называется действием Эйнштейна-Гильберта (действие - это просто интеграл по лагранжиану), один аккуратный объект, который суммирует всю теорию

$$S=\int R \sqrt{g} \ \mathrm{d}^4x$$ $R$

Две версии одного и того же

Мы видели КЭД, которая описывает частицы света, фотоны. Они количественно. Затем мы увидели, что во многом GR и QED очень похожи. Мы не можем должным образом количественно оценить GR, но если бы мы могли, у нас были бы гравитоны, точно так же как фотоны, появившиеся в КЭД. Двойственность между КЭД (и другими калибровочными теориями, КХД и т. Д.) Очевидна, что заставляет многих людей полагать, что, вероятно, должны быть гравитоны, даже если они еще не наблюдались и не были последовательно сформулированы.

Заметка о других теориях

Существует много теорий, в которых присутствуют гравитоны из первых принципов без проблем перенормируемости, например, теории струн или супергравитации.

Примечание об ошибках в выше

Извините, я устал и болтаю. Пожалуйста, укажите их, если вы найдете их!