У меня также есть эта проблема (Mac 2012 года под управлением El Capitan 10.11.5). У меня не было этой проблемы на моем Mac Mini 2007 с 10.6.8 с аналогичной конфигурацией (за исключением использования DVI вместо HDMI). Когда я закрываю общий доступ к экрану Mac или TouchPad на iOS, переключаю приложения iOS или блокирую телефон, Mac Mini отключает внешнее видео.
Обходное решение, которое я нашел, это: Нажмите «Пауза / Воспроизведение» на пульте Apple Remote (физический инфракрасный пульт, а не приложение) после запуска видео, перед закрытием совместного использования экрана. Тогда вы сможете закрыть общий доступ к экрану, и экран останется включенным. Я также сделал это с помощью мыши Apple bluetooth, и она также работает.
Вы также можете сделать это, разбудив Mac Mini с пульта дистанционного управления, прежде чем начинать совместное использование экрана, если вы помните. Раздражает, хотя, так как он часто открывается и начинает играть в iTunes.
Похоже, что Mac просто нуждается в некотором вводе данных с физического устройства (мыши или пульта дистанционного управления) после пробуждения, чтобы он не переводил экран в спящий режим.
Попробуем установить флажок «Удаленное управление» и посмотреть, поможет ли это.