Почему орбиты эллиптические, а не круглые?

16

Почему планеты вращаются вокруг звезды на определенной эллиптической орбите со звездой на одном из ее фокусов? Почему орбита не круг?

star orbit planet

— Devgeet Patel
источник

2

Ответ Эдуардо подводит итог большей части. Хотя вы можете увидеть мой ответ на аналогичный вопрос по физике SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/...

— Cheeku

2

Круговые орбиты являются частным случаем эллиптических орбит.

— asawyer

13

Предположим, что планета имеет ничтожно малую массу по сравнению со звездой, что оба сферически симметричны (так что закон тяготения Ньютона выполняется, но в любом случае это обычно происходит в очень хорошем приближении), и что между ними нет сил, кроме гравитации , Если первое условие не выполняется, то ускорение каждого будет направлено к барицентру системы, как если бы барицентр притягивал к ним гравитационную силу с определенной уменьшенной массой, поэтому задача математически эквивалентна.

Возьмите звезду, чтобы быть в начале координат. Согласно закону тяготения Ньютона, сила равна , где - вектор на планете, - его масса, и является стандартным гравитационным параметром звезды. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Законы о сохранении

Поскольку сила является чисто радиальной , момент импульса сохраняется: Если начальная скорость не равна нулю и звезда находится в начале координат тогда в терминах исходного положения и скорости орбита должна быть ограничена плоскостью всех точек с векторами от начала координат, удовлетворяющих $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ , Если начальная скорость равна нулю, то движение чисто радиальное, и мы можем выбрать любую из бесконечно многих плоскостей, содержащих барицентр и начальное положение.

Полная энергия орбиты определяется как где первая часть члена является кинетической энергией, а вторая часть является потенциальной гравитационной энергией планеты. Его сохранение, а также тот факт, что он вызывает правильную потенциальную энергию, может быть доказано фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов.

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Определите вектор Лапласа-Рунге-Ленца как Также сохраняется:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Наконец, давайте также возьмем , которая имеет те же единицы измерения, что и , и, поскольку , она лежит вдоль плоскости орбиты. Поскольку это консервативный вектор, масштабируемый с помощью консервативного скаляра, легко показать, что является консервативным, пока . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Упрощая

Используя векторное тройное произведение, мы можем написать нормированный квадрат которого легко вывести:

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

где

использовалось повсюду для переключения между кинетическими и потенциальными членами.

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Почему эллипсы?

Поскольку - энергия относительно бесконечности, чтобы иметь связанную орбиту, нам нужно . Таким образом, из предыдущего раздела, и, следовательно, $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$ который определяет эллипс с фокусами

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

и главная ось

.

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Почему не круги?

Круг - это особый случай, когда фокусы - это одна и та же точка, , которую можно переформулировать как $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Стэн Лиу
источник

8

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

Из всех планет солнечной системы Венера с эксцентриситетом 0,007 имеет самую круговую орбиту.

$\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ в каркасе вращения точно уравновешивает гравитационную силу - чуть больше или чуть меньше, дисбаланс изменит радиальную скорость, портя круг.

Учитывая тот факт, что скорости варьируются по большому количеству причин, неудивительно, что только несколько орбит оказываются круговыми, и, учитывая, что фактические орбиты меняются со временем , мы знаем, что они не могут оставаться такими долго.

Если вы ищете математическое доказательство, эта ссылка делится некоторыми подробностями о нем .

Вот изображение, показывающее эксцентриситет некоторых тел в солнечной системе, извлеченный отсюда :

Некоторые тела Солнечной системы и их необычности

— Эдуардо Серра
источник

Это совершенно неправильно: «Для того, чтобы орбита была круглая, скорость планеты должна быть ровно минимальной, необходимой для того, чтобы быть на орбите; ... чуть меньше, и она упадет на планету, на которой она вращается». Абзац также довольно запутан в отношении того, что движется по орбите. Очевидно, они минимизируют радиальную скорость , но это отличается и не связано с обсуждением кинетической энергии. Разбивая кинетическую энергию на радиальные и угловые части, круговые орбиты также сводят к минимуму эффективный потенциал, если угловой момент остается фиксированным.

— Стэн Лиу

@ Стэн, вы можете предложить изменить или дать свой собственный ответ. Не могли бы вы подробно рассказать, почему это утверждение неверно? Если спутник описывает круговую орбиту, и вы замедляете ее, он упадет на планету; если вы ускорите его, он сформирует и эллиптическую орбиту.

— Эдуардо Серра

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - замедлите объект на круговой орбите, и он будет на эллиптической орбите с прежним радиусом круговой орбиты, теперь являющимся апофокальным расстоянием.

— Дэвид

1

Я всегда предпочитаю ответы, которые стараются избегать любых формул и вместо этого отвечают на аргументацию. Что касается части вопроса, почему не все орбиты являются круглыми, аргументация будет такой:

Рассмотрим неподвижную звезду и движущуюся планету. Для каждого импульса, который может иметь планета, может быть предсказана кривая ее дальнейшего движения. Если этот импульс направлен точно ортогонально линии от звезды к планете, и если скорость имеет точное значение , то эта кривая движения может быть точной окружностью.

Но для каждого отклонения этого точного импульса результирующая кривая не может быть кругом:

Если скорость слишком низкая, планета упадет к звезде (в крайнем случае нулевого импульса это падение будет происходить по прямой линии).
Если скорость слишком высока, планета получит расстояние от звезды (аналогично рогатке).
Если импульс не является прямо ортогональным к линии к звезде, первое движение будет двигаться к или от звезды, поэтому кривая снова не будет кругом.

Таким образом, можно просто утверждать, что круг - это особый случай для кривой, которую планета может взять вокруг звезды.

— Альфей
источник

(1) Начальный аргумент ортогональности - хорошее начало. (2) Но соображения «скорость слишком мала / низка» неоправданны: как узнать, что круговые орбиты на нескольких скоростях запрещены для одного и того же расстояния? Можно возразить против возможности многократных скоростей, уравновешивая гравитационные и центробежные силы, но тогда оба (1) и (2) превращаются точно в то, что обрисовано в общих чертах в ответе Эдуардо Серры.

— Стэн Лиу

Таким образом, вы имеете в виду, что у вас может сложиться впечатление, что гравитационная сила может быть похожа на тугую веревку в том смысле, что она будет прикладывать больше силы на планете к звезде, когда больше силы «необходимо», чтобы удержать планету на круговом пути. ? Хм ... да, в зависимости от фона непрофессионала, это может быть тем, чего вы ожидаете. Спасибо за идею; может быть, я смогу улучшить свой ответ и для решения этой проблемы!

— Alfe